一個(gè)絕對值不等式恒成立問題的錯(cuò)解辨析

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一個(gè)絕對值不等式恒成立問題的錯(cuò)解辨析

◇甘肅馬生蘭

絕對值不等式恒成立問題是高考的一個(gè)熱點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),這類題目要求考生有較強(qiáng)的邏輯推理的能力和對分類討論數(shù)學(xué)思想的正確認(rèn)識(shí)和把握.近期一位學(xué)生遞交了一個(gè)絕對值不等式恒成立問題的解法,他的答案與原答案不一致,但是他認(rèn)為解題過程是正確的,想請老師幫他確認(rèn)一下.在看了他的解題過程之后,和他進(jìn)行了一番辨析,最終幫他找到了錯(cuò)解的原因.今天將這道題的錯(cuò)解辨析呈現(xiàn)出來,以期對讀者有些啟發(fā),避免在該問題上重蹈覆轍.

錯(cuò)解原不等式恒成立等價(jià)于

①

②

對于任意的x∈[1/6,1/3]恒成立.

解題理論依據(jù):當(dāng)D為某區(qū)間時(shí),|f(x)-a|>g(x)對任意x∈D恒成立等價(jià)于不等式f(x)-a>g(x)或f(x)-a<-g(x)對任意x∈D恒成立.

剖析原理:該理論依據(jù)是錯(cuò)誤的,錯(cuò)在二者不是等價(jià)關(guān)系,原不等式恒成立的等價(jià)條件是“不等式f(x)-a>g(x),對任意x∈E恒成立或f(x)-a<-g(x),對任意x∈F恒成立(其中E∪F=D)”.

下面正確解答原命題.

分析1對不等式右邊的代數(shù)式的正、負(fù)討論,達(dá)到去絕對值的目的.

所以a∈{a|a∈R,a≠ln(1/3)}.

分析2將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為2個(gè)非負(fù)代數(shù)式的和為正數(shù),原不等式恒成立,必須滿足2個(gè)代數(shù)式均不為0.

|a-lnx|≥0,ln[3/(2+3x)]≥0,

分析3利用“正難則反”的解題原則,先求原命題的否定命題的a的取值范圍,再利用補(bǔ)集的思想,求出原命題恒成立時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍

以上對絕對值不等式|f(x)-a|>g(x)恒成立的錯(cuò)解辨析,可以得出錯(cuò)解的原因是:將該絕對值不等式恒成立的等價(jià)條件誤認(rèn)為與絕對值不等式解集的等價(jià)條件一致，即“不等式|f(x)|>g(x)的解集”的等價(jià)條件是“不等式f(x)>g(x)的解集,或f(x)<-g(x)的解集”.所以解決絕對值不等式恒成立的問題的關(guān)鍵在于命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,或者利用分類討論,或者利用“正難則反”的原則,可以順利地解決問題,甚至找到解決問題的最簡捷的途徑.

(作者單位：甘肅省積石山縣積石中學(xué))