明確復(fù)習(xí)重點(diǎn)探索有效途徑———2016 年高考數(shù)學(xué)第2 輪復(fù)習(xí)建議( 上)

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明確復(fù)習(xí)重點(diǎn)探索有效途徑
———2016 年高考數(shù)學(xué)第2 輪復(fù)習(xí)建議( 上)

◇北京丁益祥(特級教師)

1第2輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1.1夯實(shí)核心內(nèi)容

數(shù)學(xué)高考考查的內(nèi)容十分豐富,第2輪復(fù)習(xí)應(yīng)在第1輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上,聚焦如下核心內(nèi)容:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式,三角函數(shù)、三角變換與解三角形,數(shù)列與函數(shù)、不等式,概率統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理,空間圖形與平面圖形,解析幾何與平面幾何、平面向量.

1.2突出數(shù)學(xué)思想

高考?xì)v來重視對數(shù)學(xué)思想的考查,近年來的數(shù)學(xué)高考中著重考查7種數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、有限與無限思想、或然與必然思想.第2輪復(fù)習(xí)應(yīng)更加突出數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

1.3發(fā)展理性思維

理性思維主要包括如下3個(gè)方面:從數(shù)和形的角度觀察事物,提出有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的問題(如唯一性、存在性、不變性、充要性等);運(yùn)用歸納抽象、邏輯推理、運(yùn)算求解、演繹證明、空間想象、直覺猜想等思維方法思考和分析問題;利用數(shù)學(xué)語言(文字語言、圖形語言、符號語言等)準(zhǔn)確地進(jìn)行表述和交流.

歷年的數(shù)學(xué)高考考試大綱都明確指出:數(shù)學(xué)是一門思維科學(xué),是發(fā)展學(xué)生理性思維的主要載體.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也不止一次地強(qiáng)調(diào):數(shù)學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生理性思維具有其他學(xué)科不可替代的重要作用.據(jù)此,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須十分重視學(xué)生理性思維的培養(yǎng),而作為著重檢測學(xué)生思維水平和數(shù)學(xué)能力的數(shù)學(xué)高考,考查學(xué)生的理性思維是必然之舉.因此,第2輪復(fù)習(xí)必定要肩負(fù)起發(fā)展學(xué)生理性思維的重任.

1.4培養(yǎng)學(xué)科能力

“考查基礎(chǔ)知識的同時(shí),注重考查能力”,歷來是數(shù)學(xué)高考的命題原則.這里的能力包括2個(gè)方面:1)基本能力,是指空間想象能力,抽象概括能力,推理論證能力,運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力;2)發(fā)展性能力,包括應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，具體表現(xiàn)為分析和解決實(shí)際問題的能力,以及面對創(chuàng)新問題富有新意的思維過程與解法設(shè)計(jì).作為第1輪復(fù)習(xí)的延伸,第2輪復(fù)習(xí)中理應(yīng)把提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力作為主要的復(fù)習(xí)任務(wù).

2第2輪復(fù)習(xí)有效途徑

2.1通過重點(diǎn)專題復(fù)習(xí)夯實(shí)核心內(nèi)容

全國各地的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí),大多是兩輪制.第1輪以落實(shí)雙基為主,適當(dāng)關(guān)注能力的提高和思維的發(fā)展,因此第1輪復(fù)習(xí)通常按章節(jié)逐一過關(guān).而第2輪復(fù)習(xí)的主要任務(wù)是聚焦核心考點(diǎn),總結(jié)解題方略,發(fā)展思維水平,提高數(shù)學(xué)能力.因此,從知識、方法和能力的角度,精選幾個(gè)聚焦核心內(nèi)容的專題進(jìn)行復(fù)習(xí),一定是有效的.

專題選題原則:專題復(fù)習(xí)主要講解具有一定代表性的歷年高考試題以及具有一定綜合性的高考模擬試題或其他典型習(xí)題,所選問題應(yīng)突出本專題的重點(diǎn)知識、重要技能、重要思想、典型方法、常用策略,既要注意選擇一些章內(nèi)知識的綜合問題,更要注意選擇那些在知識網(wǎng)絡(luò)交會點(diǎn)處設(shè)計(jì)的、注重發(fā)展思維、考查能力的試題或習(xí)題.

專題復(fù)習(xí)策略:重在解題思路的分析、知識要點(diǎn)的梳理、規(guī)范解法的展示、解題方略的總結(jié)、學(xué)科思想的提煉等.

可以選擇如下10個(gè)專題.

1) 選擇題、填空題的解法.

在所規(guī)劃的課時(shí)內(nèi),盡可能做到主要知識全覆蓋,量多面廣,小題綜合化.要選擇那些小巧靈活、解法多樣的問題,著重體現(xiàn)選擇、填空題的各種不同解法,如直接求解法、特值分析法、數(shù)形結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、變量替換法、巧用定義法、直覺判斷法、合理估值法、無限逼近法等.通過選擇題和填空題的求解,進(jìn)一步夯實(shí)雙基,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和敏捷性.

2) 數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓,是架設(shè)在知識和能力之間的一座橋梁.第2輪復(fù)習(xí)中,必須選擇相關(guān)的問題,通過對蘊(yùn)含在問題本身中的數(shù)學(xué)思想的挖掘和提煉,實(shí)現(xiàn)對問題的解決.從歷年的高考試題看,數(shù)學(xué)思想在各種題型中都有所考查,因此,本專題中選擇題、填空題、解答題3種題型都應(yīng)有所選擇,所選題目應(yīng)蘊(yùn)含7種數(shù)學(xué)思想.通過這些問題的求解,一方面應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想在解題中的價(jià)值,另一方面應(yīng)提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想求解問題的意識.

