明確復(fù)習(xí)重點(diǎn)　探索有效途徑
——2016年高考數(shù)學(xué)第2輪復(fù)習(xí)建議(中)

?

明確復(fù)習(xí)重點(diǎn)探索有效途徑
——2016年高考數(shù)學(xué)第2輪復(fù)習(xí)建議(中)

◇北京丁益祥(特級(jí)教師)

7) 解析幾何與平面幾何、平面向量.

解析幾何的題量在歷年高考中通常是“一大一小”或“一大兩小”.在知識(shí)內(nèi)容上,解答題(大題)常與平面向量、平面幾何結(jié)合考查,甚至還和函數(shù)、不等式綜合考查;在能力上,著重考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力;在數(shù)學(xué)思想上,經(jīng)?？疾閿?shù)形結(jié)合的思想、方程的思想、分類與整合的思想.無(wú)疑,這類試題難度大,要求高,是歷年把關(guān)試題之一.因此,第2輪復(fù)習(xí)必須把這部分內(nèi)容放在十分重要的位置上.本專題所選題目應(yīng)側(cè)重于考查直線的傾斜角、斜率及直線方程，圓的方程，橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系.

(1) 當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程.

(2) 設(shè)軌跡C的準(zhǔn)線為l,且焦點(diǎn)為F.過(guò)F作直線m交軌跡C于G、H2點(diǎn),過(guò)G作平行于軌跡C的對(duì)稱軸的直線n,且n∩l=E.試問(wèn)點(diǎn)E、O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))、H是否在同一條直線上?請(qǐng)說(shuō)明理由.

歸納與小結(jié)此題是解析幾何與平面向量的交匯問(wèn)題,考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程、兩向量的數(shù)量積、利用兩向量共線的充要條件探求3點(diǎn)是否共線等眾多知識(shí),考查了分類與整合的思想以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力.應(yīng)當(dāng)指出的是,此題中E、O、H3點(diǎn)共線與否需要探究,并且過(guò)焦點(diǎn)F的直線m可能垂直于x軸,也可能不垂直于x軸,因此研究E、O、H3點(diǎn)是否共線時(shí),必須注意分直線m的傾斜角等于90°和傾斜角不等于90° 這2種情況討論.3點(diǎn)共線問(wèn)題是解析幾何問(wèn)題的重要問(wèn)題之一,除此之外,解析幾何中?？嫉脑囶}類型還有定值問(wèn)題和最值問(wèn)題、諸線共點(diǎn)問(wèn)題、取值范圍問(wèn)題、是否存在問(wèn)題、解析幾何與平面幾何的綜合問(wèn)題.選擇這樣的問(wèn)題進(jìn)行求解訓(xùn)練,對(duì)于學(xué)生思維的發(fā)展和能力的提高,必將十分有益.

8) 空間圖形(空間向量)與平面圖形.

本專題的核心內(nèi)容是立體幾何知識(shí),所選題目應(yīng)側(cè)重于考查三視圖，幾何圖形的折疊與展開(kāi)，空間線線、線面、面面平行及垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，柱、錐、臺(tái)、球的性質(zhì)及表面積、體積的計(jì)算，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及空間角和距離的計(jì)算.在歷年的高考中,涉及這部分內(nèi)容的試題,既有選擇題、填空題,又有解答題,并且以基礎(chǔ)題和中檔題為主,因此是容易得分的好題.正因?yàn)榇?對(duì)于這部分知識(shí),第2輪復(fù)習(xí)不能掉以輕心，而應(yīng)該在第1輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上,加強(qiáng)落實(shí),以確保得高分,得滿分.

圖1

(1) 求證:AO⊥BE;

(2) 求二面角F-AE-B的余弦值;

(3) 若BE⊥平面AOC,求a的值.

歸納與小結(jié)第(1)問(wèn)主要考查空間面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì);第(2)問(wèn)主要考查空間直角坐標(biāo)系的建立及其坐標(biāo)運(yùn)算,考查二面角的概念、平面法向量的求法以及利用法向量求二面角的余弦值的方法;第(3)問(wèn)主要考查線面垂直的性質(zhì)以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.在能力方面,此題著重考查了空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.所有這些,都是立體幾何考查的重點(diǎn).通過(guò)這類問(wèn)題的求解訓(xùn)練,學(xué)生對(duì)立體幾何的主體知識(shí)的領(lǐng)會(huì)必將更加深刻,對(duì)于空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力也必將得到極大的提高.

