改進(jìn)的受力狀態(tài)映射法在結(jié)合部動力學(xué)參數(shù)辨識中應(yīng)用

李金峰， 王立平

(清華大學(xué) 機(jī)械工程系，北京　100084)

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改進(jìn)的受力狀態(tài)映射法在結(jié)合部動力學(xué)參數(shù)辨識中應(yīng)用

李金峰， 王立平

(清華大學(xué) 機(jī)械工程系，北京100084)

摘要：針對受力狀態(tài)映射法作為辨識非線性結(jié)合部參數(shù)重要方法具有物理意義明確、辨識準(zhǔn)確等特點(diǎn)，而實(shí)際辨識試驗(yàn)時(shí)結(jié)構(gòu)某些參數(shù)難以測定、致辨識過程困難等問題，提出結(jié)合子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法的受力狀態(tài)映射法，可有效解決該問題。參數(shù)辨識過程中對模型易出現(xiàn)的缺失項(xiàng)及冗余項(xiàng)，利用基于TSVD(Truncated Singular Value Decomposition)正則化方法的模型迭代修正法。仿真模型表明，修正模型較精確模型誤差小、辨識精度高。通過對導(dǎo)軌結(jié)合部進(jìn)行參數(shù)辨識實(shí)驗(yàn)研究，證明辨識方法的有效性及準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：非線性結(jié)合部；參數(shù)辨識；受力狀態(tài)映射法；TSVD正則化

結(jié)合部動態(tài)特性對機(jī)床影響較大，欲準(zhǔn)確分析整機(jī)動態(tài)特性，不僅獲取零件、部件及組件的動力學(xué)參數(shù)，且需獲取其結(jié)合部的動力學(xué)參數(shù)方能建立整體動力學(xué)模型進(jìn)行分析。而單純靠試驗(yàn)或有限元法不可能精確獲得結(jié)合部動力學(xué)參數(shù)，須通過一定辨識方法對參數(shù)進(jìn)行辨識。結(jié)合部動力學(xué)參數(shù)通常包括動剛度、阻尼等，且常表現(xiàn)出非線性。因而尋找精確、合適的結(jié)合部非線性參數(shù)辨識方法獲取準(zhǔn)確動力學(xué)參數(shù)、構(gòu)建整機(jī)動力學(xué)模型為整機(jī)動力學(xué)、動態(tài)特性分析及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的先決條件。受力狀態(tài)映射法由Crawley等[1]提出，即將結(jié)合部間的力視為外力，并與狀態(tài)之間建立映射關(guān)系。該法物理意義直觀，表達(dá)方式明確，且較頻響函數(shù)法等傳統(tǒng)辨識方法可辨識出結(jié)合部間除剛度、阻尼外的其它非線性聯(lián)接關(guān)系。

鑒于結(jié)合部非線性參數(shù)難以識別特點(diǎn)，對該方法已進(jìn)行一系列改進(jìn)。Kim等[2]在頻域利用受力狀態(tài)映射法對非線性結(jié)合部參數(shù)辨識表明，辨識精度較高。其雖對所建模型與假設(shè)模型相同情況進(jìn)行分析，但未對假設(shè)模型為其它情況時(shí)如何辨識進(jìn)行深入研究。Shin等[3]提出由延拓算法與力映射法構(gòu)成的偽力狀態(tài)映射法。針對受力狀態(tài)映射到響應(yīng)信號相位滯后問題，Meskell等[4]提出評估敏感性參數(shù)估計(jì)方法。Wang等[5]證明不確定結(jié)合部模型下在頻域僅靠離散數(shù)據(jù)不能獲得完備的受力狀態(tài)。蔡力鋼等[6]在受力狀態(tài)映射法基礎(chǔ)上用Tikhonov 正則化與迭代算法結(jié)合對結(jié)合部等效力矢量模型進(jìn)行更新，辨識出結(jié)合部等效動力學(xué)參數(shù)。Jalali等[7]將受力狀態(tài)映射法用于單個(gè)螺栓結(jié)合部參數(shù)辨識，獲得立方剛度及黏性阻尼。Dhupia等[8-9]提出通過非線性恢復(fù)力計(jì)算滾動導(dǎo)軌結(jié)合部阻尼方法，非線性恢復(fù)力具體形式用二維切比雪夫多項(xiàng)式表述。通過對試驗(yàn)結(jié)果最小二乘估計(jì)獲得該非線性恢復(fù)力表達(dá)式系數(shù)，進(jìn)而求出結(jié)合部阻尼。