3) 三角函數(shù)與平面向量.

三角函數(shù)是歷年高考必考的重要內(nèi)容之一,這類問題有時(shí)還和平面向量結(jié)合考查.第2輪復(fù)習(xí)既要重視單一的三角問題,也要適當(dāng)關(guān)注三角函數(shù)與平面向量的綜合問題.本專題所選題目應(yīng)側(cè)重于考查三角函數(shù)的化簡和求值、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角變換公式、正余弦定理等核心內(nèi)容,還應(yīng)適當(dāng)選擇1或2個(gè)三角函數(shù)與平面向量的綜合問題.

4) 數(shù)列與函數(shù)、不等式.

數(shù)列是高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要銜接點(diǎn),歷來是數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)之一.本專題所選的題目應(yīng)側(cè)重于考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、2類數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、數(shù)列運(yùn)算的6大技能、函數(shù)的單調(diào)性與平均值不等式等核心知識,既要突出數(shù)列章內(nèi)知識的綜合,又要突出數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合.

(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2) 記數(shù)列{1/an}的前n項(xiàng)和Tn,求使|Tn-1|<1/1000成立的n的最小值.

歸納與小結(jié)此題是數(shù)列與函數(shù)、不等式的簡單綜合,既考查了數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等比數(shù)列的判定以及前n項(xiàng)和公式,又考查了指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)以及不等關(guān)系的處理方法.事實(shí)上,n≥10的獲得,依賴于指數(shù)函數(shù)y=2x的單調(diào)性,而不等式“29<512<1 000<1 024=210”的構(gòu)造,體現(xiàn)了不等關(guān)系的放縮技能.

5) 概率統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理.

概率與統(tǒng)計(jì)是近年來應(yīng)用問題考查的主要內(nèi)容,對此,第2輪復(fù)習(xí)必須十分重視.本專題所選題目應(yīng)側(cè)重于考查抽樣方法,用樣本估計(jì)總體(頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差);古典概型和幾何概型; 4類事件的概率(等可能性事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、對立事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率),理科還應(yīng)關(guān)注條件概率,重視n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率及二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望值與方差.復(fù)習(xí)中要重視圖表問題的精選與讀圖、識圖的方法指導(dǎo).

(1) 完成頻率分布表.

(2) 作出頻率分布直方圖.

(3) 根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0～50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu);在51～100時(shí)，為良；在101～150時(shí)，為輕微污染；在151～200時(shí)，為輕度污染.

請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn),對該市的空氣質(zhì)量給出一個(gè)簡短評價(jià).

歸納與小結(jié)本題涉及了頻數(shù)、頻率、頻率分布表及頻率分布直方圖的意義和制作方法,涉及了對空氣質(zhì)量問題的評價(jià).這類問題,大多是給出頻率分布表和頻率分布直方圖,然后要求根據(jù)圖表回答相應(yīng)的問題.而此題給出的只是30個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和國家關(guān)于空氣質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn),要求自己制作頻率分布表和頻率分布直方圖,再根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,結(jié)合國家空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,最后對該市空氣質(zhì)量給出簡短評價(jià),既展現(xiàn)了加工數(shù)據(jù)的具體過程,考查了數(shù)據(jù)處理能力,又著重考查了運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識解決簡單實(shí)際問題的能力,具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值.

6) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程和不等式.

導(dǎo)數(shù)是歷年高考的重點(diǎn),通常與函數(shù)、不等式、方程綜合考查.正因?yàn)樵囶}是眾多知識的交會,因而往往是高考的把關(guān)試題之一,難度較大.這類試題的求解,對于推理論證能力和運(yùn)算求解能力都具有較高的要求.因此,作為著重提高學(xué)生能力的第2輪復(fù)習(xí),理應(yīng)把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程和不等式作為重點(diǎn)專題強(qiáng)化落實(shí).本專題應(yīng)側(cè)重選擇考查導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、導(dǎo)數(shù)公式以及求導(dǎo)法則(復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最值、導(dǎo)數(shù)與不等式的證明、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)等問題,進(jìn)行求解訓(xùn)練.

(1) 討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2) 證明:當(dāng)a>0時(shí)f(x)≥2a+aln(2/a).

歸納與小結(jié)此題是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程和不等式等眾多知識的交會,考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、多項(xiàng)式函數(shù)的求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法.此題第(1)問原則上應(yīng)借助于函數(shù)零點(diǎn)的存在定理,然而,由于當(dāng)a>0時(shí),使得f′(x)<0成立的具體的某個(gè)x值不易求出,因此,這里采用無限逼近的辦法,即有限與無限的思想,較好地解決了問題,值得關(guān)注.第(2)問本質(zhì)上是不等式恒成立問題,這類問題,通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的判斷與最值問題的求解.

此題綜合性較強(qiáng),具有一定難度.第2輪復(fù)習(xí)中選擇這樣的導(dǎo)數(shù)問題,對于培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力,都能起到重要的作用.

(未完待續(xù))

(作者單位：北京陳經(jīng)綸中學(xué))