可滲透島礁環(huán)境下的波浪運(yùn)動(dòng)研究

王 科，陳彧超，施鵬飛，邊 疆

（大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備與結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，工程力學(xué)系，遼寧 大連 116024）

可滲透島礁環(huán)境下的波浪運(yùn)動(dòng)研究

王 科，陳彧超，施鵬飛，邊 疆

（大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備與結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，工程力學(xué)系，遼寧 大連 116024）

文章應(yīng)用邊界單元法，依據(jù)波浪繞射理論研究了潛淹沒(méi)島礁上的波浪運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。研究中分析了島礁的滲透性、排布的數(shù)量、環(huán)礁瀉湖的深度等因素對(duì)于島礁消波作用的影響，獲得了不同島礁環(huán)境下波浪的透射系數(shù)、反射系數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，可滲透島礁的消波效果比不可滲透島礁差，且孔隙率越大，島礁對(duì)于波浪的消波效果越??；單個(gè)島礁對(duì)長(zhǎng)波有明顯的消波作用，而對(duì)中短波幾乎沒(méi)有影響；但隨著島礁排布數(shù)量的增加，島礁群對(duì)于中波的消波效果增加；環(huán)礁的消波效果受到瀉湖深度的影響，在一定范圍內(nèi)，瀉湖的深度越大，環(huán)礁對(duì)于中短波的消波效果越好，但當(dāng)瀉湖深度達(dá)到一定數(shù)值后，繼續(xù)增大深度，消波效果基本沒(méi)有提高。

可滲透島礁；邊界單元法；波浪透射及反射系數(shù)；瀉湖

0 引 言

我國(guó)的海域面積超過(guò)400萬(wàn)平方公里，南海地區(qū)有許多寬度達(dá)數(shù)公里、且潛深較小的珊瑚礁，這些自然島礁與潛式防波堤類似，有一定的消波能力。對(duì)于這些島礁，在開(kāi)發(fā)其漁業(yè)及旅游價(jià)值的同時(shí)，還可以充分利用其消波和護(hù)島功能，在周邊設(shè)置浮式結(jié)構(gòu)物，甚至構(gòu)建機(jī)場(chǎng)、補(bǔ)給基地等大型設(shè)施，來(lái)輔助礦產(chǎn)開(kāi)采、漁業(yè)生產(chǎn)、科研觀測(cè)等海洋開(kāi)發(fā)活動(dòng)[1]。要實(shí)現(xiàn)這些構(gòu)想，對(duì)于島礁環(huán)境下的波浪運(yùn)動(dòng)研究顯得非常重要。

早期主要通過(guò)監(jiān)測(cè)及試驗(yàn)手段來(lái)研究島礁環(huán)境下的波浪運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，Hardy等人[2]在1990年對(duì)澳大利亞大堡礁進(jìn)行可觀測(cè)試驗(yàn)來(lái)研究珊瑚礁與波浪的相互作用，結(jié)果表明島礁的消波作用很大程度上受其礁頂深度的影響。Gourlay（1994）[3]，用模型實(shí)驗(yàn)研究了島礁環(huán)境下不同波浪條件和不同水深條件下的波浪透射特性。Lowe等人（2005）[4]在夏威夷卡內(nèi)奧赫灣的堡礁開(kāi)展了兩星期的實(shí)驗(yàn)，布置多個(gè)測(cè)點(diǎn)來(lái)監(jiān)測(cè)波高、波速，研究了島礁對(duì)于波浪的消波作用。

近年來(lái)，考慮到島礁有著與潛式防波堤類似的特點(diǎn)，一些水動(dòng)力計(jì)算方法開(kāi)始被用于島礁波浪的相互作用研究。Hearn等人（1999）[5]引入了深度系數(shù)，用一維模型研究了島礁及瀉湖的水動(dòng)力特性，分析了深度系數(shù)對(duì)島礁水動(dòng)力特性的影響，并用澳大利亞寧格羅暗礁（Ningaloo reef）和美國(guó)卡內(nèi)奧赫灣（Kaneohe Bay）的相關(guān)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了模型的準(zhǔn)確性。丁軍等人（2014）[6]，用Morison公式和Green函數(shù)法研究了島礁環(huán)境下半潛式平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。田超等人（2014）[7-8]通過(guò)模型實(shí)驗(yàn)，研究了島礁環(huán)境下波浪變形及浮式結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，并通過(guò)緩坡方程引入了半潛式平臺(tái)在島礁環(huán)境下的島礁影響系數(shù)，提出了一種島礁環(huán)境下浮式結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的預(yù)報(bào)方法。Fang等人（2014）[9]用Boussinesq波浪模型并考慮波浪破碎及底部摩擦因素，對(duì)不同波浪條件及島礁環(huán)境下的波浪運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了數(shù)值模擬，結(jié)果與監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)吻合較好。

