高中學(xué)生在導(dǎo)數(shù)就用中的幾個(gè)誤區(qū)

?

高中學(xué)生在導(dǎo)數(shù)就用中的幾個(gè)誤區(qū)

◇山東劉明運(yùn)

導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具,在處理曲線(xiàn)的切線(xiàn)、函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等方面起著舉足輕重的作用．但是在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過(guò)程中由于對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)掌握不全面、不深刻,學(xué)生容易陷入如下不易察覺(jué)的誤區(qū)．

1過(guò)一條曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn),必能做出切線(xiàn)

那么在每一點(diǎn)處連續(xù)的函數(shù)是否有切線(xiàn)呢?也不一定,例如f(x)=|x|+1，在x=0處沒(méi)有切線(xiàn)．

2函數(shù)在某點(diǎn)不可導(dǎo),該點(diǎn)不存在切線(xiàn)

3如果曲線(xiàn)存在切線(xiàn),切線(xiàn)只有1條

求在曲線(xiàn)上已知點(diǎn)的切線(xiàn),那就只有1條．因?yàn)槿绻瘮?shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo),可知在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)是確定的,斜率也是唯一的．如果是過(guò)曲線(xiàn)上或曲線(xiàn)外的某點(diǎn)的切線(xiàn),求出來(lái)的切線(xiàn)就可能不止1條了．例如:求過(guò)曲線(xiàn)y=x3-2x上的點(diǎn)(1,-1)的切線(xiàn)方程.所求切線(xiàn)方程為x-y-2=0或5x+4y-1=0.可以發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)5x+4y-1=0并不以(1,-1)為切點(diǎn),實(shí)際上是經(jīng)過(guò)了點(diǎn)(1,-1)且以(-1/2,7/8)為切點(diǎn)的直線(xiàn).這說(shuō)明過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn),該點(diǎn)未必是切點(diǎn),切線(xiàn)未必只有1條．

4某區(qū)間上遞增,則f′(x)≥0恒成立

其實(shí), 當(dāng)a=3時(shí),g′(x)=1/4-1/x2在x=2時(shí)無(wú)意義,所以a=3不符合,正確答案應(yīng)為(3,+∞)．那么可導(dǎo)的函數(shù)在某區(qū)間M上單調(diào)遞增(減),則f′(x)≥0(f′(x)≤0)還是f′(x)>0(f′(x)<0)恒成立呢?這就要從函數(shù)單調(diào)性的充要條件說(shuō)起:

1) 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),如果方程f′(x)=0在某個(gè)區(qū)間上至多有有限個(gè)孤立解,那么在這個(gè)區(qū)間上,f(x)為增函數(shù)的充要條件是f′(x)≥0;f(x)為減函數(shù)的充要條件是f′(x)≤0．

2) 連續(xù)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]與開(kāi)區(qū)間(a,b)上具有相同的單調(diào)性．

5導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)

要解決這個(gè)問(wèn)題,首先看下面的概念:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)(駐點(diǎn)也稱(chēng)為穩(wěn)定點(diǎn))極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)．可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必然在函數(shù)f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)的集合之中,反之,不成立,即穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．

錯(cuò)解導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x2+2ax+b,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處有極值10,可得

上述解題忽略了一個(gè)細(xì)節(jié),解題過(guò)程中只用到f′(1)=0和f(1)=10,這能說(shuō)明它是極值點(diǎn)嗎?當(dāng)a=-3、b=3時(shí),f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),顯然x=1不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);驗(yàn)證當(dāng)a=4、b=-11時(shí),x=1是函數(shù)的極值點(diǎn)．故a+b=-7．

綜上,導(dǎo)數(shù)以其工具性決定了應(yīng)用的廣泛性,把導(dǎo)數(shù)作為工具研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)、函數(shù)的單調(diào)性與極值,簡(jiǎn)潔、高效且具有操作性．但我們要掌握好導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具,在應(yīng)用時(shí)要多思考、多研究,全面深刻的使用它,以防止出現(xiàn)“意外”．

(作者單位：山東省濟(jì)南市歷城第一中學(xué))