談數(shù)學(xué)之美

摘要：客觀世界的實(shí)際事物，在人們認(rèn)識(shí)之前已經(jīng)存在，后來被發(fā)現(xiàn)了，這是發(fā)現(xiàn)；客觀世界中本無對(duì)應(yīng)的實(shí)際事物或現(xiàn)象，卻被人們依據(jù)一定的手段創(chuàng)造出來了，這是發(fā)明.然而，在某些科學(xué)研究中，特別是數(shù)學(xué)這門科學(xué)，要分清什么是“發(fā)現(xiàn)”的，什么是“發(fā)明”的，并不是件容易的事.數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)的，還是發(fā)明的，長(zhǎng)期存在著不同的看法.

關(guān)鍵詞：發(fā)明，發(fā)現(xiàn)，0，費(fèi)馬大定理

在廣泛的科學(xué)研究中，人們對(duì)不斷涌現(xiàn)出來的大量科研成果，經(jīng)常使用“發(fā)現(xiàn)”和“發(fā)明”這兩個(gè)詞.對(duì)于它們的使用一般是有所區(qū)別的：客觀世界的實(shí)際事物，在人們認(rèn)識(shí)之前已經(jīng)存在，后來被發(fā)現(xiàn)了，這是發(fā)現(xiàn)；客觀世界中本無對(duì)應(yīng)的實(shí)際事物或現(xiàn)象，卻被人們依據(jù)一定的手段創(chuàng)造出來了，這是發(fā)明.“發(fā)現(xiàn)”一詞人們多用于自然科學(xué)領(lǐng)域，二“發(fā)明”則多用于技術(shù)科學(xué)領(lǐng)域.例如，蒸汽、電、原子、……是被人們發(fā)現(xiàn)的，蒸汽機(jī)、電話、原子彈……則是被人們發(fā)明的。

然而，在某些科學(xué)研究中，特別是數(shù)學(xué)這門科學(xué)，要分清什么是“發(fā)現(xiàn)”的，什么是“發(fā)明”的，并不是件容易的事.數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)的，還是發(fā)明的，長(zhǎng)期存在著不同的看法.

就拿“0”這個(gè)符號(hào)來說吧，我們對(duì)它太熟悉了，人們?cè)趯W(xué)習(xí)、工作和生活中，幾乎天天都要和它打交道，“0”已經(jīng)滲透到我們生活中的各個(gè)領(lǐng)域.那么，你能回答“0”是“發(fā)現(xiàn)”的，還是“發(fā)明”的？對(duì)此，你也許沒有深思熟慮，不敢斷言；也可能覺得問題太簡(jiǎn)單了，很容易回答是“發(fā)現(xiàn)”的或是“發(fā)明”的.但當(dāng)你要肯定二者之一時(shí)，且慢，還是慎重做一番考慮再下結(jié)論也不遲.

回顧歷史，可知“0”的概念和符號(hào)的出現(xiàn)實(shí)非易事.在古代人類的生產(chǎn)和生活活動(dòng)中，很早就有了自然數(shù)的概念，但卻沒有“0”的概念，因?yàn)槿祟愒凇袄K結(jié)計(jì)數(shù)”時(shí)期，只需要用繩結(jié)記住打了幾只羊，采了幾顆果等事情，還用不上“0”.至于“0”符號(hào)的出現(xiàn)則更晚了.在人們發(fā)明并使用了“位置計(jì)數(shù)法”以后，計(jì)數(shù)時(shí)對(duì)某一位置設(shè)有數(shù)字的這種“缺位”現(xiàn)象，就必須采用一種符號(hào)來表明.在中國(guó)古代的“算籌”演算中，就是用空位來表示“0”的，直到今天，中國(guó)的珠算中，仍然是采用空位法來表示“0”的.然而，用空位法表示“0”的方法在實(shí)踐中逐漸暴露出缺點(diǎn)，尤其是在計(jì)算和書寫總?cè)菀自斐慑e(cuò)誤.在中國(guó)，后來人們就用“□”表示“0”，再后來就用“○”表示.在公元3～4世紀(jì)，印度人用小圓點(diǎn)“·”表示“0”；公元683年的印度桑坡碑文用符號(hào)表示605，公元684年印度巴凌滂碑文中用符號(hào)表示606，表示60，這是現(xiàn)有資料中用“0”的最早記載.大約在公元6世紀(jì)，“0”初次傳到歐洲，但羅馬教皇認(rèn)為“0”是“異端學(xué)說”，曾宣布：“數(shù)是上帝創(chuàng)造的，不允許這個(gè)邪物‘0’玷污神圣的數(shù).”然而，科學(xué)真理是不可戰(zhàn)勝的，“0”以其特有的優(yōu)點(diǎn)被人們所接受，并很快通行于全世界.

