對(duì)稱邊界條件下軌道炮有限元/邊界元仿真

林志朋，劉振祥，楊　棟，歐陽建明，楊麗佳

(國(guó)防科技大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)沙　410073)

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對(duì)稱邊界條件下軌道炮有限元/邊界元仿真

林志朋，劉振祥，楊棟，歐陽建明，楊麗佳

(國(guó)防科技大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)沙410073)

摘要：基于deal.ii編寫了電磁軌道炮有限元仿真程序，建立了拉格朗日運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)下電磁軌道炮的有限元仿真模型；通過使用有限元邊界元耦合方法可以對(duì)電磁軌道炮的邊界條件進(jìn)行計(jì)算，而無需對(duì)軌道炮周邊的空氣劃分網(wǎng)格，是一種處理電磁場(chǎng)邊界問題的有效方法；但是，由于邊界元方法，使用的是滿秩矩陣，在三維情況下計(jì)算量大，利用軌道炮的對(duì)稱性，使用對(duì)稱邊界條件，減少了參與計(jì)算的網(wǎng)格數(shù)目，從而減少計(jì)算量。

關(guān)鍵詞：軌道炮；有限元；邊界元；對(duì)稱邊界條件

Citation format:LIN Zhi-peng, LIU Zhen-xiang, YANG Dong, et al.Finite Element/Boundary Element Simulation of 3D Rail Gun with Coupling Method Based on Symmetry Condition[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(3):42-44.

電磁軌道炮通常主要是由兩條導(dǎo)軌和一個(gè)電樞組成的電磁加速裝置。通過組成電磁回路， 形成電磁場(chǎng)，并且與電樞上的電流相互作用，產(chǎn)生洛倫茲力推進(jìn)其前進(jìn)。電磁軌道炮的有限元仿真涉及運(yùn)動(dòng)﹑電接觸﹑熱傳導(dǎo)等諸多過程，非常復(fù)雜。電磁軌道炮在發(fā)射過程中會(huì)產(chǎn)生速度趨膚效應(yīng)，影響電樞上電流的分布，從而影響電樞的受力分布以及熱分布。對(duì)電磁軌道炮的有限元仿真有助于幫助理解電磁軌道炮發(fā)射的過程，為改進(jìn)電磁軌道炮的結(jié)構(gòu)提供指導(dǎo)依據(jù)， 降低研究成本。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)電磁軌道炮的有限元仿真進(jìn)行了研究，有基于歐拉坐標(biāo)系的[1]，也有基于拉格朗日坐標(biāo)系的， 如EMAP3D[2]。采用歐拉坐標(biāo)系可以采用流線迎風(fēng)算法來計(jì)算迎風(fēng)項(xiàng)[3]，而本文參考的了EMAP3D的設(shè)計(jì)原理，采用的是拉格朗日坐標(biāo)系。在電磁軌道炮仿真中由于角點(diǎn)的存在和對(duì)軌道炮的邊界條件進(jìn)行計(jì)算的需要，需要額外計(jì)算。一種方法是增加額外網(wǎng)格計(jì)算周邊的環(huán)境，一種是使用有限元/邊界元耦合方法，國(guó)內(nèi)林慶華等人[4-5]對(duì)這兩種方法都進(jìn)行過研究。

本文使用了有限元/邊界元耦合的方法，這樣可以不需要額外網(wǎng)格，但是由于邊界元方法使用了滿秩矩陣，在3維情況下計(jì)算量大，因此本文利用了軌道炮的對(duì)稱性，使用對(duì)稱邊界條件，減少了參與計(jì)算的網(wǎng)格數(shù)目，減少計(jì)算量。

1理論模型

電磁軌道由于具有對(duì)稱性，因此可以通過使用對(duì)稱邊界條件，減少計(jì)算量，圖1為仿真所用的網(wǎng)格。邊界條件的對(duì)稱約束可以利用矢勢(shì)和電場(chǎng)在對(duì)稱面上的反對(duì)稱性和連續(xù)性，結(jié)合拉格朗日乘子的方法施加。

圖1　仿真所使用的網(wǎng)格

在拉格朗日坐標(biāo)系下，圖1中電樞和導(dǎo)軌采用獨(dú)立坐標(biāo)，分別屬于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系和靜止坐標(biāo)系，這樣就不需要使用額外網(wǎng)格。兩坐標(biāo)系中電磁場(chǎng)方程是一致的，即：

(1)

運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格采用固定空間步長(zhǎng)的方式運(yùn)動(dòng)。通過隱式時(shí)間差分的算法計(jì)算矢勢(shì)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

由于在運(yùn)動(dòng)邊界上電場(chǎng)切向分量需要滿足連續(xù)性要求[6]，即：

(2)

方括號(hào)表示跳變，所以考慮運(yùn)動(dòng)后，有：

(3)

其中m代表運(yùn)動(dòng)標(biāo)，s代表靜止坐標(biāo)。上式表明：當(dāng)使用拉格朗日坐標(biāo)時(shí)，φ值的切向?qū)?shù)在運(yùn)動(dòng)邊界上是不連續(xù)的?？梢酝ㄟ^使用離散的φ勢(shì)或者添加額外的自由度表示這一切向跳變，本文采用后一種方法。為了便于計(jì)算交界面上電樞和導(dǎo)軌，采用了不同的自由度，然后通過拉格朗日乘子的方法進(jìn)行約束，使之保持連續(xù)。這樣就不用在每一個(gè)時(shí)間步重復(fù)計(jì)算有限元矩陣。

由于矢勢(shì)使用的是拉格朗日元，所以需要添加規(guī)范條件，即：

(4)

