半球諧振陀螺儀頻率裂解及固有剛性軸的測試方法

李　巍，金　鑫，任順清（.哈爾濱理工大學自動化學院，哈爾濱50030；.哈爾濱工業(yè)大學空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱5000）

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半球諧振陀螺儀頻率裂解及固有剛性軸的測試方法

李巍1*，金鑫1，任順清2
（1.哈爾濱理工大學自動化學院，哈爾濱150030；2.哈爾濱工業(yè)大學空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱150001）

摘要：半球諧振陀螺儀以其壽命長、可靠性高、體積小、重量輕、精度高而且可微型化的優(yōu)點將在衛(wèi)星、潛艇等導航領(lǐng)域有著廣泛的應用前景。對半球諧振陀螺儀的而言，頻率裂解值與固有剛性軸的位置是其關(guān)鍵的技術(shù)指標，因此設(shè)計測試方案對其進行精確測試是十分必要的。根據(jù)陀螺儀工作原理，從理論角度進行了推導，建立存在頻率裂解及與固有剛性軸不重合時諧振子的運動方程，通過研究主駐波及輔助波的表達式，進而得到了振動位移的精確表達式，最后設(shè)計了在固定位置安裝兩組激勵電極以及兩組位移傳感器對頻率裂解以及固有剛性軸位置進行測試的測試方案，并給出了最佳的測試時間。

關(guān)鍵詞：導航；半球諧振陀螺儀；頻率裂解；固有剛性軸；電極；位移傳感器

半球諧振陀螺是目前精度最高的哥氏振動陀螺，與傳統(tǒng)陀螺相比，在結(jié)構(gòu)上不存在高速轉(zhuǎn)子和活動支承，它的穩(wěn)定性好、噪聲低、分辨力高、壽命長、可靠性高，具有抗核輻射等功能，在衛(wèi)星，星際航行中有著廣闊的應用前景，因此受到慣性技術(shù)界的極大關(guān)注［1-6］。

上世紀80年代～90年代，我國開始了半球諧振陀螺儀的理論研究。十·五期間，中電集團二十六所成功研制出半球諧振陀螺儀樣機，十一·五期間研制的產(chǎn)品在性能上有了很大改進，在此基礎(chǔ)上，國內(nèi)半球諧振陀螺儀的研究及應用逐步興起，對半球諧振陀螺儀的信號檢測技術(shù)、誤差分析、控制技術(shù)等進行了廣泛研究［7-12］。

如果陀螺儀振型的方位與固有剛性軸之一的方位重合，那么振型將是駐波，否則，振型將發(fā)生進動，從而影響陀螺儀的精度，如果頻率裂解值過大，也將對陀螺儀的精度產(chǎn)生影響［13-15］。目前，對于頻率裂解值以及固有剛性軸的測試問題進行研究的文獻較少，而且所設(shè)計的測試方案比較復雜［16］，因此，為了達到提高陀螺精度的目的，對頻率裂解值以及固有剛性軸的方位進行精確且相對簡單測試是十分必要的。

本文將針對頻率裂解值和剛性軸位置的測試進行研究。

1　固有剛性軸與頻率裂解介紹

對固態(tài)波陀螺諧振子中駐波特性產(chǎn)生最實質(zhì)性影響的是諸如密度、楊氏模量、薄殼的壁厚等參數(shù)的不均勻性的傅里葉展開式的第四次諧波。偏差四次諧波的存在導致諧振子中出現(xiàn)兩個相互間展成45°的兩個固有軸系，諧振子沿這兩個軸中的每個軸振動的固有頻率都能達到極大和極小值如圖圖1所示。極大值和極小的頻率差稱作固有頻率的裂解：

ω2-ω1=Δ（1）

固有頻率較小的固有軸稱為“重的”；固有頻率較大的軸稱為“輕的”。在固有軸方面還有一個術(shù)語：大固有頻率的軸稱為大剛度軸，小固有頻率的軸稱為小剛度軸。使用“重量的”還是“剛性的”術(shù)語來稱呼取決于所描述的物理過程是怎樣的。