本文依據(jù)波浪繞射理論，發(fā)展了能求解任意復(fù)雜邊界的邊界元算法。通過(guò)算例驗(yàn)證，證明了本文采用的邊界元算法對(duì)于潛淹沒(méi)結(jié)構(gòu)上波浪運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的精確性，并對(duì)潛淹沒(méi)島礁上的波浪運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。本文計(jì)算了不同島礁環(huán)境下波浪的透射系數(shù)、反射系數(shù)，分析了島礁的滲透性、排布的數(shù)量、環(huán)礁瀉湖的深度這幾個(gè)因素對(duì)于島礁消波作用的影響。

1 數(shù)學(xué)理論及基本計(jì)算公式

圖1 計(jì)算示意圖Fig.1 Calculation sketch

1.1 邊界值問(wèn)題基本公式

如圖1所示，一個(gè)拋物線形的島礁位于水底，水深H，島礁寬度為B=2a，其頂部距水面距離為HS。建立如圖所示的笛卡爾坐標(biāo)系，取原點(diǎn)o位于水面，波浪沿著x軸正方向入射?？紤]不可壓縮、無(wú)粘性理想流體，則流速可以用速度勢(shì)函數(shù)的梯度表示，流體速度勢(shì)可以表示為：

在自由表面SF上，速度勢(shì)滿足線性自由表面條件：

若水底為不可滲透邊界，則在水底滿足：

若物面S0可滲透，則可將流場(chǎng)分成兩個(gè)區(qū)域：外流域Φ1和可滲透結(jié)構(gòu)內(nèi)流域Φ2，兩個(gè)流域的速度勢(shì)都滿足拉普拉斯方程?？紤]到相鄰流域必須在交界面上滿足連續(xù)性方程，則速度勢(shì)函數(shù)滿足：

其中：ε表示可滲透結(jié)構(gòu)的孔隙率，S為慣性系數(shù)，f為線性阻尼系數(shù)（Sollitt and Cross,1972），f可以通過(guò)下列公式求得[10]：

其中：ν為運(yùn)動(dòng)粘度，Cf為湍流阻力系數(shù)，KP為滲透介質(zhì)的固有滲透系數(shù)，q表示滲流速度的實(shí)部。Cf和KP是滲透介質(zhì)的本身特性，需要由實(shí)驗(yàn)測(cè)得，f則需要迭代求解得到。

計(jì)算邊界離島礁足夠遠(yuǎn)時(shí)（大于5倍水深），可認(rèn)為反射和透射波浪達(dá)到定常狀態(tài)，速度勢(shì)滿足：

基于線性假設(shè)，可以將速度勢(shì)分解為入射勢(shì)φI與繞射勢(shì)φD：

其中：φI為微幅波入射勢(shì)，可表示為：

其中：A為入射波振幅。

1.2 邊界積分方程

對(duì)于波浪繞射問(wèn)題，根據(jù)格林定理得到如下邊界積分方程：

如取格林函數(shù)基本解為下式，則可采用鏡像方法消除水底邊界積分：

當(dāng)物面邊界不可滲透時(shí)，將邊界條件（4）、（5）、（6）和（10)代入（15）式，得到：

1.3 透射系數(shù)與反射系數(shù)

透、反射系數(shù)可以計(jì)算如下，定義：

其中：eHR，eHI分別為eH的實(shí)部和虛部，相位α1為：

類似地，定義：

其中：eSR，eSI分別為eS的實(shí)部和虛部，相位α2為：

反射系數(shù)RF和透射系數(shù)RT可表示為：

1.4 可滲透島礁波浪運(yùn)動(dòng)研究

圖2 可滲透結(jié)構(gòu)計(jì)算示意圖Fig.2 Sketch of permeable structure

對(duì)于物面邊界不可滲透的情況，只存在一個(gè)流域，只需對(duì)外域的積分方程進(jìn)行求解，計(jì)算速度勢(shì)。而當(dāng)物面邊界為可滲透邊界時(shí)，流場(chǎng)分為外部流域和滲透結(jié)構(gòu)的內(nèi)部流域，見(jiàn)圖2，物面邊界條件變?yōu)閮?nèi)外速度勢(shì)φ1，φ2及其導(dǎo)數(shù)的相互關(guān)系，此時(shí)需對(duì)內(nèi)外流域進(jìn)行迭代求解，來(lái)計(jì)算內(nèi)外速度勢(shì)。

