平面機(jī)構(gòu)全變量優(yōu)化設(shè)計方法研究

路遵友， 殷昌貴， 石　鈺， 李愛蓮， 黃建龍

(1.山東輕工職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程系， 山東 淄博 255300；

2.山東理工大學(xué) 農(nóng)業(yè)工程與食品科學(xué)學(xué)院, 山東 淄博 255049；

3.蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

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平面機(jī)構(gòu)全變量優(yōu)化設(shè)計方法研究

路遵友1， 殷昌貴2， 石鈺1， 李愛蓮1， 黃建龍3

(1.山東輕工職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程系， 山東 淄博 255300；

2.山東理工大學(xué) 農(nóng)業(yè)工程與食品科學(xué)學(xué)院, 山東 淄博 255049；

3.蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

摘要：以曲柄搖桿機(jī)構(gòu)為例，將全部桿長作為設(shè)計變量，根據(jù)各變量在設(shè)計范圍內(nèi)的不確定性，使從動件搖桿在主動件曲柄運(yùn)動規(guī)律一定的前提下能準(zhǔn)確按預(yù)定軌跡運(yùn)動，以理論和實際運(yùn)動軌跡之間偏差值的平方和最小為優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)，建立了數(shù)學(xué)模型，并給出了兩種優(yōu)化設(shè)計方法——序列二次規(guī)劃法和均勻設(shè)計法的優(yōu)化過程.研究結(jié)果表明：兩種方法均能達(dá)到更加良好的優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計精度均有大幅提高，優(yōu)化過程也更加簡便、可行.

關(guān)鍵詞：優(yōu)化設(shè)計； 序列二次規(guī)劃法； 均勻設(shè)計法； 四桿機(jī)構(gòu)

為確保運(yùn)動的穩(wěn)定性，平面機(jī)構(gòu)設(shè)計中常要求主動件和從動件在運(yùn)動軌跡上較多位置處都能最佳地逼近期望值，因此對機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計顯得非常重要. 由于傳統(tǒng)和常用的優(yōu)化設(shè)計方法中存在設(shè)計規(guī)范和設(shè)計參數(shù)經(jīng)驗取值的不確定性，就導(dǎo)致了設(shè)計的多解性，致使設(shè)計方案難以更好地符合客觀實際規(guī)律. 針對這個問題，作為典型的平面四桿機(jī)構(gòu)，曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計得到廣泛的研究. 以曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的理論和實際運(yùn)動軌跡之間偏差的平方和最小為設(shè)計目標(biāo)，劉惟信利用懲罰函數(shù)法對曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的搖桿和連桿兩個桿長作為設(shè)計變量進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，并計算得到理論和實際運(yùn)動軌跡間偏差的平方和最小為0.058 3[1]；而王富民等利用遺傳算法與懲罰函數(shù)結(jié)合的方法對連桿和搖桿兩個設(shè)計變量優(yōu)化設(shè)計后得到的偏差的平方和最小數(shù)值為0.012 0[2];黃建龍等利用模糊理論進(jìn)行的連桿和搖桿兩個設(shè)計變量優(yōu)化后得到的偏差的平方和最小數(shù)值為0.051 1[3];龔水明和尹君馳等各自利用MATLAB軟件編程對連桿和搖桿兩個設(shè)計變量優(yōu)化后得到的偏差的平方和最小數(shù)值為0.068 8和0.067 8[4-5]. 為深化機(jī)械優(yōu)化設(shè)計方法，本文將曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的全部4個桿長都作為設(shè)計變量，并分別給出利用目前較先進(jìn)的序列二次規(guī)劃法和從統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域引申出來的均勻設(shè)計法[6-7]進(jìn)行優(yōu)化的過程和結(jié)果分析，提出更加簡單實用的設(shè)計思路和方法，以期得到理想的結(jié)果.

1優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

圖1　曲柄搖桿機(jī)構(gòu)簡圖

(1)

式中：θ0為曲柄的位置角；φ0為搖桿的位置角.

1.1選取優(yōu)化設(shè)計變量

由文獻(xiàn)[1-5]知，由圖1可得如下關(guān)系式：

(2)

(3)

式中l(wèi)1、 l2、 l3、l4均未知，則設(shè)計變量為

(4)

1.2確定優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)函數(shù)

由設(shè)計變量的分析可知，對于本問題涉及到4個獨(dú)立參數(shù)，因此，只能最大程度上近似實現(xiàn)設(shè)計要求，故目標(biāo)函數(shù)可根據(jù)已知的運(yùn)動規(guī)律和實際運(yùn)動規(guī)律之間偏差值的平方和最小為目標(biāo)來建立，即

(f)x=∑(φi-φni)2

(5)

式中：φi為搖桿l3的期望輸出角， φni為實際輸出角，其中

φni=π-αi-βi

(6)

(7)

(8)

(9)

1.3建立優(yōu)化設(shè)計約束條件

優(yōu)化設(shè)計所要考慮的約束主要是機(jī)構(gòu)的傳動性和設(shè)計變量的邊界性. 因此，各設(shè)計變量的邊界性應(yīng)滿足如下約束條件：

(1)桿長約束條件：l1≥0 ，l2≥0，l3≥0，

l4≥0.