駐波將隨著時間而破壞，諧振子中的振動過程可以表示為帶各種頻率的兩個諧波振動和形式。

圖1　固有剛性軸

2　存在頻率裂解及不對準固有剛性軸時諧振子的運動方程

通常采用的諧振子位置式激勵原理圖如圖2所示，其中，X為一對激勵電極，Y為位移傳感器，當激勵電極X激勵出的波時，位移傳感器Y用來測量節(jié)點處駐波的振動，兩者之間夾角為45°。

圖2　位置激勵的原理圖

首先，激勵電極X通電，激勵出振型，然后切斷激勵電極X的電壓，激勵波處于自由振動狀態(tài)，此時諧振子的運動方程為：

式中：?0為波相對固有剛性軸的方位。取諧振子固有頻率w0，使得ω1<ω0<ω2，令：

則式（2）變?yōu)椋?/p>

設(shè)式（3）的系數(shù)矩陣為P，根據(jù)式（3）則P的行列式：

當det P=0時，式（3）表示的過程為駐波。根據(jù)式（4）只有當φ0=0,π 4，振型的初始方位與某一固有剛性軸的方位重合時，波動過程才為駐波；只有當研究波動過程的時間t滿足：Δt?1時，式（4）才“幾乎”滿足駐波條件，此時的波動過程可以看做兩個按圓周角和瞬時相位相互正交的駐波耦合。此時令參數(shù)a為：

式中：I2(P)=a2+b2+m2+n2。

P可表示為

矩陣X，Y分別為兩個駐波的系數(shù)矩陣，且有detX=detY=0，以X為系數(shù)矩陣的主駐波，以Y為系數(shù)矩陣的輔駐波。

可知如果主駐波是式（2）表示的波動過程的最佳逼近，根據(jù)式（6），則有

式中：O(α2)為接近0的高階小量。

根據(jù)式（6），I2(P)可表示成以下形式：

式中：α2I2(Y)為2階小量。

根據(jù)式（7）以及式（8），如果式（7）成立，那么有下面關(guān)系：

設(shè)存在矩陣S，使Y=S-1XS，為滿足式（5-45），S取以下形式：

根據(jù)式（10），式（8）可改寫成以下的形式

改寫式（11）

式（12）按a的線性逼近，：

根據(jù)式（13），可以確定稱輔駐波的系數(shù)矩陣Y的形式為

根據(jù)式（4）和式（5），得到

設(shè)主駐波的系數(shù)矩陣X為

根據(jù)式（13），式（14）以及式（4），得到主駐波的矩陣X的系數(shù)a，b，m，n：

主駐波形式的為：

考慮到Δ1t?1和Δ2t?1，而a值有與Δ1，Δ2值相同的階，故而舍去a與Δ1，Δ2的乘積項，只保留a的一次項，得到：

基本變換后可寫成表達式：

或

式中，ω*=ω1cos2(2φ0)+ω2[sin2(2φ0)]

根據(jù)式（18）進一步得到輔駐波的表達式：

綜上，振動位移表達式（2），可表示為：

從式（20）可以看出，對于單點位置激勵，諧振子的運動方程中包含了固有剛性軸位置及頻率裂解的相關(guān)量，將會對陀螺儀的精度產(chǎn)生影響，因此對其進行測試是十分必要的。

3　頻率裂解及固有剛性軸的測試方法

根據(jù)前面的分析，設(shè)計了一種雙激勵電極雙位移傳感器的測試方案。所提出的頻率裂解值和固有剛性軸位置測試圖如圖3所示，其中A、B分別為一對激勵電極，C、D分別為位移傳感器，設(shè)激勵電極B處為0度，角度沿順時針方向，電極A與電極B以及位移傳感器C、D之間的夾角都為22.5°，j4為距離位移傳感器D最近的固有剛性軸的角度。當激勵電極A激勵出的波時，位移傳感器C用來測量節(jié)點處駐波的振動，另一個位移傳感器D用于測量激勵電極B激勵的駐波在節(jié)點處的振動。

