地震勘探中的三維隨機介質(zhì)模擬及其特點分析

楊帆

（中石化華北油氣分公司采油一廠，甘肅慶陽　745000）

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地震勘探中的三維隨機介質(zhì)模擬及其特點分析

楊帆

（中石化華北油氣分公司采油一廠，甘肅慶陽745000）

摘要：常規(guī)的均勻?qū)訝罱橘|(zhì)理論已經(jīng)不適用于高分辨率地震勘探，需要進一步發(fā)展隨機介質(zhì)理論，為研究復雜非均勻介質(zhì)中的地震波場理論奠定基礎。本文首先利用三維Von Karman型自相關函數(shù)模擬三維隨機介質(zhì)并給出了詳細的建模流程，通過引入三維錐形函數(shù)，來壓制建模時離散計算產(chǎn)生的誤差，提高了模型的可信度。然后詳細討論了自相關長度、譜指數(shù)、標準差對建立的三維隨機介質(zhì)模型的影響。最后分析了模型內(nèi)的速度變化和概率分布情況。模擬結(jié)果表明利用三維Von Karman型自相關函數(shù)可以更靈活地模擬三維隨機介質(zhì)。

關鍵詞：三維隨機介質(zhì)；三維Von Karman型自相關函數(shù)；自相關長度；譜指數(shù)

在地震勘探中，長期以來都是以傳統(tǒng)的均勻介質(zhì)或?qū)訝罹鶆蚪橘|(zhì)理論為基礎，從而忽略了實際地震勘探中介質(zhì)的局部非均勻性，但是隨著高分辨率地震勘探的不斷發(fā)展、勘探目標已由常規(guī)油氣藏逐漸轉(zhuǎn)向復雜油氣藏，介質(zhì)中分布的大量微小異常會影響勘探結(jié)果[1]。用傳統(tǒng)的介質(zhì)模型理論很難準確地描述這些異常，而以統(tǒng)計學理論為基礎的隨機介質(zhì)模型可以較為靈活、方便、有效地描述這些介質(zhì)的微小異常，從而便于研究局部非均勻介質(zhì)的地震波場的變化特征[2-4]。

國內(nèi)外很多學者對隨機介質(zhì)理論已經(jīng)進行了大量理論研究，并取得了一些成果。Ikelle等建立了二維隨機介質(zhì)模型并進行了正演模擬[5-7]。國內(nèi)自2001年至今，姚姚等在這方面做出了很多成果，他們給出了隨機介質(zhì)模型的建立方法、并對各種隨機介質(zhì)模型進行了波動方程正演模擬以及波場特征分析等方面進行了深入的研究[8-19]。本文利用三維Von Karman型自相關函數(shù)建立了三維隨機介質(zhì)模型，引入三維錐形函數(shù)來壓制離散誤差，并對自相關長度、譜指數(shù)、方差三個模型參數(shù)對三維隨機介質(zhì)模擬的結(jié)果和特點分別進行了詳細討論，并對模型內(nèi)的速度和概率分布情況進行了分析，來驗證模型的可行性。

1　三維隨機介質(zhì)的建模原理及步驟

1.1隨機介質(zhì)的建模原理

隨機介質(zhì)模型可由大尺度和小尺度的非均勻的兩部分所組成，大尺度部分描述介質(zhì)的平均特性，即傳統(tǒng)意義上的地質(zhì)模型；小尺度部分是加在地質(zhì)模型上的隨機擾動，通常使用一個均值為零的、平穩(wěn)的空間隨機過程來表示。以三維彈性隨機介質(zhì)為例。各向同性的彈性介質(zhì)由其密度ρ和拉梅系數(shù)λ、μ所確定。介質(zhì)中相應的縱、橫波速度分別為：

在隨機介質(zhì)中，空間坐標點（x，y，z）處的介質(zhì)參數(shù)λ、μ和ρ可分別由下式表示為：

其中，λ0、μ0、ρ0為大尺度非均勻介質(zhì)參數(shù)，即背景參數(shù)，可假設其為常數(shù)或隨空間坐標（x，y，z）緩慢變化；δλ、δμ、δρ為小尺度非均勻擾動量，即隨機擾動。根據(jù)（1）式可知，彈性介質(zhì)可由其密度ρ和其中的縱波、橫波速度vp、vs所確定。根據(jù)Brich[20]原理，可用縱波速度的相對擾動量來描述隨機介質(zhì)在小尺度上的非均勻性：

其中，vp0、vs0、ρ0為背景參數(shù)；K為比例常數(shù)，取值范圍為0.3～0.8。假設δ＝δ（x，y，z）是均值為零且具有一定自相關函數(shù)及方差的空間平穩(wěn)隨機過程，由（3）式得：