9) 數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的是利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題.歷年高考中,主要考查如下數(shù)學(xué)模型:排列組合模型、函數(shù)模型、數(shù)列模型、不等式模型、三角模型、立體幾何模型、解析幾何模型、線性規(guī)劃模型、概率與統(tǒng)計(jì)模型、導(dǎo)數(shù)模型.此外,還有創(chuàng)新型應(yīng)用問(wèn)題.

所選題目應(yīng)側(cè)重于考查函數(shù)模型、數(shù)列模型、不等式模型、三角模型、立體幾何模型、解析幾何模型、線性規(guī)劃模型、概率與統(tǒng)計(jì)模型、導(dǎo)數(shù)模型.

圖2

A消耗1L汽油,乙車最多可行駛5km;

B以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多;

C甲車以80km·h-1的速度行駛1h,消耗10L汽油;

D某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80km·h-1.相同條件下,在該市用車,丙車比用乙車更省油

歸納與小結(jié)本題是函數(shù)(以圖象形式給出)模型應(yīng)用問(wèn)題,主要考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí),考查了對(duì)“燃油效率”定義的理解以及讀圖和識(shí)圖能力.事實(shí)上,汽車每消耗1 L汽油行駛的路程即為“燃油效率”.按此定義,可以斷定“燃油效率”越高的車越省油,從圖上看,相同的速度條件下,圖象越高“燃油效率”越高,即每消耗1 L汽油行駛的路程越大.

數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題涉及的知識(shí)十分豐富,上面列出的數(shù)學(xué)模型都是數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題命題的素材.因此,選擇應(yīng)用問(wèn)題時(shí),不要把目光只聚焦在概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題上,而適當(dāng)?shù)剡x擇一些概率統(tǒng)計(jì)以外的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行訓(xùn)練,這是第2輪復(fù)習(xí)中應(yīng)用題復(fù)習(xí)的明智之舉.

10) 數(shù)學(xué)創(chuàng)新與探究發(fā)現(xiàn).

歷年的數(shù)學(xué)科考試大綱中都明確指出:對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查是對(duì)高層次理性思維的考查.在考試中創(chuàng)設(shè)新穎的問(wèn)題情境,構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要注意問(wèn)題的多樣化,體現(xiàn)思維是發(fā)散性;精心設(shè)計(jì)考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的試題;也要有反應(yīng)數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化的試題以及研究性、探索型、開(kāi)放型等類型的試題.這無(wú)疑說(shuō)明,數(shù)學(xué)高考試題中應(yīng)當(dāng)有創(chuàng)新試題.近年來(lái),主要側(cè)重于自主定義型 、歸納猜想型、直覺(jué)判斷型、類比推理型、探索發(fā)現(xiàn)型、研究設(shè)計(jì)型等創(chuàng)新問(wèn)題的基本類型.本專題也應(yīng)側(cè)重選擇上述類型的試題.

已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組:

其中運(yùn)算“⊕”定義為:0⊕0=0,1⊕0=1,0⊕1=1,1⊕1=0.

現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于________.

歸納與小結(jié)本題以二元碼為背景,考查自主定義新運(yùn)算問(wèn)題,新穎別致.只有讀懂運(yùn)算規(guī)則,弄清新定義運(yùn)算的特征,認(rèn)真按照校驗(yàn)方程組中各數(shù)所對(duì)應(yīng)的位次,并按照運(yùn)算規(guī)則對(duì)它們進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算,才能作出正確的判斷.這里的邏輯推理有別于常規(guī),第2輪復(fù)習(xí)中,適當(dāng)?shù)剡x擇這類試題作訓(xùn)練,既可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)以及自主學(xué)習(xí)的能力,又可以提高學(xué)生的邏輯推理的能力,應(yīng)當(dāng)引起我們充分關(guān)注.

2.2通過(guò)典型問(wèn)題分析落實(shí)數(shù)學(xué)思想

正如前面所說(shuō)的,數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵十分豐富,并且在選擇題、填空題和解答題中都有所考查.第2輪復(fù)習(xí)應(yīng)當(dāng)選擇各種題型的典型問(wèn)題進(jìn)行分析求解,強(qiáng)化應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解題的意識(shí).

