指數(shù)B-樣條函數(shù)與Gabor函數(shù)

馮　惠，　吐?tīng)柡榻ぐ⒉级伎肆δ?，　熱依木汗·熱西提，　張小?/p>

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054)

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指數(shù)B-樣條函數(shù)與Gabor函數(shù)

馮惠，吐?tīng)柡榻ぐ⒉级伎肆δ?，熱依木汗·熱西提，張小燕

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830054)

摘 要：為了利用指數(shù)B-樣條函數(shù)的平移不變性，文章分析了一些有關(guān)它們的性質(zhì)，并且給出了低階指數(shù)B-樣條函數(shù)的顯示表達(dá)式，它對(duì)于調(diào)整參數(shù)很有用。從而，通過(guò)選擇一組特殊的參數(shù)，便可以獲得具有良好的時(shí)頻局部化的Gabor類函數(shù)。最后，給出了多分辨率和小波分析的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：指數(shù)樣條函數(shù); Gabor形狀函數(shù); 多分辨率分析

樣條理論是通過(guò)分段多項(xiàng)式分段函數(shù)來(lái)定義的[1,2]。而這些函數(shù)的一個(gè)很顯著的優(yōu)點(diǎn)是能夠進(jìn)行快速估值[3]。也可以用分段指數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)代替分段多項(xiàng)式函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，如果指數(shù)函數(shù)是實(shí)函數(shù)的話，由它獲得的指數(shù)B-樣條函數(shù)就不再對(duì)稱。這也意味著基函數(shù)不再是線性相位的，這在圖像處理等領(lǐng)域中將不再有吸引力。然而，通過(guò)使用虛數(shù)作為指數(shù)部分的參數(shù)，便能得到實(shí)對(duì)稱的復(fù)函數(shù)。這些函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)可以在文獻(xiàn)[4,5]中找到。

目前的工作能夠處理一些有著Gabor函數(shù)形狀的指數(shù)B-樣條函數(shù)。通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，已經(jīng)可以描述出當(dāng)n=2,4時(shí)的指數(shù)B-樣條函數(shù)。

1指數(shù)B-樣條函數(shù)

1.1指數(shù)B-樣條函數(shù)的定義

(1)

(2)

為了獲得指數(shù)B-樣條函數(shù)，此時(shí)權(quán)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)

圖1　n=2時(shí)，由卷積生成的指數(shù)樣條函數(shù)

在圖1中能夠看到階為2的指數(shù)B-樣條函數(shù)的圖形，其中實(shí)部和虛部都被表示出來(lái)。

指數(shù)樣條函數(shù)族有一個(gè)用IIR濾波器快速估計(jì)的方法[6],它和多項(xiàng)式B-樣條算法相對(duì)應(yīng)。指數(shù)樣條函數(shù)傅里葉變換也有明確的形式：

1.2指數(shù)B-樣條函數(shù)的擴(kuò)充

指數(shù)B-樣條函數(shù)的擴(kuò)充記號(hào)如下：

(3)

其中，m是正整數(shù)。在文獻(xiàn)[6]中，它是以離散的相關(guān)形式存在，可以找到n是偶數(shù)時(shí)的連續(xù)對(duì)應(yīng)，即

(4)

代入(4)式，便能夠進(jìn)行塔式(多分辨率)與小波分解。此時(shí)，構(gòu)成濾波器組的函數(shù)就是復(fù)函數(shù)。在表1中，對(duì)于n=2,3,4分段指數(shù)給出B-樣條函數(shù)的通用公式。

2利用指數(shù)B-樣條函數(shù)構(gòu)造Gabor形狀函數(shù)

2.1Gabor形狀樣條函數(shù)

而通過(guò)選擇一個(gè)合適的指數(shù)樣條權(quán)函數(shù)，就能夠獲得Gabor形狀函數(shù)。因此，為了使這些函數(shù)逼近必須要滿足一個(gè)重要的條件就是進(jìn)行統(tǒng)一劃分：

在這種情況下，能夠保證原來(lái)的函數(shù)和樣條產(chǎn)生的函數(shù)之間的誤差是隨著采樣率的增加而減小的。而這類函數(shù)也將會(huì)變?yōu)椋?/p>

表1　分段指數(shù)樣條函數(shù)(n=2,3，4)

.