實(shí)際辨識試驗(yàn)中由于某些結(jié)合部整體結(jié)構(gòu)難以拆分，且結(jié)合部處形狀不規(guī)則，導(dǎo)致子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)難以測定；某些結(jié)合部變形極小，甚至在微米級以下，導(dǎo)致測量困難。對此，本文提出結(jié)合子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法的受力狀態(tài)映射法，經(jīng)改進(jìn)后能有效解決此問題。即在參數(shù)辨識中用基于TSVD正則化方法的模型迭代修正法，通過仿真證明該方法能有效發(fā)現(xiàn)模型中缺失項(xiàng)及冗余項(xiàng)，辨識精度較高，并用該方法對導(dǎo)軌結(jié)合部動力學(xué)參數(shù)進(jìn)行辨識。

1受力狀態(tài)映射法

用受力狀態(tài)映射法進(jìn)行參數(shù)辨識前，需對各子結(jié)構(gòu)及結(jié)合部進(jìn)行假設(shè)，即①各子結(jié)構(gòu)為線性，結(jié)合部為非線性，整個(gè)結(jié)構(gòu)可劃分為若干線性子結(jié)構(gòu)及非線性結(jié)合部；②各子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣可通過仿真或?qū)嶒?yàn)獲得。

1.1動力學(xué)方程建立

線性子結(jié)構(gòu)1、2通過m個(gè)非線性結(jié)合部連接，見圖1。忽略結(jié)合部質(zhì)量時(shí)其特性可由一系列非線性彈簧及阻尼表示。圖2中整個(gè)結(jié)構(gòu)由結(jié)合部處分離，通過結(jié)合部傳遞力視為子結(jié)構(gòu)1、2所受外力。子結(jié)構(gòu)1中區(qū)域a代表結(jié)合部區(qū)域，p代表除結(jié)合部區(qū)域外的其余區(qū)域，同理子結(jié)構(gòu)2中區(qū)域b代表結(jié)合部區(qū)域，q代表除結(jié)合部區(qū)域外的其余區(qū)域。

圖1　一般非線性結(jié)合部模型Fig.1 General nonlinear joint model

圖2　非線性結(jié)合部等效模型Fig.2 Nonlinear joint equivalent model

由于子結(jié)構(gòu)1、2所受結(jié)合部力大小相等、方向相反，因此只需分析其中之一即可。線性子結(jié)構(gòu)1的動力學(xué)方程為

[K1]{x1(t)}={f1(t)}+{fj(t)}1

(1)

式中：[M1]，[C1]，[K1]為子結(jié)構(gòu)1的質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣；{x1(t)}為位移矢量；{f1(t)}為作用于1的外力矢量；{fj(t)}1為作用于1的結(jié)合部力矢量。

將子結(jié)構(gòu)1按結(jié)合部及非結(jié)合部區(qū)域分解，并將1的動力學(xué)方程變到頻域，則式(1)可寫為

取式(2)第二行，得

[Haa]{Fja(ω)}={X1a(ω)}-

[Hap]{F1p(ω)}-[Haa]{F1a(ω)}

(3)