“0”在現(xiàn)實(shí)世界中反映著極其豐富的內(nèi)容，我們來看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子—師生對(duì)話：

老師：班上有多少個(gè)男同學(xué)生？

學(xué)生：0個(gè).

老師：班上男同學(xué)來了幾個(gè)？

學(xué)生：0個(gè).

老師：班上出去了幾個(gè)男同學(xué)？

學(xué)生：0個(gè).

在這三組問答中，學(xué)生回答的都是一樣的：“0個(gè)”.但是所反映的事實(shí)卻分別不同.第一組的“0”指班上沒有男同學(xué)；第二組的“0”不表示班上沒有男同學(xué)，只是男同學(xué)都沒來而已；第三組的“0”既不表示班上有男同學(xué)，也不表示班上沒有男同學(xué)，而是指沒有出去的男同學(xué).三個(gè)“0”的三個(gè)含義：一個(gè)指根本沒有男同學(xué)；一個(gè)指有，都沒有來；一個(gè)指或有或無，只是沒有出去.

另外，“0”在數(shù)學(xué)世界里是地位顯赫，表現(xiàn)力豐富，生命力極強(qiáng).單就進(jìn)位制方面就足以看出它的重要性，使得像計(jì)算機(jī)用的二進(jìn)制這樣的東西成為可能.

至此“0”是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的，我們?cè)撊绾位卮鹉?？從它產(chǎn)生的歷史及人們所賦予它的豐富的內(nèi)容來看，說它是被發(fā)現(xiàn)的恐怕不能說服人；從它所反映的現(xiàn)實(shí)世界的諸多事實(shí)來看，說它是被發(fā)明的也不盡然.我們似乎只能這樣說：“0”是從人類的經(jīng)驗(yàn)的中來的，是以發(fā)現(xiàn)為基礎(chǔ)，而成為一個(gè)非常了不起的發(fā)明.就像點(diǎn)燈、電話、電報(bào)、……是以發(fā)現(xiàn)電為基礎(chǔ)而成為發(fā)明成果一樣.今天，我們十分方便地、靈活的使用著包括“0”在內(nèi)的阿拉伯?dāng)?shù)字，可是，它的產(chǎn)生是多么不容易.正如馬克思所說的，阿拉伯?dāng)?shù)字“借助于0，人們只要給它們指定一定的位置，不管多大的數(shù)都能寫出來，這是最妙的發(fā)明之一”.

數(shù)學(xué)究竟是發(fā)明的還是發(fā)現(xiàn)的，長(zhǎng)久以來，的確存在著兩種截然不同的觀點(diǎn).

一種是絕對(duì)主義的貨柏拉圖主義觀點(diǎn)，把數(shù)學(xué)看作揭露的觀點(diǎn)，堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)家所發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)和物質(zhì)的現(xiàn)實(shí)同樣可靠，真理不是他們創(chuàng)造的，而是大自然先天固有的.正如19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家L·克羅內(nèi)所說：“上帝創(chuàng)造整數(shù)”，整數(shù)不是來自數(shù)學(xué)家的豐富想象力，而是從人類經(jīng)驗(yàn)中來的.因此，簡(jiǎn)單算術(shù)中所包含的整數(shù)和在更深?yuàn)W的數(shù)論定理中的整數(shù)，在大多數(shù)數(shù)學(xué)家看來，和天文學(xué)家看待天上發(fā)現(xiàn)的行星十分相似，都屬于發(fā)現(xiàn).這種觀點(diǎn)事實(shí)上在數(shù)學(xué)界中起主導(dǎo)作用.許多數(shù)學(xué)家相信進(jìn)化賦予人類以理解自然的能力，而自然，像伽利略所說是用數(shù)學(xué)語言書寫的.數(shù)學(xué)家在實(shí)際研究數(shù)學(xué)時(shí)，主觀感覺是一個(gè)真實(shí)世界待發(fā)現(xiàn)，那就是數(shù)學(xué)的世界，它比物質(zhì)現(xiàn)實(shí)中的偶然事件更永恒不變，更真實(shí)可靠.

