例析兩角和差及倍角公式的應(yīng)用

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例析兩角和差及倍角公式的應(yīng)用

◇山東王秀永

兩角和差及倍角公式是解決三角函數(shù)化簡求值問題的重要公式,也是其他三角公式的推導(dǎo)基礎(chǔ),所以在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中,必須充分重視．應(yīng)用其解題時要掌握角的變化以及三角函數(shù)名稱的變化技巧,把握化簡的標(biāo)準(zhǔn):一次、一角、一函數(shù)．同時在求值時,要注意角的范圍影響著三角函數(shù)值的符號,這也是解題過程中的易錯點(diǎn)．

三角函數(shù)的化簡是三角變換的基礎(chǔ),即通過一系列的變換,化異為同,達(dá)到簡化運(yùn)算的目的,其基本原則是: 1)三角函數(shù)的名稱及角的種類要盡量的少; 2)三角函數(shù)的次數(shù)要盡量的低; 3)分母中盡量不含三角函數(shù); 4)能求值的要求出具體值．

常見題型有如下3類．

1等式證明

tan(α-β)+4tanβ=0.

證明由5sinα=3sin(α-2β)可以得到

5sin [(α-β)+β]=3sin [(α-β)-β],

即

5sin(α-β)cosβ+5cos(α-β)sinβ=

3sin(α-β)cosβ-3cos(α-β)sinβ.

得2sin(α-β)cosβ+8cos(α-β)sinβ=0.

①

根據(jù)題意得α≠kπ+π/2且

α-β≠kπ+π/2,k∈Z.

式①兩邊都除以2cosβcos(α-β)得

tan(α-β)+4tanβ=0.

2化簡求值

sin(-50°)/(sin50°cos60°)=-2.

解法2原式可化為

2sin(-50°)/sin50°=-2.

sin 2θ-2cos2θ=2sinθcosθ-2cos2θ=

解法2sin 2θ-2cos2θ=sin 2θ-cos 2θ-1=

-cos (2θ+π/2)-sin(2θ+π/2)-1=

3恒等變換

總之,三角函數(shù)化簡和求值的難點(diǎn)在于多個三角公式的靈活運(yùn)用,需要認(rèn)真分析式子的整體結(jié)構(gòu)及角的關(guān)系,才能準(zhǔn)確找到解題的思維起點(diǎn)．

(作者單位：山東省壽光現(xiàn)代中學(xué))