式中：[Haa]，[Hap]為子結(jié)構(gòu)1在 a區(qū)域頻響函數(shù)； {F1p(ω)}，{F1a(ω)}為作用于區(qū)域p及a的激振力；{X1a(ω)}為區(qū)域a處位移矢量；{Fja(ω)}為區(qū)域a處結(jié)合部力矢量。

頻響函數(shù)[Haa]，[Hap]可通過實(shí)驗(yàn)或有限元法測定。整個(gè)結(jié)構(gòu)受任意點(diǎn)外部簡諧激振力時(shí)結(jié)合部位移響應(yīng){X1a(ω)}、激振力矢量{F1p(ω)}及{F1a(ω)}可測定；可由式(3)辨識獲得結(jié)合部力矢量{Fja(ω)}。

1.2結(jié)合部力模型

結(jié)合部力模型由結(jié)合部受力狀態(tài)決定。設(shè)受力模型為關(guān)于結(jié)合部相對位移、速度的多項(xiàng)式函數(shù)。結(jié)合部力模型未知時(shí)其力矢量{fja(t)}中第i個(gè)結(jié)合部力可據(jù)受力狀態(tài)表示為

(4)

結(jié)合部力矢量{fja(t)}共(nsi+1)×(nri+1)-1個(gè)等效分力，則式(4)可寫為

(5)

結(jié)合部有m個(gè)結(jié)合部力時(shí)進(jìn)行傅里葉變換，得

{Fjp(ω)}=

至此，結(jié)合部力模型已建立完成，結(jié)合部受力狀態(tài)可映射到表征結(jié)合部力模型的動力學(xué)參數(shù)。若結(jié)合部受力狀態(tài)已知，便可辨識出其動力學(xué)參數(shù)。

2改進(jìn)的受力狀態(tài)映射法

2.1子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法

子結(jié)構(gòu)法作為動力分析、動態(tài)響應(yīng)計(jì)算不可或缺的分析工具，能充分利用各子系統(tǒng)動態(tài)特性，通過便捷計(jì)算或?qū)嶒?yàn)獲取子結(jié)構(gòu)模態(tài)特性，進(jìn)而獲得可靠的整體系統(tǒng)動力學(xué)特性參數(shù)或動態(tài)響應(yīng)。

在子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法中所用子結(jié)構(gòu)主要有模態(tài)子結(jié)構(gòu)與連接子結(jié)構(gòu)兩類。前者指進(jìn)行模態(tài)分析并保留若干低階主模態(tài)參與系統(tǒng)近似坐標(biāo)變換，進(jìn)行子結(jié)構(gòu)模態(tài)分析時(shí)為獨(dú)立子系統(tǒng)；后者則為特殊子結(jié)構(gòu)，其自由度與相鄰模態(tài)子結(jié)構(gòu)共有，對其不進(jìn)行主模態(tài)分析、不建立單獨(dú)模態(tài)變換。利用該特性可將子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法用于非線性動力學(xué)系統(tǒng)參數(shù)辨識。

與線性系統(tǒng)類似，對非線性系統(tǒng)實(shí)施模態(tài)綜合法，包括①分解：即將整體結(jié)構(gòu)解體為一系列獨(dú)立子結(jié)構(gòu)；②分析：各子結(jié)構(gòu)均為線性子系統(tǒng)，可由有限元法或試驗(yàn)獲得其自由界面主模態(tài)且保留低階模態(tài)；③總裝：經(jīng)模態(tài)分析獲得各子結(jié)構(gòu)模態(tài)信息后各子結(jié)構(gòu)運(yùn)動可用一組縮減的低階主模態(tài)代表，集合各子結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程即可獲得系統(tǒng)運(yùn)動方程，子結(jié)構(gòu)間連接通過非線性力實(shí)現(xiàn)。

2.2辨識方程建立

設(shè)結(jié)合部連接為弱連接，忽略子結(jié)構(gòu)剩余附著模態(tài)對計(jì)算精度影響，則子結(jié)構(gòu)1的保留主模態(tài)為

