基于高斯算法的小行星固定時間攔截

丁文哲，楊　虹，陳　峰

(裝備學(xué)院， 北京　101400)

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基于高斯算法的小行星固定時間攔截

丁文哲，楊虹，陳峰

(裝備學(xué)院， 北京101400)

摘要：為了防止未來有小行星撞擊地球，想要對小行星實施固定時間攔截；首先根據(jù)給定的地球與小行星的撞擊點位置以及小行星與地球撞擊點的速度，建立小行星的軌道模型；利用小行星與地球的軌道模型預(yù)推出攔截衛(wèi)星發(fā)射點的位置，再利用高斯算法建立衛(wèi)星的固定時間攔截軌道模型，并計算衛(wèi)星發(fā)射速度，以及碰撞后小行星的速度；最后，對所建立的模型進行數(shù)值仿真。仿真結(jié)果表明：若地球?qū)⑴c小行星發(fā)生碰撞，則攔截衛(wèi)星將按攔截軌道運行固定時間后成功與小行星攔截相撞。

關(guān)鍵詞：軌道模型；固定時間攔截；高斯算法

Citation format:DING Wen-zhe, YANG Hong, CHEN Feng.Fixed Time Interception of Asteroids Based on Gauss Algorithm[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(3):106-110.

2015年7月20日凌晨，一顆名為2011UW-158的小行星與地球擦肩而過，據(jù)說它含有1億噸的白金而備受人們關(guān)注，雖然在安全距離上飛掠地球，但是距離只為地月距離的6.4倍。近年來，小行星安全事件越來越受到人們的關(guān)注。就在2013年2月15日,一顆明亮的火流星墜落在距離我國不遠的俄羅斯城市車里雅賓斯克境內(nèi),這件從1908年西伯利亞通古斯事件以來有記錄的最大隕星撞擊地球事件,讓我們記憶猶新。最近，許多科學(xué)家在Nature和Science上發(fā)表的研究結(jié)果表明,比上述隕星體積更大的或者相同的小行星在將來與地球發(fā)生撞擊的可能性會比之前預(yù)想的可能性大得多。NASA的科學(xué)家在2014年曾宣稱在2040年很大可能會有一顆名為2011 Ag5的小行星對地球進行撞擊，也許在未來也會遭遇6 500萬年前恐龍所遭遇過的滅頂之災(zāi)。那么,發(fā)射衛(wèi)星對未來可能再次到來地球的小行星進行攔截,改變其運動軌道顯得尤為重要。

本文以給定地球與小行星的撞擊點和在這個撞擊點處的小行星速度為例,建立出小行星的軌道模型,并判斷出衛(wèi)星發(fā)射點位置;然后建立出衛(wèi)星的固定時間攔截軌道模型,并通過仿真驗證了攔截軌道可行。

1小行星軌道模型

1.1建立太陽坐標系

根據(jù)地球軌道,建立太陽坐標系，以太陽為坐標系原點，x軸指向地球的春分點，y軸在地球的運行軌道平面內(nèi)，繞x軸逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，由右手定則確定出z軸位置。在本文中假設(shè)撞擊點A位于第一象限平面內(nèi)，撞擊點位于其他3個象限內(nèi)的情況只需要將坐標軸旋轉(zhuǎn)就可以同理解算。此時，地球、小行星和攔截衛(wèi)星三者軌道的大致示意關(guān)系，如圖1所示。

圖1　軌道示意圖

1.2小行星軌道六根數(shù)

由活力公式得小行星的半長軸為

(1)

(2)

由rA=a3(1-e3cos(E3 A))得A點平近地點角為

(3)

求出小行星從近地點運行到A點的時間為

(4)

根據(jù)小行星的軌道法向量與升交點矢量得小行星的軌道傾角和升交點赤經(jīng)為

(5)

由rA求得小行星在A點的真近地點角為

(6)

A點為小行星的降交點,所以A點的緯度幅角為180°，可得小行星的近地點幅角為

(7)

1.3衛(wèi)星與小行星撞擊點的位置

(8)

得到B點的真近地點角：

(9)

利用上面求得的結(jié)果，可以得到B點的緯度幅角為u3B=ω3+f3B。

利用球面三角形公式得出在太陽坐標系下撞擊點B的位置為

(10)

1.4衛(wèi)星與小行星撞擊點處小行星速度

攔截點B處小行星速度大小為

(11)

(12)

求得攔截點B速度方向與升交點方向的夾角為

(13)

利用球面三角形公式得出攔截點B小行星速度分量：

(14)

2衛(wèi)星發(fā)射點位置

由于地球在t2時間內(nèi)運行的平近地點角不能確定,就需要分四種情況來討論衛(wèi)星發(fā)射點位置C,如圖2所示。

將Eearth去除周期倍,使其大小落在[0,2π)內(nèi)。如果θ1+Eearth≤90°，那么就為圖2(a)。如果90°<θ1+Eearth≤180°，那么就為圖2(b)。如果180°<θ1+Eearth≤270°，那么就為圖2(c)。如果270°<θ1+Eearth≤360°，那么就為圖2(d)。

經(jīng)分析情型1、2、3、4后，確定C點位置速度均為

(15)

其中vearth可由活力公式得到:

圖2　衛(wèi)星發(fā)射點判斷圖

3固定時間攔截的軌道模型

3.1攔截軌道六根數(shù)

首先由高斯迭代算法求得ΔE與Δf,從而得攔截軌道半長軸與半通徑為

(16)

(17)

由C,B點矢量求得攔截軌道面法向量為

(18)

利用Z軸單位向量與軌道面法向量叉乘得攔截軌道升交點矢量為

(19)

則根據(jù)攔截軌道的軌道法向量與升交點矢量求得攔截軌道的軌道傾角和升交點赤經(jīng)分別為

(20)

