不從起點植樹會怎樣？

李凱

植樹問題是新人教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊第七單元《數(shù)學(xué)廣角》中的內(nèi)容，這類問題變化多樣，學(xué)生容易混淆。如何能幫助學(xué)生把這類問題理解清楚呢？筆者認(rèn)為還是要回到問題的源頭上，從植樹時不考慮起點開始探究，借助學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗引導(dǎo)學(xué)生理解植樹問題。

一、由“不從起點植樹”引發(fā)的思考

1.不從起點植樹，棵數(shù)等于間隔數(shù)（學(xué)生已有經(jīng)驗）

一段50米的小路，每隔10米種一棵樹，可以種多少棵？學(xué)生根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗50米里面有5個10米，因此可以種5棵樹，應(yīng)該說學(xué)生這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗并沒有錯，如圖1。

2.“不從起點植樹”與“兩端都植樹”的聯(lián)系

如果繼續(xù)把小樹向左右兩端平移，會得到什么結(jié)果呢？顯而易見，這樣會出現(xiàn)一端栽一端不栽的情況，如圖4、圖5。結(jié)論依然成立。按照每間隔10米種一棵的要求，此時還可以在起點或者是終點再種一棵樹，這樣棵樹就等于間隔數(shù)+1了。

只是這個時候線段兩個端點上的樹去掉了，也可以想象成在兩個端點上栽花，如圖6。

因此在一條線段上植樹，是否從起點開始植樹是十分重要的限定條件，它是區(qū)分新舊知識和經(jīng)驗的重要節(jié)點。據(jù)此可以得到這樣的關(guān)系，如圖7。

3.在圓周上植樹需要考慮起點嗎？

從教材的示意圖（圖8）中可以看出，在圓形的路線上植樹，棵數(shù)與間隔數(shù)相等。問題是在圓形線路上植樹需要考慮起點的位置嗎？

我們用鐘面為例，將圓周平均分成12等份，如果間距是3個等份，顯而易見可以種4棵樹。用小圓點表示樹，如果在12點的位置種第一棵樹，則后面的3棵樹分別應(yīng)該在3點、6點和9點的位置，如圖9。如果在一點的位置種下第一棵樹，則后面3棵樹的位置會以此向后移動一個刻度，如圖10，雖然起點的位置改變了，但是結(jié)論依然是4棵。可見在圓周上植樹是不用考慮起點位置的，無論起點在哪里，棵樹都等于間隔數(shù)。

4.在圓形路線上的結(jié)論推廣到其他封閉路線

如果是在長方形或正方形的周界上植樹，棵數(shù)是不是還等于間隔數(shù)呢？我們可以試驗一下。以正方形為例，我們把正方形的邊長看成4，間距設(shè)為2。如果正方形的四個頂點上種樹如圖11，那么有8個間隔對應(yīng)有8棵樹。如果把這8棵樹按順時針移動相同的距離，就會出現(xiàn)頂點上不種樹的情況如圖12，這時依然有8個間隔對應(yīng)8棵樹。

因此在封閉路線上以任意一個點為起點，都能夠得到間隔數(shù)等于棵樹的結(jié)論，無論頂點上是否種樹都不影響到這個結(jié)論。

二、對植樹問題的知識結(jié)構(gòu)調(diào)整

圖13是原來植樹問題的知識結(jié)構(gòu)。從圖中可以看出在封閉路線上植樹的問題可以轉(zhuǎn)化成在線段上植樹問題中“一端栽，一端不栽”的情況來考慮，但是這兩個問題的前提是不一樣的，一個要考慮起點，一個不考慮起點，它們只是結(jié)論恰好相同而已。實際上在封閉路線上植樹應(yīng)該與學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗對應(yīng)起來，那就是有幾個間隔就有幾棵樹，不考慮起點。因此可以將原有的知識結(jié)構(gòu)圖調(diào)整一下如圖14，這樣學(xué)生對于植樹問題就比較明晰了，考慮起點時，用原有經(jīng)驗得到間隔數(shù)，再根據(jù)要求對間隔數(shù)進(jìn)行調(diào)整得到種樹棵數(shù)，不考慮起點時，則運用原有經(jīng)驗，間隔數(shù)直接等于種樹棵數(shù)。

可能有人會這樣認(rèn)為：既然結(jié)論相同，原有的知識結(jié)構(gòu)也是成立的，不這樣調(diào)整似乎也沒有什么問題。事實并不是這樣，首先，不應(yīng)該把不同類型的問題混為一談；其次，分清楚知識結(jié)構(gòu)也有利于我們認(rèn)識到問題的本質(zhì)，簡化解決問題的思路和步驟。

學(xué)生的配套練習(xí)中有一道題：全班52名同學(xué)在操場上做游戲，大家圍成正方形，每邊人數(shù)相等，四個頂點都有人，相鄰兩個同學(xué)之間相隔0.8米，求圍成的正方形的邊長是多少米。按照一般的解法是要考慮起點的，因為題目也限定了每個頂點都有人。先算每邊人數(shù)的時候?qū)嶋H上是轉(zhuǎn)化成了兩端都種樹的情況，并涉及到四個頂點重復(fù)計算問題還需要倒推，這樣算起來就會比較復(fù)雜。如果按照現(xiàn)在的思路，在封閉路線上植樹，不考慮起點，52個人就有52個間隔，無論四個頂點上有沒有人，每條邊上的間隔數(shù)都是一樣的，這樣算邊長不就很簡單了嗎。而且13+1就可以得到每邊人數(shù)，比起之前的方法是不是簡便很多呢。

一般的解法：先求每邊的學(xué)生人數(shù)（52-4）÷4+2=14（人），再求每邊的間隔數(shù)14-1=13（個），最后求邊長13×0.8=10.4（米）。

現(xiàn)在的解法：先求每邊的間隔數(shù)52÷4=13（個），再求邊長13×0.8=10.4（米）。

從圖13可以清楚看到，原有的知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗沒有什么聯(lián)系，全部需要學(xué)生自己建構(gòu)。如果采用圖14的知識結(jié)構(gòu)，更多的學(xué)習(xí)經(jīng)驗可以直接繼承，需要做出調(diào)整的部分減少，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)難度就降低了。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)邏輯性和連貫性，這既是一個繼承的過程，也是一個創(chuàng)新的過程。

（作者單位：武漢小學(xué)）