[Φ1]=[φ1,1,φ1,2,…,φ1,x1]

(7)

[Λi]=diag[Λi,1,Λi,2,…,Λi,xi]

(8)

式中：[Φ1]，[Λ1]為子結(jié)構(gòu)1的模態(tài)及特征值矩陣。

子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)變換的近似關(guān)系為

{x1}=[Φ1]{η1}

(9)

經(jīng)坐標(biāo)變換，得

[K1][Φ1]{η1(t)}={F1(t)}+{fj}

(10)

式(10)可表示為

[Φ1]T{F1(t)}+[Φ1]T{fj(t)}1

(11)

裝配所有子結(jié)構(gòu)方程，得整個(gè)系統(tǒng)方程為

[Φ]T{F(t)}+[Φ]T{fj(t)}1

(12)

系統(tǒng)模態(tài)主坐標(biāo)向量及模態(tài)矩陣為

{η(t)}=col[η1(t),η2(t),…,ηs(t)]

[Φ]=diag(Φ1,Φ2,…,Φs)

特征值及塊對角阻尼矩陣為

[Λ]=diag(Λ1,Λ2,…,Λs)

令{Q(t)}=[Φ]T{F(t)}稱為模態(tài)激振力，將阻尼力并入非線性力，式(12)可轉(zhuǎn)化為

由傅里葉變換，得

[Φ]T{fj(ω)}1=[Λ]{η(ω)}+

(13)

3參數(shù)辨識

對式(13)展開辨識，其中模態(tài)矩陣[Φ]可寫為

(14)

將{fj(ω)}1簡寫為{F(ω)}，將式(6)、(14)代入式(13)，并令方程右邊為{μ(ω)}，則有

[Φ]{F(ω)}={μ(ω)}

(15)

[HG(ω)]{λ}={μ(ω)}

(16)

式中：

{HG(ω)}=

當(dāng)N個(gè)不同激振頻率的激振力分別作用于系統(tǒng)時(shí)，式(16)可表示為

(17)

式(17)可簡寫為

(18)

將式(18)分解為實(shí)部與虛部，即

(19)

式(19)可簡寫為

[A]{λ}={B}

(20)

矩陣[A]的行數(shù)不小于列數(shù)時(shí)矢量{λ}可通過最小二乘法求得，即

{λ}=[A]+{B}

(21)

式中：[A]+=([A]T[A])-1[A]T為[A]的廣義逆矩陣。

不考慮外部噪聲干擾時(shí)，可設(shè)所建結(jié)合部力矢量模型與實(shí)際模型一致，只需獲取矩陣[A]及矢量{B}中必要參數(shù)，即可通過最小二乘法辨識出矢量{λ}。

而實(shí)際辨識中結(jié)合部等效力矢量未知。若假設(shè)模型不含所有精確項(xiàng)而多了不應(yīng)存在的冗余項(xiàng)，加之外部噪聲干擾，則通過最小二乘法求解誤差較大，其解會出現(xiàn)病態(tài)性。因此本文用基于TSVD正則化模型修正迭代法，對此類情況進(jìn)行研究。

3.1TSVD正則化方法

TSVD正則化方法又稱截?cái)嗥娈愔捣纸庹齽t化方法。據(jù)奇異值分解定理，矩陣[A]的SVD分解表示為

(22)

式中：[U]=(u1,u2,…,um),[V]=(v1,v2,…,vn)為正交矩陣;

設(shè)式(20)中矩陣[A]及矢量{B}均受噪聲影響，引入擾動矩陣為

([A]+[δA]){λ}=({B}+{δB})

(23)

簡寫為

[An]{λ}={Bn}

(24)

因此，式(21)可表示為

{λ}=[An]+{Bn}=([An]T[An])-1[An]T{Bn}=

(([U][S][V]T)T([U][S][V]T))-1×

([U][S][V]T)T{Bn}=

(25)