攔截軌道偏心率：

(21)

由rC求得攔截軌道在C點處的真近地點角為

(22)

C點為攔截軌道的升交點,所以C點的緯度幅角為0度,可得攔截軌道的近地點幅角為

(23)

3.2衛(wèi)星相對于地球的發(fā)射速度

由活力公式求得攔截軌道C點處衛(wèi)星的初始速度為

(24)

求出vC與rC的夾角：

(25)

得發(fā)射點C速度方向與升交點方向的夾角：

(26)

根據(jù)球面三角形公式得到發(fā)射點C衛(wèi)星速度投影分量為

(27)

從而求得在太陽系中給衛(wèi)星提供的速度增量為

(28)

在地球慣性坐標系中給衛(wèi)星提供的速度增量為

(29)

建立衛(wèi)星的能量守恒方程：

(30)

求得衛(wèi)星相對于地球的發(fā)射速度為

(31)

3.3撞擊后小行星速度

由活力公式得攔截軌道B點處衛(wèi)星的速度為

(32)

求出vB與rB的夾角為

(33)

攔截軌道在攔截點B處的緯度幅角為

(34)

得到攔截點B處衛(wèi)星速度方向與升交點矢量方向的夾角：

(35)

根據(jù)球面三角形公式得到攔截衛(wèi)星在攔截點B處速度投影分量：

(36)

攔截后，發(fā)射出的衛(wèi)星將降落于小行星上與小行星一起運動,這樣就會改變小行星的軌道也可以對小行星進行探測,此時建立小行星的動量守恒方程：

(37)

得攔截后在攔截點B點小行星的速度：

(38)

4仿真驗證

4.1仿真條件

4.2仿真結(jié)果及分析

按照文中的方法仿真得出行星與地球的運動軌跡，兩者的運動軌跡曲線如圖3所示。

圖3　行星地球軌跡圖

圖中標示了行星的運動軌跡和地球的運動軌跡，由圖3可以看出按文中方法可以根據(jù)給定初始條件，計算模擬出行星與地球的運行軌跡，符合任務(wù)要求，兩者在一段時間后相撞。

圖4為地球與行星間距離隨時間的變化圖。由圖4中地球與小行星之間的距離數(shù)據(jù)可以更加直觀明顯看出，地球與行星會在43 d后相撞。下面圖5為根據(jù)固定時間攔截方式模擬仿真的行星、地球與衛(wèi)星三者的運行軌跡。

圖4　地球與小行星間距離變化圖

圖5　衛(wèi)星攔截軌跡圖

圖5中標示了衛(wèi)星的攔截軌跡和行星的運動軌跡、地球的運動軌跡，由圖5可以看出按文中的固定時間攔截方法，根據(jù)任務(wù)需要的時間來對行星進行攔截，可以計算模擬出衛(wèi)星的固定時間攔截軌跡，很好的符合了任務(wù)要求，衛(wèi)星與行星會在一段時間后相撞。圖6為衛(wèi)星與行星間的距離隨時間變化圖。

圖6　衛(wèi)星與小行星間距離變化圖

由圖5中兩者間的距離數(shù)據(jù)可以更加直觀明顯看出，衛(wèi)星按軌跡飛行30 d后將會與行星相撞，證明了文中所述的固定時間攔截方法是一種很好的軌道計算方式，按這種方式計算出的發(fā)射速度進行發(fā)射，將會滿足任務(wù)需求。

最后根據(jù)文中所述動量守恒的計算方式可以很容易得出行星與衛(wèi)星相撞后一起飛行的速度，根據(jù)攔截點位置與行星與衛(wèi)星相撞擊后的速度，按文中確定行星軌跡方式可以得到撞擊后行星的運行軌跡，得出撞擊后行星軌跡偏移原軌道。

5結(jié)束語

本文主要針對防止地球與行星相撞的問題進行了研究，提出了引用高斯迭代算法對小行星實施固定時間攔截的想法。首先建立了地球、小行星軌道模型；接著利用高斯迭代算法建立了固定時間攔截軌道模型，計算出所需要的攔截衛(wèi)星發(fā)射速度，以及碰撞后小行星速度；最后就高斯迭代算法的具體實現(xiàn)進行了數(shù)值仿真，驗證了該方法的有效性。

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(責(zé)任編輯楊繼森)

Fixed Time Interception of Asteroids Based on Gauss Algorithm

DING Wen-zhe, YANG Hong, CHEN Feng

(The Academy of Equipment Command & Technology，Beijing 101400, China)

Abstract:In order to prevent the collision of asteroid and earth in the future, measure of intercepting incoming asteroid in a fixed time was proposed. First, we established a model of the asteroid’s orbit by the assumed impact point position and the speed of the asteroid at the impact point and determined the position of intercept satellite launching point. Secondly, we built a fixed time interception trajectory model, using Gauss algorithm to calculate the speed which launches the intercept satellite and the speed after collision the asteroid. The efficiency of the presented model was demonstrated by numerical simulation. Simulation results show that if the earth will collide with an asteroid, and the intercept satellite which track the intercept orbit will intercept the colliding with the asteroid successfully after a fixed time.

Key words:orbit model; fixed time intercept; Gauss algorithm

文章編號：1006-0707(2016)03-0106-05

中圖分類號：V529.1；TJ861

文獻標識碼：A

doi:10.11809/scbgxb2016.03.026

作者簡介：丁文哲(1992—)，男，碩士，主要從事太空觀測研究。

收稿日期：2015-08-21；修回日期：2015-09-11

本文引用格式：丁文哲，楊虹，陳峰.基于高斯算法的小行星固定時間攔截[J].兵器裝備工程學(xué)報，2016(3):106-110.

【信息科學(xué)與控制工程】