圖2　α=1的指數(shù)函數(shù)和n=4的多項(xiàng)式B-樣條函數(shù)

2.2相關(guān)小波

多分辨率分析的另一個(gè)步驟就是獲得它的對(duì)應(yīng)小波。在獲得多項(xiàng)式樣條小波函數(shù)的過(guò)程中[9]，在基函數(shù)的基礎(chǔ)上定義了小波函數(shù)：

(5)

其中，n為偶數(shù)。正交性條件來(lái)源于條件

(6)

通過(guò)使用一個(gè)類似于文獻(xiàn)[3]中所描述的程序，而不是使用復(fù)雜的離散函數(shù)，便得到

在圖3中分別給出了α=1時(shí)n=2和n=4的指數(shù)樣條函數(shù)圖像。相應(yīng)的指數(shù)B-樣條函數(shù)的形狀也表明了當(dāng)α趨于0時(shí)，實(shí)部比虛部變化明顯。對(duì)于n=4時(shí)，能夠觀察到小波函數(shù)又與Gabor函數(shù)比較相像。

(a)α=1,n=2　　　　　　　　　　　　 (b) α=1,n=4

3結(jié)論

對(duì)于指數(shù)B-樣條函數(shù)，在給出低階樣條函數(shù)的通項(xiàng)公式的情況下，通過(guò)選擇合適的參數(shù)，便可以得到一個(gè)新的具有Gabor函數(shù)特征的復(fù)雜樣條函數(shù)。由Gabor函數(shù)的基函數(shù)，可以類似地利用指數(shù)B-樣條小波函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程，便能構(gòu)造出相應(yīng)的Gabor類小波函數(shù)。這種方法是普遍的，當(dāng)α=0時(shí)，多項(xiàng)式B樣條才由一般成為特殊。更重要的是，該方法對(duì)于多項(xiàng)式B-樣條函數(shù)在樣條空間的計(jì)算和構(gòu)建是可以利用的。因此，對(duì)于多項(xiàng)式樣條函數(shù)技術(shù)在實(shí)函數(shù)空間的使用推廣到一個(gè)更復(fù)雜的空間是非常有希望的。

參考文獻(xiàn)：

[1] M.Unser. Splines: A perfect fit for signal and image processing[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 1999,16(6):22-38.

[2] 吐?tīng)柡榻ぐ⒉级伎肆δ? 小波信號(hào)處理基礎(chǔ)[M]. 北京：北京郵電大學(xué)出版社，2014.

[3] M.Unser,A.Aldroubi and M.Eden. Fast B-Spline transform for continuous image representation and interpolation,IEEE Trans[J].Patter Anal.&Machine Intell, 1991,13(3):277-285.

[4] W.Dahmen and C.A.Micchelli. On the theory and application of exponential splines. in Topics in Multivariate Approximation,C.K. Chui,L.L.Schumaker and F.I.Utreras(eds.)[M].Academic Press, New York,1987:37-46.

[5] A.Ron. Exponential Box Splines[J].Constructive Approximation,1988,(4):357-378.

[6] T.Asahi,K.Ichige, R.Ishii.A computationally efficient algorithm for exponential B-splines based on difference/IIR filter approach[J]. IEICE Trans.on undamentals,2002,E85-A(6):1265-1273.

[7] M.Unser,A.Aldroubi and M.Eden.On the convergence of B-spline wavelets to gabor functions[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1992,38(2):864-872.

[8] N.Kingsbury. Complex wavelets for shift invariant analysis and filtering of signals[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis,2001,10:234-253.

[9] M.Unser,A.Aldroubi and M.Eden. A family of polynomial spline wavelet transforms[J]. Signal Processing,1993,30(2):141-162.

[10] M.Liebling,T.Blu,and M.Unser. Fresnelets:new multiresolution wavelet bases for digital holography[J]. IEEE Transactions on Image Processing,2003,12(1):29-43.

Exponential B-splines and Gabor function

FENG Hui,Tuerhongjiang·ABUDOUKELIMU*,Reyimuhan·REXITI,ZHANG Xiao-yan

(SchoolofMathematicalSciences,XinjiangNormalUniversity,Urumqi,Xinjiang, 830054,China)

Abstract:This paper analyzes some properties of the exponential B-splines,in order to use them as a shift invariant base.By choosing a particular set of parameters,Gabor-like functions are obtained,which have good time-frequency localization.Explicit formulation for lower order functions is given,which is useful for adjusting the parameters.Finally,the relations for a multi-resolution and wavelet analysis are given.

Key words:Exponential B-splines; Gabor-like functions; Multi-resolution

中圖分類號(hào):O174.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-9659(2016)01-053-05

[作者簡(jiǎn)介]馮惠(1990-),女,甘肅古浪人，碩士研究生，從事小波分析及其應(yīng)用方向的研究。*[通訊作者] 吐?tīng)柡榻ぐ⒉级伎肆δ?1962-)，男，新疆烏魯木齊人，教授，從事小波分析及其應(yīng)用方向的研究。

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11261061，61362039，10661010)；新疆維吾爾自治區(qū)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(200721104)。

[收稿日期]2015-12-12