數(shù)列、不等式、推理證明專項(xiàng)練習(xí)

一、填空題（共70分）

1.已知-π2<α<β<π2，則α-β2的取值范圍是.

2.當(dāng)x>0時(shí)，則f（x）=2xx2+1的最大值為.

3.對(duì)于平面幾何中的命題“如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“”，這個(gè)類比命題的真假性是.

4.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為x8天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品件.

5.設(shè)a，b為正實(shí)數(shù).現(xiàn)有下列命題：

①若a2-b2=1，則a-b<1；

②若1b-1a=1，則a-b<1；

③若|a-b|=1，則|a-b|<1；

④若|a3-b3|=1，則|a-b|<1.

其中的真命題有.（寫出所有真命題的編號(hào)）

6.用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會(huì)越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的1k（k∈N*），已知一個(gè)鐵釘受擊3次后全部進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長度是釘長的47，請(qǐng)從這個(gè)實(shí)事中提煉出一個(gè)不等式組是.

7.已知a∈R+，函數(shù)f（x）=ax2+2ax+1，若f（m）<0，比較大?。篺（m+2）1.（用“<”或“=”或“>”連接）.

8.觀察下列等式：

1-12=12

1-12+13-14=13+14

1-12+13-14+15-16=14+15+16

……

據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為.

9.設(shè)關(guān)于x，y的不等式組2x-y+1>0，x+m<0，y-m>0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0）滿足x0-2y0=2，求得m的取值范圍是.

10.在等比數(shù)列{an}中，已知a6-a4=24，a3·a5=64，則數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和為.

11.已知函數(shù)y=ax+b的圖象如圖所示，則1a-1+2b的最小值=.

12.設(shè)平面內(nèi)有n條直線（n≥3），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)，若用f（n）表示n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)n>4時(shí)，f（n）=.

13.已知x，y∈R，滿足2≤y≤4-x，x≥1，則x2+y2+2x-2y+2xy-x+y-1的最大值為.

14.數(shù)列{an}滿足（sn-n2）（an-2n）=0（n∈N），其中sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)各寫了該數(shù)列的前四項(xiàng)：甲：1，3，5，7；乙：1，4，8，7；丙：1，4，4，7；?。?，3，8，4.請(qǐng)你確定這四人中所有書寫正確的學(xué)生.

二、解答題（共90分）

15.已知不等式mx2-nx-n2<0，

（1）若此不等式的解集為{x|-1

（2）若m=2，求此不等式的解集.

16.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，滿足an+1=（q-1）Sn+1（q≠0）.

（1）求首項(xiàng)a1的值；

（2）若S4，S10，S7成等差數(shù)列，求證：a3，a9，a6成等差數(shù)列.

17.已知集合A={x|x2-（3a+3）x+2（3a+1）<0，x∈R）}，B={x|x-ax-（a2+1）<0，x∈R}.

（1）求4B時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求使BA的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.設(shè)向量a=（x，2），b=（x+n，2x-1）（n∈N*），函數(shù)y=a·b在[0，1]上的最小值與最大值的和為an，又?jǐn)?shù)列{bn}滿足：nb1+（n-1）b2+…+bn=（910）n-1+（910）n-2+…+910+1.

（1）求證：an=n+1；

（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)cn=-anbn，試問數(shù)列{cn}中，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有cn≤ck成立？證明你的結(jié)論.

19.如圖，某生態(tài)園欲把一塊四邊形地BCED辟為水果園，其中∠C=∠D=90°，BC=BD=3，CE=DE=1.若經(jīng)過DB上一點(diǎn)P和EC上一點(diǎn)Q鋪設(shè)一條道路PQ，且PQ將四邊形BCED分成面積相等的兩部分，設(shè)DP=x，EQ=y.

（1）求x，y的關(guān)系式；

（2）如果PQ是灌溉水管的位置，為了省錢，希望它最短，求PQ的長的最小值；

（3）如果PQ是參觀路線，希望它最長，那么P、Q的位置在哪里？

20.設(shè)正整數(shù)a，b，c滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，an+bn=cn+1.

（1）求證：a+b≥c；

（2）求出所有滿足題設(shè)的a，b，c的值.

參考答案

一、填空題

1.（-π2，0）

2.1

3.如果兩個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ).（答案不唯一）假命題

4.80

5.①④

6.47+47k<147+47k+47k2≥1

7.>

8.1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n

9.（-∞，-23）

10.85或255

11.3+22

12.12（n-2）（n+1）

13.103

14.甲、丙、丁

二、解答題

15.（1）因?yàn)閙x2-nx-n2<0的解集為{x|-1

所以-1，2是方程mx2-nx-n2=0的兩個(gè)根.

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有nm=-1+2=1，-n2m=（-1）×2=-2，

解得m=n=2.

（2）m=2，不等式mx2-nx-n2<0即2x2-nx-n2<0，

2x2-nx-n2<0（2x+n）（x-n）<0.

（1）若n=0，則原不等式為2x2<0，解集為.

（2）若n>0，則n-（-n2）=3n2>0，即-n2

（3）若n<0，則n-（-n2）=3n2<0，即-n2>n，原不等式的解集為（n，-n2）.