一般采用如下迭代步驟：

（5）具體程序執(zhí)行框圖見(jiàn)圖3。

圖3 迭代計(jì)算示意圖Fig.3 Sketch of iterative computation

2 結(jié)果與分析

2.1 算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文采用邊界元算法的精確性，本文對(duì)潛淹沒(méi)矩形防波堤的波浪運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，計(jì)算了其反射系數(shù)，并將結(jié)果與Cho和Lee（2004）[11]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較。如圖4所示，考慮一組不可滲透的矩形結(jié)構(gòu)，在水下依次排布，其尺寸為寬度la=高度lb=0.4 m，潛深Hs=0.4 m，矩形結(jié)構(gòu)的間距d為2.0 m，水深H為0.8 m，波高h(yuǎn)為0.04 m。

圖4 潛沒(méi)式矩形防波堤的示意圖Fig.4 Sketch of submerged rectangular breakwater

圖5 N=1時(shí)反射系數(shù)計(jì)算結(jié)果比較Fig.5 Comparison of reflection coefficient when N=1

Cho和Lee（2004）[11]對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，分別測(cè)得矩形個(gè)數(shù)N=1～3情況下的反射系數(shù)，并與特征函數(shù)展開(kāi)法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。本文通過(guò)邊界元方法對(duì)此算例進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于每個(gè)潛淹沒(méi)矩形結(jié)構(gòu)劃分180個(gè)邊界單元，得到反射系數(shù)結(jié)果如圖5～7所示，圖中橫坐標(biāo)為無(wú)因次化波數(shù)KH?？梢钥吹剑吔缭ǖ挠?jì)算結(jié)果與Cho和Lee（2004）[11]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，與特征函數(shù)展開(kāi)法的結(jié)果接近但也存在一定差異：邊界元法的結(jié)果曲線在前半段略小于特征函數(shù)展開(kāi)法，而在后半段則略大于特征函數(shù)展開(kāi)法，但是總體上兩者的計(jì)算結(jié)果比較接近。這說(shuō)明對(duì)于波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用的問(wèn)題，邊界元方法有較高的計(jì)算精度。

2.2 島礁的滲透性對(duì)于波浪運(yùn)動(dòng)的影響分析

對(duì)于島礁計(jì)算模型，經(jīng)反復(fù)試算，將圖2中流域邊界沿水平方向劃分成840個(gè)邊界單元，垂直方向劃分140個(gè)邊界單元，將每個(gè)島礁邊界劃分為180個(gè)邊界單元進(jìn)行計(jì)算?？蓾B透島礁潛沒(méi)于水面下，物面邊界S0為可滲透邊界，計(jì)算中具體取值如下：?jiǎn)蝹€(gè)島礁寬度B=2a=2.0 m，水深H=4.0 m，潛深HS=0.5 m，取湍流阻力系數(shù)Cf=0.295，固有滲透系數(shù)KP=1.057 2×10-7m2（Hsu和Wu，1999）[12]，運(yùn)動(dòng)粘度ν=1.0126×10-6m2/s[13]。取平均孔隙率ε分別為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5。下圖中橫坐標(biāo)為無(wú)因次化波數(shù)Ka，入射波浪振幅均為單位值。

圖6 N=2時(shí)反射系數(shù)計(jì)算結(jié)果比較Fig.6 Comparison of reflection coefficient when N=2

圖7 N=3時(shí)反射系數(shù)計(jì)算結(jié)果比較Fig.7 Comparison of reflection coefficient when N=3

圖8 可滲透島礁的透射系數(shù)Fig.8 Transmission coefficient of a permeable reef with different porosity

圖9 可滲透島礁的反射系數(shù)Fig.9 Reflection coefficient of a permeable reef with different porosity

圖8～9中ε=0的透、反射系數(shù)曲線為不可滲透島礁的計(jì)算結(jié)果?？梢钥吹剑瑵B透性并不影響曲線隨著相對(duì)波數(shù)Ka的增減變化趨勢(shì)，以及峰值出現(xiàn)的相應(yīng)位置；但隨著平均孔隙率ε的增大，反射系數(shù)逐漸減小，透射系數(shù)逐漸增大。當(dāng)島礁不可滲透時(shí)，反射系數(shù)在Ka=0.17處達(dá)到最大值，此時(shí)反射系數(shù)為0.63；而當(dāng)孔隙率ε達(dá)到0.5時(shí)，反射系數(shù)的最大值僅為0.50。