注意到2x-2-x=2x-(1/2)x,cos 6x是有界的,并且當(dāng)x→0時(shí),cos 6x→1.故當(dāng)x→0+時(shí),y→+∞;當(dāng)x→0-時(shí),y→-∞.由此否定A、B. 當(dāng)x→+∞時(shí),y→0,由此否定C.故D正確,因此選D.

歸納與小結(jié)此題是函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的配伍問(wèn)題,常規(guī)思路是根據(jù)解析式畫(huà)出草圖,進(jìn)而確認(rèn)選項(xiàng).然而,畫(huà)出本題所給函數(shù)的草圖絕非易事,因而利用畫(huà)圖確認(rèn)的常規(guī)方法實(shí)難奏效.顯然,命題老師希望我們挖掘問(wèn)題本身所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解.這里,利用了有限和無(wú)限的思想(即無(wú)限逼近法),通過(guò)3個(gè)極限過(guò)程,輕松地獲得了正確選項(xiàng),充分體現(xiàn)了有限與無(wú)限的思想在解題中的重要作用.

圖3

(1) 求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(t,f(t))處的切線方程;

(2) 設(shè)a>0,如果過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線y=f(x)的3條切線,證明:-a

第(2)問(wèn)中,要證明的不等式所滿足的條件是:過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線C的3條切線.因此,必須探求“過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線C的3條切線”需要具備的條件.注意到問(wèn)題(1)中已經(jīng)求得在曲線C上任一點(diǎn)M處的切線方程,所以“過(guò)點(diǎn)(a,b)的曲線C的3條切線”必是第(1)問(wèn)中求得的切線中的某3條,因此,點(diǎn)(a,b)的坐標(biāo)必滿足問(wèn)題(1)中求得的切線方程.為使“過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線y=f(x)的3條切線”,則曲線C上必有3個(gè)不同的切點(diǎn)M(t,f(t)),于是,將點(diǎn)(a,b)的坐標(biāo)代入問(wèn)題(1)中求得的切線方程后,所得的關(guān)于t的方程2t3-3at2+a+b=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.至此,我們將不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,再結(jié)合圖形即可證明欲證的不等式.

記g(t)=2t3-3at2+a+b,則g′(t)=6t2-6at=6t(t-a).不難得到,當(dāng)t變化時(shí),g(t),g′(t)變化情況如下表.

t(-∞,0)0(0,a)a(a,+∞)g'(t)+0-0+g(t)↗極大值a+b↘極小值b-f(a)↗

以下只需通過(guò)對(duì)a+b、b-f(a)分類討論,并結(jié)合圖形,便可獲得結(jié)果.

由g(t)的單調(diào)性,易得當(dāng)極大值a+b<0,或極小值b-f(a)>0時(shí),方程g(t)=0都只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;當(dāng)極大值a+b=0時(shí),或極小值b-f(a)=0時(shí),方程g(t)=0都只有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

由此知,若過(guò)(a,b)可作曲線y=f(x)的3條切線,即g(t)=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則

歸納與小結(jié)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的點(diǎn)斜式方程、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、不等式的證明以及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想,考查了推理論證能力、抽象概括能力和運(yùn)算求解能力.第(1)問(wèn)著重考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,只要按照求曲線的切線方程的一般步驟求解即可.第(2)問(wèn)是和曲線的切線有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題,弄清過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線C的3條切線的條件,是求解問(wèn)題的突破口,而利用數(shù)學(xué)思想,將原本不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,并利用分類與整合的思想,探索過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線C的3條切線的確切條件,是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.值得指出的是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題,通常把問(wèn)題轉(zhuǎn)化問(wèn)函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值問(wèn)題來(lái)處理.此題綜合性強(qiáng),難度大.第2輪復(fù)習(xí)中適當(dāng)?shù)剡x擇這類典型問(wèn)題,分析和提煉問(wèn)題本身所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,并利用這些數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題策略,值得我們認(rèn)真關(guān)注.(未完待續(xù))

(作者單位：北京陳經(jīng)綸中學(xué))