若δi接近0，則{Bn}的誤差會被放大。而TSVD正則化方法可較好解決此問題。在TSVD正則化方法中式(25)右端被截?cái)?即前k階較大奇異值被保留，剩余(r-k)階較小奇異值被舍棄，因而可避免誤差放大，增加解算的穩(wěn)定性。優(yōu)化參數(shù)k可據(jù)奇異值大小確定。

設(shè)[Dk]=diag(δ1,δ2,…δk)且k

(26)

因此，式(25)可寫為

(27)

3.2模型迭代修正法

考慮噪聲影響時(shí)結(jié)合部動力學(xué)參數(shù)由式(24)辨識獲得，矩陣[An]行數(shù)不小于列數(shù)時(shí)受噪聲影響，等式不成立，可通過模型修正迭代法使等式兩邊誤差減至最小。若設(shè)結(jié)合部力矢量模型不含所有精確項(xiàng)，則誤差不可控，迭代會發(fā)散；而假設(shè)結(jié)合部力矢量模型含所有精確項(xiàng)，誤差會顯著減小。因此，為檢驗(yàn)假設(shè)模型是否含所有精確項(xiàng)，定義收斂標(biāo)準(zhǔn)為

(28)

式中：{λn}為通過TSVD正則化方法辨識參數(shù)；ξ為殘差率，越趨近于0說明收斂效果越好，模型中含精確項(xiàng)越多辨識精度越高。

TSVD正則化方法可有效減小外部噪聲的影響，模型可據(jù)收斂標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行修正，因此將兩者結(jié)合，獲得模型迭代修正法，有效修正假設(shè)模型，并使其不斷包含實(shí)際模型中精確項(xiàng)，排除所有冗余項(xiàng)干擾。具體流程為：

(1)根據(jù)式(4)建立結(jié)合部假設(shè)模型，任意設(shè)定相對速度及位移冪次；

(2)通過TSVD正則化法辨識模型動力學(xué)參數(shù)；

(3)由式(28)計(jì)算殘差率，若結(jié)果足夠好則可認(rèn)為假設(shè)模型已含所有精確項(xiàng)，若結(jié)果不好則表明精確項(xiàng)缺失，需增大相對速度及位移冪次，重復(fù)步驟(2)，直到殘差率在接受范圍內(nèi)；

(4)假設(shè)模型中含所有精確項(xiàng)后檢查是否含冗余項(xiàng)。計(jì)算結(jié)合部力中每項(xiàng)分力的比重，即

(r=0…nri,s=0…nsi)

(29)

(5)通過TSVD正則化方法辨識模型動力學(xué)參數(shù)；

(6)通過式(28)計(jì)算殘差率，若結(jié)果仍足夠好，則可認(rèn)為上一步中剔除的為冗余項(xiàng)，重復(fù)步驟(4)；若殘差率變大，說明上步中剔除的為精確項(xiàng)，需保留之前的那一項(xiàng)，剔除此項(xiàng)之外比重最小項(xiàng)。重復(fù)步驟(5)；

(7)剩余的每項(xiàng)均不會使殘差率變低時(shí)迭代停止，此時(shí)認(rèn)為每項(xiàng)均為實(shí)際模型中的精確項(xiàng)。

4數(shù)值仿真

為驗(yàn)證辨識方法的有效性、準(zhǔn)確性，用三自由度非線性受迫振動系統(tǒng)對非線性結(jié)合部動力學(xué)參數(shù)進(jìn)行辨識。如圖3所示，設(shè)質(zhì)量塊m2與m3間為非線性連接，其余均線性連接，除非線性連接外的系統(tǒng)參數(shù)見表1。