根據(jù)王新志等人（2008）[14]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我國(guó)南沙群島的礁灰?guī)r孔隙率為45%～55%；本文的計(jì)算結(jié)果顯示，ε=0.5時(shí)的反射系數(shù)峰值約為不可滲透情況下80% ，可見(jiàn)，礁灰?guī)r島礁的防浪作用要明顯差于不可滲透島礁。

2.3 島礁排布數(shù)量對(duì)于波浪運(yùn)動(dòng)的影響

考慮一組不可滲透的島礁，在水下連續(xù)排布，單個(gè)島礁寬度仍然取為B=2a=2.0 m，水深為H=4.0 m，潛深HS=1.0 m，取島礁間距d=B=2.0 m，計(jì)算島礁排布數(shù)量N分別為1，2，3時(shí)的相關(guān)參數(shù)，圖10為多島礁的計(jì)算示意圖，計(jì)算結(jié)果如圖11～12所示。

單個(gè)島礁的透、反射系數(shù)曲線呈拋物線狀，反射曲線的最大值約為0.45，透射曲線的最小值約為0.9；當(dāng)N=2時(shí)，透、反射系數(shù)曲線出現(xiàn)兩處峰值：在Ka=0.05處，反射系數(shù)約為0.45，透射系數(shù)為0.89，在Ka=0.45處，反射系數(shù)達(dá)到0.5，透射系數(shù)減小到0.86；當(dāng)N=3時(shí)，結(jié)果曲線的變化更為劇烈，有3處比較明顯的波峰：在Ka=0.02和Ka=0.2處，透射、反射系數(shù)達(dá)到峰值，反射系數(shù)為0.45，透射系數(shù)為0.9，在Ka=0.55處，反射系數(shù)達(dá)到最大值，約為0.62，透射系數(shù)則減小為0.78。

隨著島礁排布數(shù)量N的增大，透射、反射系數(shù)曲線的變化愈發(fā)劇烈。以反射系數(shù)為例，隨著N的增大，出現(xiàn)了更多的波峰。雙島礁情況下產(chǎn)生的第一個(gè)波峰，和三個(gè)島礁情況下產(chǎn)生的前兩個(gè)波峰，其峰值和單個(gè)島礁情況下的最大值基本相同，約為0.45，且都出現(xiàn)在0＜Ka＜0.3的長(zhǎng)波范圍內(nèi)，這表明島礁數(shù)量的增加不影響島礁對(duì)于長(zhǎng)波的作用，其對(duì)于長(zhǎng)波的消波效果和單個(gè)島礁基本相同；而在0.3＜Ka＜0.8的中波范圍內(nèi)產(chǎn)生的波峰，其峰值明顯大于其他波峰，且隨著島礁數(shù)量的增加而增大：N=2時(shí)反射系數(shù)為0.5，N=3時(shí)，反射系數(shù)達(dá)到0.62，這表明島礁數(shù)量的增加能加強(qiáng)島礁對(duì)中波的消波作用。當(dāng)Ka＞0.8時(shí)，不同島礁對(duì)波浪的反射系數(shù)在0.2以下。

圖10 多島礁的計(jì)算示意圖Fig.10 Sketch of multiple reefs

圖11 不同數(shù)量島礁的透射系數(shù)Fig.11 Wave transmission coefficients of multiple reefs

圖12 不同數(shù)量島礁的反射系數(shù)Fig.12 Wave reflection coefficients of multiple reefs

圖13 環(huán)礁的計(jì)算示意圖Fig.13 Schematic sketch of lagoon reef

綜上所述，當(dāng)潛深較大時(shí)，單個(gè)島礁僅對(duì)長(zhǎng)波有一定的消波作用，但是對(duì)中短波幾乎沒(méi)有效果；島礁排布數(shù)量的增加，并不會(huì)改善島礁對(duì)于長(zhǎng)波的效果，但能夠顯著增強(qiáng)對(duì)于中波的阻礙作用。