(2)曲柄存在條件

(10)

(3)對于4個桿長變量，在進(jìn)行設(shè)計前應(yīng)根據(jù)曲柄存在條件設(shè)定其變化范圍，不妨任意取

1≤l1≤2

2≤l2≤4

3≤l3≤5

4≤l4≤6

2序列二次規(guī)劃法的優(yōu)化設(shè)計分析

序列二次規(guī)劃法是MATLAB軟件優(yōu)化工具箱中的一種算法，該算法適合求解非線性約束優(yōu)化問題，其原理是將原非線性約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列的二次規(guī)劃子問題，再構(gòu)造變尺度矩陣，最后調(diào)用fmincon函數(shù)來求解出該約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解.本文將四桿長均作為變量進(jìn)行優(yōu)化，為得到優(yōu)化結(jié)果，先通過MATLAB軟件編寫名為fourbarfun.m的程序文件，內(nèi)容如下：

function f=fourbarfun(x)

f=0

a0=acos(((x(1)+x(2))^2-x(3)^2+x(4)^2)/(2*x(4)*(x(1)+x(2))))

b0=acos(((x(1)+x(2))^2-x(3)^2-x(4)^2)/(2*x(4)*x(3)))

fora=a0:pi/18:(a0+1.5707)

b=b0+2*(a-a0)^2/(3*pi)

r=sqrt(x(1)^2+x(4)^2-2*x(1)*x(4)*cos(a))

m=acos((r^2+x(3)^2-x(2)^2)/(2*r*x(3)))

n=acos((r^2-x(1)^2+x(4)^2)/(2*x(4)*r))

bb=pi-m-n

i=(bb-b)^2

f=f+i

end

編寫名為fourbarcon.m的程序文件，內(nèi)容如下：

function [c,ceq]= fourbarcon(x)

c=[x(2)^2+x(3)^2-1.414*x(2)*x(3)-(x(1)-x(4))^2;(x(1)+x(4))^2-x(2)^2-x(3)^2-1.414*x(2)*x(3)];

ceq=[]

編寫好上面的兩個文件并打開后，再根據(jù)約束條件及優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)在MATLAB軟件的Command Window窗口輸入如下優(yōu)化計算的程序語句：

x0=[2,3,4,5];

A=[11 -1 -1;1 -1 1 -1;1 -1 -1 1];

b=[0;0;0];

lb=zeros(3,1);

options=optimset('largescale','off');

[x,fval]=fmincon(@fourbarfun,x0,A,b,[],[],lb,[],@ fourbarcon,options)

運(yùn)行后結(jié)果如下

x =1.53183.04264.09605.0755

fval =0.0018

結(jié)果顯示對于四變量的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，SQP算法優(yōu)化后的四桿長分別為l1=1.531 8，l2=3.042 6，l3=4.096 0，l4=5.075 5，滿足約束條件要求，此時得到的偏差值的平方和為f(x)=0.001 8.

3均勻設(shè)計法的優(yōu)化設(shè)計分析

均勻設(shè)計法是當(dāng)前統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域最先進(jìn)的試驗設(shè)計方法，該設(shè)計方法適用于多因素和多水平的試驗設(shè)計條件，利用該方法能使試驗點(diǎn)在多維空間內(nèi)均勻分散，并讓有限的數(shù)據(jù)有較強(qiáng)的代表性，從而大幅減少試驗次數(shù).均勻設(shè)計法的基本設(shè)計思路是根據(jù)預(yù)定試驗的因素數(shù)和水平數(shù)，利用好格子點(diǎn)法構(gòu)造均勻設(shè)計表，再選用“均勻設(shè)計表”，最后確立各次試驗的條件和順序并進(jìn)行試驗，獲得試驗數(shù)據(jù).

試驗次數(shù)n變量因素1x1因素2x2因素3x3因素4x4偏差值的平方和f(x)11(1.0000)3(2.4444)4(3.6667)5(4.8889)0.023522(1.1111)6(3.1111)8(4.5556)10(6.0000)0.048433(1.2222)9(3.7778)1(3.0000)4(4.6667)0.001844(1.3333)1(2.0000)5(3.8889)9(5.7778)—55(1.4444)4(2.6667)9(4.7778)3(4.4445)0.017566(1.5556)7(3.3333)2(3.2222)8(5.5556)0.079077(1.6667)10(4.0000)6(4.1111)2(4.2222)0.006288(1.7778)2(2.2222)10(5.0000)7(5.3333)0.004499(1.8889)5(2.8889)3(3.4444)1(4.0000)0.09581010(2.0000)8(3.5556)7(4.3333)6(5.1111)0.0224

通過表1中數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)進(jìn)行到第3次試驗時，即可得到試驗方案中最小的目標(biāo)函數(shù)值，即在x1=1.222 2，x2=3.777 8，x3=3.000 0，x4=4.666 7時，此時偏差值的平方和f(x)=0.001 8.