圖3　三自由度系統(tǒng)Fig.3 A three DOF system

m1/kgm2/kgm3/kgk1/(N·m-1)k2/(N·m-1)c1/(N·s·m-1)c2/(N·s·m-1)1119×1069×10666

設(shè)整個(gè)系統(tǒng)模態(tài)、特征值矩陣可通過計(jì)算或試驗(yàn)獲得，整個(gè)結(jié)構(gòu)受某一固定激振頻率的外部激振時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可通過MATLAB計(jì)算求得，常微分方程求解可用MATLAB的求解器“ode23t”求解。便可通過式(13)辨識獲得結(jié)合部力矢量。

由于假設(shè)模型與精確模型相同、無噪聲影響時(shí)，辨識的參數(shù)會非常精確，此處不贅述。為說明本文所用辨識方法，分兩種情況進(jìn)行研究。

4.1情況1

設(shè)所建模型含所有精確項(xiàng)，并含冗余項(xiàng)。已知的非線性結(jié)合部精確模型可表示為

(30)

式中：λ10=9×107；λ01=4；λ20=3×105。

據(jù)給出的精確受力模型可求得整個(gè)結(jié)構(gòu)固有頻率。建立系統(tǒng)線性齊次無阻尼方程為

(31)

式中：

求解系統(tǒng)固有頻率及特征值矩陣。系統(tǒng)三階固有頻率分別為222.5 Hz、714.9 Hz、2 164 Hz。將激振頻率選在第二階固有頻率附近進(jìn)行計(jì)算，即711 Hz, 712 Hz,…,720 Hz；外界激振力記為f2(t)=1 000sin(2πft)；結(jié)合部位移矢量由常微分方程求出時(shí)域曲線，通過傅里葉變換到頻域；采樣頻率為最高激振頻率的2倍以上。仿真時(shí)分別添加5%、10%的隨機(jī)噪聲。

由于結(jié)合部力模型未知，據(jù)式(4)，令r=2,s=1，則假設(shè)的力模型可表示為

(32)

對fja(t)進(jìn)行傅里葉變換，用參數(shù)辨識方法進(jìn)行辨識，結(jié)果見表2。由表2看出，辨識精度較高，分力比重較大項(xiàng)的相對誤差較小，分力比重較小項(xiàng)受誤差影響較大。在迭代過程中冗余項(xiàng)不斷被剔除，直至模型含所有精確項(xiàng)。

表2　結(jié)合部參數(shù)辨識結(jié)果

4.2情況2

設(shè)所建模型未含所有精確項(xiàng)，并含冗余項(xiàng)。假設(shè)已知非線性結(jié)合部的精確模型及激振頻率、激振力同情況1，結(jié)合部參數(shù)辨識結(jié)果見表3。力模型可表示為

表3　結(jié)合部參數(shù)辨識結(jié)果

由表3看出，辨識精度仍較精確，證明在模型迭代更新過程中所有精確項(xiàng)已在模型中，再按情況1步驟剔除冗余項(xiàng)即可。由此該辨識方法對含精確項(xiàng)及冗余項(xiàng)模型亦適用。

5導(dǎo)軌結(jié)合部參數(shù)辨識實(shí)驗(yàn)研究

以真實(shí)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為研究對象，利用本文辨識方法進(jìn)行滾動導(dǎo)軌結(jié)合部的動力學(xué)參數(shù)辨識。搭建可用于多種導(dǎo)軌結(jié)合部參數(shù)辨識實(shí)驗(yàn)臺，通過力傳感器及加速度傳感器實(shí)現(xiàn)激振力、加速度高頻采集功能，并通過工控機(jī)、數(shù)據(jù)采集軟件實(shí)時(shí)獲得激振力及加速度時(shí)域曲線。實(shí)驗(yàn)臺主要由機(jī)械結(jié)構(gòu)部分、激振器系統(tǒng)及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)組成，見圖4、圖5。