2.4 環(huán)礁的波浪運(yùn)動(dòng)分析

我國(guó)南海的地區(qū)有許多環(huán)礁，例如華光礁、美濟(jì)礁、仙娥礁等。珊瑚蟲(chóng)圍繞島嶼繁殖形成環(huán)狀珊瑚，當(dāng)發(fā)生地質(zhì)變化，島嶼下沉至海面以下，就形成了環(huán)礁及圍繞其中的瀉湖。

環(huán)礁的計(jì)算模型如圖13所示，環(huán)礁潛淹沒(méi)于水面以下，水深H=4.0 m，島礁寬度B=2a=4.0 m，瀉湖寬度為b=2.0 m，礁頂潛深HS=0.5 m，分別取瀉湖相對(duì)礁頂?shù)纳疃菻C為0.5 m，1.0 m，1.5 m，2.0 m，2.5 m和3.0 m，計(jì)算其透射系數(shù)和反射系數(shù)。

從圖14～15可以看到和雙島礁排布的情況類似，環(huán)礁的透射系數(shù)和反射系數(shù)隨著相對(duì)寬度Ka的變化出現(xiàn)兩個(gè)明顯的波峰：第一個(gè)波峰出現(xiàn)在Ka=0.1處，第二個(gè)波峰出現(xiàn)在Ka=1.2處。以反射系數(shù)為例，瀉湖相對(duì)礁頂?shù)纳疃菻C變化對(duì)第一個(gè)波峰的峰值影響很小，隨著HC增大，第一個(gè)波峰的峰值幾乎不變，約為0.65。HC由0.5增大到1.5的過(guò)程中，第二個(gè)波峰的峰值開(kāi)始增大：HC=0.5時(shí)，為0.47，HC=1.0時(shí)為0.51，HC=1.5時(shí)，為0.52，而當(dāng)HC達(dá)到1.5后，瀉湖深度繼續(xù)增大對(duì)反射系數(shù)的影響很小，這時(shí)環(huán)礁的消波作用不再隨深度變大而增強(qiáng)。

圖14 瀉湖深度不同時(shí)環(huán)礁的透射系數(shù)Fig.14 Transmission coefficient of lagoon reef with different lagoon depth

圖15 瀉湖深度不同時(shí)環(huán)礁的反射系數(shù)Fig.15 Reflection coefficient of lagoon reef with different lagoon depth

3 結(jié) 論

本文根據(jù)波浪繞射理論，應(yīng)用邊界元方法，對(duì)于島礁環(huán)境下的波浪運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了計(jì)算，分析了島礁滲透性，排布數(shù)量，環(huán)礁瀉湖的潛深等因素對(duì)于波浪運(yùn)動(dòng)的影響，得到以下結(jié)果：

（1）可滲透島礁的消波效果差于不可滲透島礁，且孔隙率越大，島礁對(duì)于波浪的阻礙越小。

（2）單個(gè)島礁的消波作用集中在長(zhǎng)波，而對(duì)中短波幾乎沒(méi)有效果；島礁排布數(shù)量的增加，會(huì)增強(qiáng)島礁對(duì)于中波的阻礙作用。

（3）環(huán)礁的消波效果受到其瀉湖深度的影響，在一定范圍內(nèi)，瀉湖深度越大，環(huán)礁對(duì)于中短波的消波效果越好；但當(dāng)深度達(dá)到一定程度后，繼續(xù)增大，則基本不影響其消波效果。

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Study on wave motion over submerged reefs

WANG Ke,CHEN Yu-chao,SHI Peng-fei,BIAN Jiang
(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Based on wave diffraction theory,boundary element method is applied to study wave motion over submerged reefs.The transmission coefficient,reflection coefficient under different conditions such as permeability,number of arrays and the lagoon’s depth are obtained.It is found that,porous reefs have less wave elimination effect than impermeable reefs.When the porosity of reefs is bigger,their wave elimination ability will become worse.A single reef is only efficient on the wave elimination of long waves,while an array of reefs have an efficient wave elimination effect on medium waves.Lagoon reef’s wave elimination ability is determined by lagoon’s depth.The wave elimination effect of lagoon reef on medium and short waves will get better when lagoon’s depth increases.But the elimination effect will show little change when lagoon’s depth reaches a certain value.

permeable reefs;boundary element method;wave transmission and reflection coefficient; lagoon

U661.1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.08.005

1007-7294（2016）08-0964-09

2016-05-09

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（2013CB036101）；國(guó)家自然科學(xué)基金（51379037）

王 科（1970-），男，副教授，E-mail:kwang@dlut.edu.cn；陳彧超（1990-），男，碩士研究生。