電樞所受的力可以通過方程：

(5)

來計(jì)算。之后用計(jì)算的力來修正運(yùn)動(dòng)時(shí)間步長(zhǎng)，反復(fù)迭代，當(dāng)兩次計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)接近時(shí)，即可認(rèn)為收斂。

本文程序?qū)㈦娫磁渲梅旁趐ython中，因此可以很容易實(shí)現(xiàn)對(duì)不同波形電流源或電壓源的支持。

計(jì)算的邊界條件可以通過有限元與邊界元耦合的方法得到，即除了使用有限元方程，還要加入邊界積分方程[7]：

(6)

其中G是格林函數(shù)，Ak是矢勢(shì)的分量，i是結(jié)點(diǎn)的編號(hào)。

由于電樞運(yùn)動(dòng)，在計(jì)算每一個(gè)時(shí)間步時(shí)需要重新計(jì)算邊界元相關(guān)的矩陣。為了減少計(jì)算量，可以視電樞與軌道中間部分一起運(yùn)動(dòng)，這時(shí)他們彼此間的相對(duì)位置不變，無需重復(fù)計(jì)算，而只要重新計(jì)算導(dǎo)軌首尾的貢獻(xiàn)即可。

對(duì)稱區(qū)域的邊界元可以通過映射方法得到，由于源點(diǎn)與網(wǎng)格上的場(chǎng)點(diǎn)距離不同，所以仍需要加入計(jì)算中。但由于網(wǎng)格只有原來的1/4，所需計(jì)算的場(chǎng)點(diǎn)也只有原來的1/4，使計(jì)算量大為減少。

2仿真結(jié)果

圖2為仿真所得的磁場(chǎng)分布圖，其中上側(cè)和右下側(cè)為對(duì)稱面，電樞從左下至右上側(cè)運(yùn)動(dòng)。圖中可以看到磁場(chǎng)趨于內(nèi)表面。磁場(chǎng)與右下側(cè)對(duì)稱面相垂直，結(jié)果是對(duì)稱的。計(jì)算量有效減少。

圖2　磁場(chǎng)分布圖

3結(jié)論

三維電磁軌道炮的有限元仿真由于大尺度，多物理，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，為了進(jìn)行精確的計(jì)算仿真，需要龐大的計(jì)算資源以及正確的仿真模型。通過編寫代碼，掌握了電磁仿真的關(guān)鍵技術(shù)，為改進(jìn)軌道炮的設(shè)計(jì)提供了理論模型。

本文建立了對(duì)稱邊界條件下，三維電磁軌道炮有限元邊界元耦合模型?？紤]了拉格朗日坐標(biāo)系下電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)邊界條件。通過合理的設(shè)計(jì)減少了軌道炮系有限元與邊界元耦合時(shí)所需的計(jì)算量。

本文程序仍然有許多可以改進(jìn)的地方，如本文為了不重復(fù)計(jì)算有限元矩陣，使用在運(yùn)動(dòng)方向上均勻的網(wǎng)格，當(dāng)軌道炮尺寸比較大時(shí)，計(jì)算量仍很大,以及由于電樞與軌道的網(wǎng)格不在同一坐標(biāo)系，需要添加跳變條件。這兩點(diǎn)可以通過使用隨電樞一起運(yùn)動(dòng)的網(wǎng)格改進(jìn)，在軌道的頭端可以通過動(dòng)態(tài)加入新網(wǎng)點(diǎn)保持計(jì)算的準(zhǔn)確性。由于沒有使用逆矩陣減少邊界元的計(jì)算量，在迭代時(shí)計(jì)算量比較大。在速度比較低時(shí)，時(shí)間步長(zhǎng)較大，影響對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算，為了提高精度可以結(jié)合非線性的顯示差分算法[8]，使用更加細(xì)致的網(wǎng)格提高精度，以及通過MPI或GPU對(duì)計(jì)算進(jìn)行進(jìn)一步的加速。

參考文獻(xiàn)：

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[4]林慶華,栗保明.電磁軌道炮三維瞬態(tài)渦流場(chǎng)的有限元建模與仿真[J].兵工學(xué)報(bào),2009(9):1159-1163.

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(責(zé)任編輯周江川)

Finite Element/Boundary Element Simulation of 3D Rail Gun with Coupling Method Based on Symmetry Condition

LIN Zhi-peng, LIU Zhen-xiang, YANG Dong, OUYANG Jian-ming, YANG Li-jia

(College of Science, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract:This article created finite element program and model for rail launch based on deal.ii in Lagrange coordinate frame. By using coupling finite element/boundary element coupling method, we can calculate boundary condition without air grid surround rail gun. It is a valid method to handle boundary problems of electromagnetic without the perimeter of the rail gun air mesh. But for boundary element method using full matrix which will cost a lot of calculation in 3D situation, we would better using symmetry conditions for rail gun to reduce the grid number and calculation.

Key words:rail gun; finite element; boundary element; symmetry condition

文章編號(hào)：1006-0707(2016)03-0042-03

中圖分類號(hào)：TM303.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.11809/scbgxb2016.03.011

作者簡(jiǎn)介：林志朋(1988—)，男，碩士研究生， 主要從事電磁發(fā)射與等離子體研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)防預(yù)研項(xiàng)目

收稿日期：2015-10-09；修回日期：2015-10-22

本文引用格式：林志朋，劉振祥，楊棟，等.對(duì)稱邊界條件下軌道炮有限元/邊界元仿真[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2016(3):42-44.

【裝備理論與裝備技術(shù)】