機(jī)械結(jié)構(gòu)主要包括導(dǎo)軌、導(dǎo)軌基座、滑座及小型折疊式液壓吊車等。激振器系統(tǒng)包括激振器、信號發(fā)生器、功率放大器、激振桿及冷風(fēng)機(jī)等。數(shù)據(jù)采集采用北京東方振動與噪聲研究所的DASP V10系統(tǒng)，包括工控機(jī)、力傳感器、加速度傳感器、電荷放大器等，可實(shí)現(xiàn)24通道同步采集，每通道最大采樣頻率102.4 kHz，完全滿足實(shí)驗(yàn)要求。

圖4 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)圖5 機(jī)械結(jié)構(gòu)和激振器Fig.4DataacquisitionsystemFig.5Mechanicalstructureandvibrationexciter

5.1參數(shù)辨識實(shí)驗(yàn)

以THK SHS55導(dǎo)軌為研究對象，實(shí)驗(yàn)流程如下：

(1)測定滑塊與滑座固定后固有頻率?；鳛榛瑝K與激振桿間連接部件起降低滑塊固有頻率作用，將滑塊、滑座視為整體考慮。對滑塊進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)，測得該狀態(tài)下垂直振動頻率，以此頻率作為激振頻率帶中心值。

(2)激振實(shí)驗(yàn)。將加速度傳感器用磁鐵吸附于滑座表面中心，力傳感器一端與激振桿相連，另端通過螺釘與滑座固定。調(diào)節(jié)激振器高度，保持激振桿垂直滑座表面，未發(fā)生任何彎曲變形。將傳感器與采集儀連接，即可獲取激振力及加速度實(shí)時(shí)信號。

實(shí)驗(yàn)以低、中兩組不同預(yù)壓導(dǎo)軌作為對比，每組導(dǎo)軌進(jìn)行多組激振力實(shí)驗(yàn)，激振力大小設(shè)定線性增長。激振頻率選在垂直振動頻率附近；低預(yù)壓下測定垂直振動頻率為1 130 Hz，激振頻率帶定為(1 126 Hz,1 127 Hz,…, 1 130 Hz, …,1 135 Hz)；中預(yù)壓下測定垂直固有頻率為1 270 Hz，激振頻率帶定為(1 266 Hz,1 267 Hz,…, 1 270 Hz, …,1 275 Hz)。以中預(yù)壓導(dǎo)軌加15 N激振力為例，保持激振力幅值在所有激振頻率下不變，設(shè)采樣頻率為51.2 kHz，采樣時(shí)間0.02 s，用信號發(fā)生器控制激振頻率逐級變化，也可設(shè)置逐頻掃描。所得該實(shí)驗(yàn)不同頻率加速度響應(yīng)曲線，見圖6。

圖6　加速度時(shí)域曲線(1 270 Hz)Fig.6 Acceleration curve in time domain(1 270 Hz)

(3)數(shù)據(jù)后處理。實(shí)際中位移、速度信號不易直接獲取，需通過加速度信號積分得到(圖6)，若加速度信號起始相位非零點(diǎn)或極點(diǎn)，直接對加速度信號積分所得位移、速度信號會相位失真。動態(tài)參數(shù)中阻尼系數(shù)對積分信號相位失真較敏感，小程度相位失真亦會導(dǎo)致辨識中阻尼系數(shù)誤差放大。

在單頻率諧波激勵下，結(jié)構(gòu)響應(yīng)也是諧波，即使結(jié)構(gòu)存在一定非線性，也能獲得高次諧波，便可消除數(shù)值積分中位移或速度任何相位失真。因此激振頻率等于ω時(shí)，加速度信號可利用傅里葉級數(shù)展開式表示，即

(34)

將實(shí)驗(yàn)獲得加速度信號擬合成式(34)形式可獲得未知系數(shù)An，Bn，進(jìn)而通過積分獲得速度、位移信號表達(dá)式，即

Bncos(nωt)]+C1

(35)

Bncos(nωt)]+C1t+C2

(36)