故當(dāng)n=0時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng)n>0時(shí)，解集為（-n2，n）；

當(dāng)n<0時(shí)，解集為（n，-n2）.

16.（1）由an+1=（q-1）Sn+1可得an=（q-1）Sn-1+1（n≥2），

兩式相減得an+1-an=（q-1）an，所以an+1=qan（n≥2）.

欲使數(shù)列{an}等比數(shù)列，只需a2=qa1即可，

因?yàn)閍2=（q-1）S1+1=（q-1）a1+1，所以（q-1）a1+1=qa1，所以a1=1.

若由a22=a1·a3，求出a1=1再驗(yàn)證數(shù)列{an}是等比數(shù)列，參照上述解法給分.

（2）方法一：若q=1，2S10≠S4+S7，與已知矛盾，故q≠1.

由2S10=S4+S7，得

2a1（1-q10）1-q=a1（1-q4）1-q+a1（1-q7）1-q，

即2a1q8=a1q2+a1q5，即2a9=a3+a6，所以a3，a9，a6成等差數(shù)列.

方法二：由S4，S10，S7成等差數(shù)列，可得2S10=S4+S7，

因?yàn)镾7=S4+q4S3，S10=S4+q4S3+q7S3，可得q4S3+2q7S3=0，

因?yàn)镾3≠0，所以q3=-12，

又2a9-（a3+a6）=a1q2（2q6-q3-1）=0，所以a3，a9，a6成等差數(shù)列.

17.（1）若4∈B，則4-a3-a2<0a<-3或3

∴當(dāng)4B時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-3，3]∪[4，+∞）.

（2）∵A={x|（x-2）（x-3a-1）<0}，B={x|a

①當(dāng)a<13時(shí)，A=（3a+1，2）.

要使BA，必須a≥3a+1a2+1≤2，此時(shí)-1≤a≤-12；

②當(dāng)a=13時(shí)，A=，使BA的a不存在；

③當(dāng)a>13時(shí)，A=（2，3a+1），

要使BA，必須a≥2a2+1≤3a+1，此時(shí)2≤a≤3.

綜上可知，使BA的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，3]∪[-1，-12].

18.解：（1）∵y=x（x+n）+4x-2=x2+（4+n）x-2在[0，1]上為增函數(shù)，

∴an=-2+1+4+n-2=n+1﹒

（2）∵nb1+（n-1）b2+…+bn=（910）n-1+（910）n-2+…+910+1=10[1-（910）n]，

∴（n-1）b1+（n-2）b2+…+bn-1+0=10[1-（910）n-1]（n≥2）﹒

兩式相減得b1+b2+…+bn=（910）n-1（n≥2），

∴b1+b2+…+bn-1=（910）n-2（n≥3）.

兩式相減得bn=-110·（910）n-2（n≥3）.

又b1=1，b2=-110，

∴bn=1，（n=1）-110·（910）n-2，（n≥2，n∈N*）.

（3）由cn=-2，（n=1）n+110·（910）n-2，（n≥2，n∈N*）及當(dāng)k≥3時(shí)ckck-1≥1，ckck+1≥1，得k=9或8﹒

又n=1，2也滿足，∴存在k=8，9使得cn≤ck對(duì)所有的n∈N*成立.

19.（1）延長BD、CE交于點(diǎn)A，則AD=3，AE=2，則S△ADE=S△BDE=

S△BCE=32.

∵S△APQ=3，

∴14（x+3）（y+2）=3，

∴（x+3）（y+2）=43.

（2）PQ2=AP2+AQ2-2AP·AQcos30°

=（x+3）2+（43x+3）2-2×43×32

≥2×43-12=83-12，

當(dāng)（x+3）2=（43x+3）2，即x=243-3時(shí)，

PQmin=83-12=223-3.

（3）令t=（x+3）2，∵x∈[33，3]，∴t∈[163，12]，（x的范圍由極限位置定）

則PQ2=f（t）=t+48t-12，

∵f′（t）=1-48t2，令f′（t）=1-48t2=0，得t=43，

∴f（t）在（0，43）上是減函數(shù)，在（43，+∞）上是增函數(shù)，

∴f（t）max=max（f（163），f（12）}=f（12）=4，PQmax=2，

此時(shí)t=（x+3）2=12，x=3，y=0，P點(diǎn)在B處，Q點(diǎn)在E處.

20.證明：（1）依題意，當(dāng)n=1時(shí)，a+b=c2，

則a+b-c=c2-c=c（c-1），

因?yàn)閏∈N*，所以c（c-1）≥0，

從而a+b-c≥0，故a+b≥c；

（2）an+bn=cn+1即（ac）n+（bc）n=c，（*）

若a>c，即ac>1，則當(dāng)n≥logacc時(shí)，

（ac）n≥c，而（bc）n>0，于是（ac）n+（bc）n>c，與（*）矛盾；

從而a≤c，同理b≤c.

若a≤c，則0

又c∈N*，故c=1或2，

當(dāng)c=1時(shí)，an+bn=1，而an+bn≥2，故矛盾，舍去；

當(dāng)c=2時(shí)，（ac）n+（bc）n=2，從而ac=bc=1，故a=b=2，

綜上，所有滿足題意的a，b，c依次為2，2，2.

（作者：夏志勇，海安縣曲塘中學(xué)）