圖3　頻率裂解值和固有剛性軸位置測量圖

利用位移傳感器C來檢測節(jié)點處信號的位移，以固有剛性軸位置為基準，以逆時針方向為正，則節(jié)點處j0以及j相應值為

將式（21）代入到式（20）中，C處的波動過程可以表示以下形式

則位移傳感器C處檢測的信號幅值為

可將幅值A(chǔ)表示為如下形式

式中：A0為激勵波的常值幅值；t表示切斷激勵電極后至采樣時刻的時間（s）；

根據(jù)式（24），式（23）可改寫為：

同理，接通激勵電極B，激勵出振型后，切斷激勵電極B的電壓，此時位移傳感器D檢測到的信號為

根據(jù)式（25）以及式（26）可以看出檢測得到信號的幅值是與檢測時間有關(guān)的，因此得到最好的辨識效果，需要在信號幅值最大的時刻進行檢測，圖3為信號幅值隨時間變化曲線圖。由圖4可見當采樣時間t=64 s時，位移傳感器檢測到的信號幅值最大。

圖4　信號幅值隨時間變化趨勢圖

根據(jù)式（25）以及式（26）得到，頻率裂解值以及固有剛性軸位置的數(shù)學計算公式分別為：

式中，采樣時間t為64 s。

由式（27）、式（28）可以看出，當采用設(shè)計的測試方案時，只需要采集兩個位置傳感器的輸出信號，就可以得到頻率裂解與固有剛性軸的精確數(shù)值。

因此，可以利用兩組激勵電極和位移傳感器，根據(jù)式（27）及式（28）對半球諧振陀螺儀的頻率裂解值以及固有剛性軸的位置進行測試計算。相對于中所選用的16電極測試方案［15］，本文設(shè)計測試方案只使用了兩組激勵電極和兩個位移傳感器，更加簡單有效。

4　結(jié)論

設(shè)計了半球諧振陀螺儀的頻率裂解值以及固有剛性軸位置的測試方案，并給出了試驗的最佳采樣時刻。設(shè)計試驗對半球諧振陀螺儀的技術(shù)指標的測試是十分有意義的，可以對半球諧振陀螺儀的性能有更加直觀的了解，也為提高陀螺儀的精度進行補償提高了相應的理論依據(jù)。

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李?。?982-），男，博士，畢業(yè)于哈爾濱工業(yè)大學，講師，哈爾濱理工大學大學自動化學院，參加多項省部級課題項目，研究方向為精密檢測技術(shù)，曾以第一作者發(fā)表多篇學術(shù)論文被工程索引（EI）等國際檢索機構(gòu)收錄，leenwei901@163.com。

Measurement of Frequency Splitting and Inherent Rigidity Shaft of Hemispherical Resonator Gyro

LI Wei1，JIN Xin1，REN Shunqing2
（1.School of Automation，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150030，China；2.Space Control and Inertial Technology Research Center，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

Abstract：Hemispherical resonator gyro（HRG）has a wide application prospect in fields of satellite，submarine etc，which has the features of high precision reliability，long life span，small volume，light-weight，high-precision and be?ing miniaturized. Frequency splitting and inherent rigidity shaft are very important specification for HRG，therefore，it is necessary to design the measurement to identify that. According to the operational principle of the gyroscope，the radial vibration equation of resonator is established while the frequency splitting and inherent rigidity shaft are taken into account，by studying the expression of the main wave and auxiliary wave，the exact expression of vibra?tion displacement is given，the measurement and identification method of frequency splitting and inherent rigidity shaft using two groups of electrodes and displacement sensors was designed，and the optimal sample time was given too at last.

Key words：navigation；hemispherical resonator gyro；frequency splitting；inherent rigidity shaft；actuator；displace?ment sensor

doi：EEACC：063010.3969/j.issn.1004-1699.2016.03.006

收稿日期：2015-09-09修改日期：2015-11-23

中圖分類號：V249.32

文獻標識碼：A

文章編號：1004-1699（2016）03-0338-05