由于速度、加速度信號均值為0，因此C1=C2=0。以加速度信號為例，用MATLAB擬合工具箱進(jìn)行擬合，所得位移、速度曲線見圖7、8。由兩圖看出，位移數(shù)量級在微米以下，若直接測定結(jié)合部變形非常困難。

圖7　位移時(shí)域曲線(1 270 Hz)Fig.7 Displacement curve in time domain (1 270 Hz)

圖8　速度時(shí)域曲線(1 270 Hz)Fig.8 Velocity curve in time domain (1 270 Hz)

5.2結(jié)合部參數(shù)辨識計(jì)算

導(dǎo)軌結(jié)合部力假設(shè)模型為多項(xiàng)式形式，其中分項(xiàng)須有物理意義，因此假設(shè)

(37)

式中：λ10為線性剛度，λ01為線性阻尼，此兩項(xiàng)為線性連接；λ02為平方阻尼，λ30為立方剛度，此兩項(xiàng)為非線性連接。

據(jù)式(13)，單自由度情況可簡化，并變換到頻域

(38)

將式(37)變換到頻域并代入式(38)，可得最終辨識式，進(jìn)而獲得導(dǎo)軌結(jié)合部在中預(yù)壓、激振力為15 N時(shí)結(jié)合部力的表達(dá)式，即

(39)

由式(39)所得結(jié)合部力模型共三項(xiàng)，按各項(xiàng)在總力中比重依次為線性剛度項(xiàng)、線性阻尼項(xiàng)及平方阻尼項(xiàng)。依次進(jìn)行不同預(yù)壓、激振力的動態(tài)參數(shù)辨識，可得導(dǎo)軌結(jié)合部在不同工況的動力學(xué)參數(shù)。

6結(jié)論

(1)本文提出的結(jié)合子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法受力狀態(tài)映射法，通過將測定頻響函數(shù)過程改進(jìn)為測定結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)過程，不僅保留原方法優(yōu)點(diǎn)，且使實(shí)驗(yàn)過程簡化易行。

(2)用基于TSVD正則化方法的模型迭代修正法進(jìn)行辨識模型修正。數(shù)值仿真中考慮的含所有精確項(xiàng)與冗余項(xiàng)及未含所有精確項(xiàng)模型，辨識參數(shù)與設(shè)定參數(shù)誤差均較小，辨識精度較高。

(3)用改進(jìn)的受力狀態(tài)映射法對導(dǎo)軌結(jié)合部動力學(xué)參數(shù)辨識實(shí)驗(yàn)，獲得非線性力模型。而物理因素及外界條件對結(jié)合部動力學(xué)參數(shù)影響規(guī)律及單一或多個(gè)影響因素變化的連續(xù)辨識方法尚需進(jìn)一步研究。

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Application of an improved force-state mapping method in dynamic parameter identification of joints

LIJin-feng,WANGLi-ping

(Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract:Force-state mapping method is an important method for the parameter identification of nonlinear joints. The method is of attractive features of clear physical meaning and high identification accuracy. However, certain parameters are difficult to measure during actual identification experiments. Aiming at such problem, a force-state mapping method based on substructure modal synthesis method was proposed. Furthermore, an iterative correction method based on the truncated singular value decomposition (TSVD) regularization was proposed to overcome difficulties associated with term-deficiency and term-redundancy, which may occur during the parameter identification process. The simulation results show the high identification accuracy, demonstrated by the small error between corrected and precise models. Finally, the parameter identification of the joints of a rolling guide was carried out experimentally. The experiments verify the effectiveness and correctness of the identification method.

Key words:nonlinear joint; parameter identification; force-state mapping method; TSVD regularization

中圖分類號:TH113

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.003

通信作者王立平 男，博士，教授，1966年5月生

收稿日期：2015-02-09修改稿收到日期：2015-03-26

基金項(xiàng)目：國家杰出青年科學(xué)基金(51225503)

第一作者 李金峰 男，博士生，1987年2月生

E-mail：lpwang@mail.tsinghua.edu.cn