試驗次數(shù)n變量因素1x1因素2x2因素3x3因素4x4偏差值的平方和f(x)11(1.0000)3(2.4444)7(4.3333)9(5.7778)0.034122(1.1111)6(3.1111)4(3.6667)8(5.5556)0.011333(1.2222)9(3.7778)1(3.0000)7(5.3333)0.001344(1.3333)2(2.2222)8(4.5556)6(5.1111)0.011855(1.4444)5(2.8889)5(3.8889)5(4.8889)0.118366(1.5556)8(3.5556)2(3.2222)4(4.6667)0.595877(1.6667)1(2.0000)9(4.7778)3(4.4445)0.158788(1.7778)4(2.6667)6(4.1111)2(4.2222)0.010099(1.8889)7(3.3333)3(3.4444)1(4.0000)0.2946

通過表2中數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)進(jìn)行到第3次試驗時，即可得到試驗方案中最小的偏差值，即在x1=1.222 2，x2=3.777 8，x3=3.000 0，x4=5.333 3時，此時偏差值的平方和為f(x)=0.001 3，得到的目標(biāo)函數(shù)值更小，結(jié)果更好.

4結(jié)束語

通過序列二次規(guī)劃法對本文的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行四變量優(yōu)化設(shè)計，從優(yōu)化結(jié)果可以看出，該方法能使得機(jī)構(gòu)理論運(yùn)動軌跡和實際運(yùn)動軌跡之間偏差的平方和達(dá)到0.001 8，相對于文獻(xiàn)[1-5]中對于兩參數(shù)的設(shè)計優(yōu)化最小結(jié)果0.012 0，設(shè)計精度提高了85%，效果明顯.

均勻設(shè)計法能將設(shè)計變量的試驗數(shù)據(jù)在設(shè)計范圍內(nèi)高度均勻分散，并能大幅度減少試驗次數(shù).從優(yōu)化結(jié)果上可以看出，采用均勻設(shè)計法來優(yōu)化產(chǎn)生設(shè)計變量的初始群體的數(shù)值，通過試驗的方法將數(shù)值帶入目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計算能達(dá)到優(yōu)化設(shè)計變量的目的，本文對于同一個數(shù)學(xué)模型，僅僅通過有限的試驗次數(shù)就能使得機(jī)構(gòu)已知運(yùn)動軌跡和實際運(yùn)動軌跡之間偏差的平方和達(dá)到0.001 8，甚至達(dá)到0.001 3的設(shè)計精度，不但比遺傳算法和懲罰函數(shù)法結(jié)合的方法設(shè)計精度提高了89.2%，還比本文應(yīng)用的序列二次規(guī)劃法的優(yōu)化設(shè)計精度提高了27.8%，更加充分體現(xiàn)了均勻設(shè)計法的優(yōu)越性.

參考文獻(xiàn):

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[2] 王富民,張揚(yáng),田社平.遺傳算法與懲罰函數(shù)法在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用[J]. 中國計量學(xué)院學(xué)報， 2004(4)：290-293.

[3] 黃建龍,路遵友. 基于模糊集理論的四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2007，33(1)：37-39.

[4] 龔水明,詹小剛.基于MATLAB優(yōu)化工具箱的機(jī)械優(yōu)化設(shè)計[J]. 機(jī)械工程師，2008(10)：92-94.

[5] 尹君馳,黃勇.MATLAB在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用[J]. 科技創(chuàng)新與應(yīng)用，2012(17)：65-66.

[6] 方開泰.均勻設(shè)計與均勻設(shè)計表[M]. 北京：科學(xué)出版社，1994.

[7] 方開泰.均勻設(shè)計及其應(yīng)用[J]. 數(shù)理統(tǒng)計與管理，1994(1)：57-63.

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[10] 邱宣懷. 機(jī)械設(shè)計[M]. 北京：高等教育出版社，1997.

(編輯：郝秀清)

All design variables optimization of the plane mechanism

LU Zun-you1, YIN Chang-gui2, SHI Yu1, LI Ai-lian1, HUANG Jian-long3

(1. Department of Mechanical and Electrical Engineering, Shandong Vocational College of Light Industry, Zibo 255300, China;2. School of Agricultural Engineering and Food Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China;3. College of Mechano-Electronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Abstract:Taking crank and rocker mechanism as an example and according to the uncertainty of design variables of the mechanism to be designed, all the rod length were used as the design variables with uncertainty in their each range, the driven rocker was made move exactly in accordance to a definite pattern specified by the motion pattern of driving crank. Taking the minimized sum of squares of deviation between theoretical and actual motion patterns as designing objective, a mathematical model was set up, and sequential quadratic programming method and uniform design method were used to design and optimize the model. Compared with other optimization methods, the results showed that sequential quadratic programming method and uniform design method used in this paper were simple and feasible to get better optimization objective and greatly improve the precision of design.

Key words:optimization design; sequential quadratic programming method; uniform design; four-bar linkage

中圖分類號：TH122

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)04-0075-04

作者簡介：路遵友，男，sdlivclzy@126.com

收稿日期：2015-04-27