另一種觀點(diǎn)則強(qiáng)調(diào)人的創(chuàng)造力在發(fā)明數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的作用.例如，任何數(shù)學(xué)系統(tǒng)最終都是建立在一組公理之上，但在許多情況下究竟才用哪些公理，還有一個(gè)選擇因素.歐幾里得幾何選用了五條假設(shè)為自明的公理，然而，黎曼選用了另一組公理，得出比歐幾里得空間更符合物理現(xiàn)實(shí)的幾何，以后其它數(shù)學(xué)家又發(fā)明探索了另一些幾何學(xué)的性質(zhì)，都是完美無缺的數(shù)學(xué).人類的這種獨(dú)創(chuàng)性—選擇，都是發(fā)明，而不是現(xiàn)實(shí)的被動(dòng)發(fā)現(xiàn).

然而，當(dāng)我們?cè)趨^(qū)別這兩種極端觀點(diǎn)的同時(shí)，是否可產(chǎn)生低三種觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)既是發(fā)現(xiàn)的，又是發(fā)明的.這種觀點(diǎn)并不是什么中立觀，因?yàn)槭聦?shí)確實(shí)如此.數(shù)學(xué)是“發(fā)明”，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念完全是人類理智的創(chuàng)造物；數(shù)學(xué)又是“發(fā)現(xiàn)”，因?yàn)椴煌瑪?shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，當(dāng)著諸概念創(chuàng)造出來之際，已經(jīng)存在了，只是暫時(shí)還不知.數(shù)學(xué)上深刻的工作，常常是那些能夠把不同的概念、不同的領(lǐng)域聯(lián)系起來的“發(fā)現(xiàn)”. 數(shù)學(xué)世界三大難題之一的費(fèi)馬大定理從提出到被完全證明的過程充分說明數(shù)學(xué)既是“發(fā)現(xiàn)”又是“說明”.費(fèi)馬提出關(guān)于的代數(shù)方程在時(shí)沒有正整數(shù)解，我們知道當(dāng)時(shí)，有無數(shù)個(gè)解，費(fèi)馬通過敏銳的觀察力和扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功發(fā)現(xiàn)了當(dāng)時(shí)，方程沒有正整數(shù)解，但是費(fèi)馬并沒有明確的給出證明，在后人不斷探索這個(gè)定理證明的三百年里，不斷的發(fā)明了很多新的數(shù)學(xué)理論，最后才得以由普林斯頓大學(xué)的安德魯·懷爾斯綜合前人的“發(fā)明”和“發(fā)現(xiàn)”，最終證明了困擾數(shù)學(xué)界三百余年的數(shù)學(xué)難題.在整個(gè)證明過程中既有“發(fā)明”又有“發(fā)現(xiàn)”.

微積分作為一種計(jì)算技術(shù)，是發(fā)明的，但是一條曲線的斜率（微分）和它下面的面積（積分）這些有關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，都是和實(shí)際事物對(duì)應(yīng)的，但是它的證明卻往往是發(fā)明的.據(jù)說，愛因斯坦曾覺得他根據(jù)事實(shí)發(fā)明了相對(duì)時(shí)空的概念，可是他又覺得在做這件工作時(shí)是發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)的一個(gè)方面.數(shù)學(xué)有兩種特征：一種是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的脈絡(luò)，當(dāng)你看到這個(gè)結(jié)構(gòu)展現(xiàn)時(shí)，你會(huì)覺得“那里有重要的的東西”，好像是你發(fā)明的，許多數(shù)學(xué)家都有類似的感覺：“在戰(zhàn)壕里我們都是柏拉圖主義者”，但每當(dāng)討論問題時(shí)又會(huì)繼續(xù)辯論：“你是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)？”

發(fā)明的數(shù)學(xué)與發(fā)明的數(shù)學(xué)之間的差別，接近于主、客觀上的統(tǒng)一，發(fā)現(xiàn)的也罷，相輔相成，創(chuàng)造了一個(gè)真實(shí)的數(shù)學(xué)世界.

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