1.2隨機介質(zhì)的構建步驟

構建平穩(wěn)隨機過程的步驟如下：（1）選擇自相關函數(shù)。如今的自相關函數(shù)有高斯型、指數(shù)型、Von Karman型、混合型及一些改進型的自相關函數(shù)，它們分別具有不同的特點，適應不同的地質(zhì)情況。本文采用Von Karman型相關函數(shù)，它描述的隨機介質(zhì)具有多尺度、自相似的特點，其表達式為：

其中，K0為修正函數(shù)，a、b、c分別為介質(zhì)在x，y，z方向上的自相關長度。

（2）產(chǎn)生隨機過程功率譜。將（5）式作三維傅里葉變換得：

由（6）式得隨機過程功率譜，其表達式為：

其中，kx，ky，kz分別為介質(zhì)在空間域x，y，z對應波數(shù)域上的波數(shù)，ax、ay、az分別為橫向、縱向、垂向上的譜指數(shù)。

（3）產(chǎn)生三維隨機場。用隨機數(shù)發(fā)生器生成［0，2π］區(qū)間上服從均勻分布的獨立的三維隨機場θ（kx，ky，kz）。

（4）計算隨機功率譜。由下式可得隨機功率譜：

（5）計算ψ（kx，ky，kz）的三維傅里葉逆變換，由下式可得到逆變換Φk（x，y，z）：

（6）計算Φk（x，y，z）的均值及方差：

（7）通過規(guī)范化產(chǎn)生均值為零、方差為ε2，并以Φk（x，y，z）為自相關函數(shù)的二階平穩(wěn)隨機過程：

（8）結(jié)合（4）式和（14）式可得隨機介質(zhì)模型的速度函數(shù)，從而建立隨機介質(zhì)模型：

其中：v0-背景速度。

2　隨機介質(zhì)模型的誤差壓制

由于在離散數(shù)據(jù)的計算過程中會產(chǎn)生誤差，使得隨機函數(shù)不滿足假設條件，因此在計算隨機功率譜時，引入三維錐形函數(shù)來消除這種誤差[18]，如下式：

其中W1是一維情況下的錐形函數(shù)，其表達式為：

其中kzmax為錐形函數(shù)的半徑（Marple[21]）。

圖1　三維錐形函數(shù)示意圖

建立了大小為250×250×250個網(wǎng)格（步長為1 m）的三維錐形函數(shù)（見圖1），錐形函數(shù)的半徑為0.5 m-1，從圖1中可以看出，錐形函數(shù)的作用是壓制隨機模型中的低波數(shù)分量。

3　三維隨機介質(zhì)的建立及特點分析

為了便于對比分析，在引入三維錐形函數(shù)的前提下，假設各模型網(wǎng)格大小250×250×250（步長為1 m），背景速度v0=3 500 m/s，模型的其他特點通過改變標準差、譜指數(shù)、自相關長度來控制。

3.1固定標準差、譜指數(shù)，研究自相關長度對模型的影響

固定模型參量：標準差ε=0.1，譜指數(shù)長度ax＝ay＝az=2，改變自相關長度a、b、c和可以產(chǎn)生不同的三維隨機介質(zhì)模型，詳情（見圖2）。圖2a和2b的自相關長度均相等，模擬的是各向同性時的三維隨機介質(zhì)模型。由圖2a和2b可以看出，自相關長度越大，模擬的三維隨機介質(zhì)模型的尺度越大。圖2c和2d的自相關長度不同，增大某一方向的自相關長度，則該方向速度趨向于一致，隨機模型的層狀特點逐漸明顯，通過增加1個或2個方向的自相關長度到無窮大可以模擬各種各向均勻的薄互層狀隨機介質(zhì)[18]。

3.2固定標準差、自相關長度，研究譜指數(shù)對模型的影響

固定模型參量：標準差ε=0.1，自相關長度a=b=c= 1 m，改變譜指數(shù)ax，ay，az，可以產(chǎn)生不同的三維隨機介質(zhì)模型，詳情（見圖3）。圖3a和3b同樣模擬的是各向同性時的三維隨機介質(zhì)模型，由圖3a和3b可以看出，譜指數(shù)的大小對應著隨機介質(zhì)尺度的大小，并且譜指數(shù)越大，所得到的隨機介質(zhì)模型越光滑。圖3c和3d表明，通過增加1個或2個方向的譜指數(shù)到無窮大同樣可以模擬各種各向均勻的薄互層狀隨機介質(zhì)。

3.3固定譜指數(shù)、自相關長度，研究標準差對模型的影響

固定模型參量：自相關長度a=b=c=1 m，譜指數(shù)ax=ay=az=2，引入三維錐形函數(shù)，改變標準差，可以產(chǎn)生不同的三維隨機介質(zhì)模型，詳情（見圖4）。從圖4中可以看出，其他參數(shù)不變的情況下，改變標準差，從所得的三維隨機介質(zhì)模型幾乎看不出區(qū)別，但是從旁邊的色標值可以看出，標準差越小，其速度擾動越小，即標準差不同，得到的隨機擾動的范圍就不同，從而可以反映出實際介質(zhì)的非均質(zhì)性。

圖2　改變自相關長度時建立的三維隨機介質(zhì)模型

圖3　改變譜指數(shù)時建立的三維隨機介質(zhì)模型

圖4　改變標準差時建立的三維隨機介質(zhì)模型

4　隨機介質(zhì)模型中的速度變化及概率分布

從上面所建立的模型圖中可以非常清晰地看到隨機介質(zhì)模型的特點，改變自相關長度、譜指數(shù)和標準差，可以得到不同的介質(zhì)模型，但是無法了解模型內(nèi)的速度變化和概率分布情況。從圖2a中所建立的模型的x、y、z方向上隨機抽取一維數(shù)據(jù)體，詳情（見圖5）。另外統(tǒng)計出各個速度概率分布，速度變化區(qū)間為500 m/s，詳情（見圖6）。

從圖5和圖6中可以得到，模型內(nèi)的速度值在x、y、z方向上都是在背景速度v0=3 500 m/s上下浮動，與隨機介質(zhì)的基本假設比較吻合，即隨機擾動的均值為零，但擾動的范圍與標準差有關。從圖6中可以看出，模型內(nèi)的速度在x、y、z方向上呈正態(tài)分布，與相差越小，速度分布樣本數(shù)越多，概率越大。統(tǒng)計結(jié)果表明，隨機介質(zhì)模型內(nèi)的速度大多分布在1倍標準差范圍內(nèi)，其概率大約為75 %，2倍標準差范圍內(nèi)的速度概率大約為15 %。因此可知，隨機介質(zhì)模型內(nèi)的速度符合統(tǒng)計規(guī)律，說明所建立的模型具有可行性。

5　結(jié)論

在前人的基礎上，給出了三維Von Karman型自相關函數(shù)模擬隨機介質(zhì)的詳細流程。在建模過程中，通過引入三維錐形函數(shù)，減小了隨機建模時離散數(shù)據(jù)的計算誤差。為了討論自相關長度、譜指數(shù)等參數(shù)對模擬隨機介質(zhì)時的影響，通過改變這些參數(shù)來模擬三維隨機介質(zhì)模型，可知每種參數(shù)對模型結(jié)果的影響不同。從模擬的圖可以看出，運用Von Karman型自相關函數(shù)模擬的三維隨機介質(zhì)模型與實際的地下巖芯圖十分相似，通過改變各種參數(shù)(自相關長度、譜指數(shù)、標準差等)，能夠靈活地描述多種實際介質(zhì)在小尺度上的非均勻性的特點。隨機介質(zhì)模型理論為進一步研究實際三維地質(zhì)體中小尺度的非均質(zhì)性對地震波傳播特征的影響打下了一定的基礎。

圖5　隨機介質(zhì)模型在x、y、z方向上的速度變化

圖6　隨機介質(zhì)模型在x、y、z方向上的速度概率分布

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Simulations and characteristics analysis of 3-D random medium in seismic prospecting

YANG Fan
（The First Exploitation Factory of Huabei Oil & Gas Filed Company，SINOPEC，Qingyang Gansu 745000，China）

Abstract:The conventional layered medium seismic wave field theory has been unable to fit the high- resolution seismic exploration, we need further develop random medium theory in order to lay the foundation for the study of complex seismic wave-field theory in heterogeneous medium.This paper firstly gives the detailed process of 3-D Von Karman type autocorrelation function to simulate 3-D random medium and introduces 3-D cone-shape function to surpress discrete calculation errors of modeling and improve the credibility of the model, and then discusses the impact of autocorrelation length, spectral exponent and standard deviation on 3-D random medium.Finally, we analyze the velocity change and the probability distribution of model.The results show the method of that simulating 3-D random medium with Von Karman autocorrelation function is more flexible.

Key words：3-D random medium；3-D Von Karman type autocorrelation function；autocorrelation length；spectrum exponent

作者簡介：楊帆，男（1989-），碩士，2013年畢業(yè)于中國地質(zhì)大學（北京）地質(zhì)工程專業(yè)，從事石油地質(zhì)工作，郵箱：786495972@qq.com。

*收稿日期：2015－12-08

DOI:10.3969/j.issn.1673-5285.2016.02.018

中圖分類號：TE132.14

文獻標識碼：A

文章編號：1673-5285（2016）02-0072-06