機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)非線性自由振動(dòng)分析

李　沖， 許立忠， 高立超

(燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島　066004)

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機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)非線性自由振動(dòng)分析

李沖， 許立忠， 高立超

(燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島066004)

摘要：設(shè)計(jì)集壓電驅(qū)動(dòng)、諧波傳動(dòng)及活齒傳動(dòng)為一體的機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)，并分析其工作機(jī)理。借鑒行星齒輪傳動(dòng)理論，建立傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。利用Linz Ted-Poincaré法推導(dǎo)傳動(dòng)系統(tǒng)非線性頻率特性方程及位移響應(yīng)方程，分析傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性頻率變化規(guī)律及時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)；通過ANSYS有限元軟件對(duì)頻率進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，傳動(dòng)系統(tǒng)非線性由嚙合齒數(shù)變化引起，嚙合齒數(shù)越少系統(tǒng)非線性越顯著；系統(tǒng)位移響應(yīng)受非線性影響最明顯、微弱的分別為波發(fā)生器x及u向；利用有限元仿真驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

關(guān)鍵詞：壓電諧波電機(jī)；傳動(dòng)系統(tǒng)；非線性；自由振動(dòng)；Linz Ted-Poincaré法

近年來，以形狀記憶合金、電致伸縮材料、磁致伸縮材料及壓電材料主導(dǎo)的智能材料獲得迅速發(fā)展，而其中的壓電材料成為研究焦點(diǎn)[1]。適應(yīng)各場(chǎng)合各類微型壓電驅(qū)動(dòng)裝置層出不窮，Toyama[2]將設(shè)計(jì)的球形壓電超聲電機(jī)作為相機(jī)作動(dòng)器用于管狀探測(cè)機(jī)器人；Jeong等[3]設(shè)計(jì)、制造出用于微型移動(dòng)設(shè)備的三足式薄狀旋轉(zhuǎn)壓電超聲電機(jī)；趙淳生[4]研發(fā)的壓電超聲電機(jī)首次用于“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器，實(shí)現(xiàn)月球完美著陸。

傳統(tǒng)壓電電機(jī)主要靠定轉(zhuǎn)子間摩擦傳遞轉(zhuǎn)矩，存在接觸面磨損嚴(yán)重、壽命短等缺點(diǎn)[5]。非接觸式壓電電機(jī)雖避免摩擦，但承載能力較低[6]。壓電諧波電機(jī)能克服此缺陷，Oliver[7]設(shè)計(jì)出利用諧波齒輪及壓電堆傳動(dòng)、堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩為0.75 Nm的諧波壓電電機(jī)；辛洪兵等[8]利用位移放大機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)出壓電諧波電機(jī)。以上電機(jī)均采用諧波齒輪傳動(dòng)方式，因而對(duì)柔輪材料的抗疲勞強(qiáng)度、加工等要求較高，且該齒輪存在傳動(dòng)比下限值較高等缺陷[9]?；诖?，本文提出既能降低摩擦損耗、增加電機(jī)壽命、又能增大電機(jī)輸出力矩的機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)[10]。該電機(jī)集壓電驅(qū)動(dòng)、活齒傳動(dòng)及諧波傳動(dòng)于一體，通過活齒嚙合取代定、轉(zhuǎn)子間摩擦力驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子。

活齒傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)對(duì)電機(jī)工作性能產(chǎn)生重要影響，目前對(duì)活齒系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究主要集中于擺動(dòng)活齒建模、固有頻率分析及參數(shù)振動(dòng)分析等[11-13]，而對(duì)活齒系統(tǒng)非線性振動(dòng)研究較少。本文對(duì)機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)建模，對(duì)非線性與線性頻率關(guān)系及位移響應(yīng)方程進(jìn)行推導(dǎo)。

1機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)工作原理

機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)見圖1，電機(jī)由驅(qū)動(dòng)、傳動(dòng)系統(tǒng)構(gòu)成，其中驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)包括2個(gè)壓電堆1、2個(gè)彈性體2及擺動(dòng)體3等，傳動(dòng)系統(tǒng)包括波發(fā)生器7、中心輪5、活齒架6、30個(gè)活齒4等。電機(jī)利用位置互成90°方向的兩壓電堆作驅(qū)動(dòng)源。給兩方向壓電堆分別接入峰峰值為150 V相位差π/2且?guī)д玫挠嘞倚盘?hào)后，兩壓電堆產(chǎn)生具有相位差的往復(fù)伸縮變形，通過彈性體及擺動(dòng)體位移的放大作用，波發(fā)生器7邊緣處形成連續(xù)諧波，并產(chǎn)生徑向推力推動(dòng)活齒沿中心輪齒廓滑動(dòng)，帶動(dòng)活齒架轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而使與活齒架固連轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，輸出轉(zhuǎn)矩。

1.壓電堆　2. 彈性體　3. 擺動(dòng)體　4. 活齒　5. 中心輪　6. 活齒架　7. 波發(fā)生器　8. 彈簧圖1　機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)圖Fig.1 An electromechanical integrated harmonic piezo-motor

2傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型見圖2，其中圖2(a)為活齒與各構(gòu)件相對(duì)位移，圖2(b)為系統(tǒng)各構(gòu)件受力。OXY為定坐標(biāo)系，oxy為活齒架坐標(biāo)系，oixiyi為各活齒坐標(biāo)系(i=1,2,…,Z)，角標(biāo)s,c,r,p分別代表波發(fā)生器、中心輪、活齒架及活齒。xj,yj,uj分別為x,y向線位移及圓周向線位移(j=s,c,r,p1,…,pZ)。

圖2　傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of drive system

由圖2(a)知，系統(tǒng)各主構(gòu)件(波發(fā)生器、中心輪、活齒架)相對(duì)活齒位移沿嚙合線方向投影為

式中：φ1i=φi+φ3i，φθi=φi-θi；θi為各構(gòu)件因系統(tǒng)振動(dòng)產(chǎn)生的角位移；φi為第i個(gè)活齒中心及活齒架中心連線與固定坐標(biāo)系X正向夾角；φ3i為波發(fā)生器中心與第i個(gè)活齒中心連線與第i活齒中心與活齒架中心連線夾角。

活齒系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

式中：mj，Ij為各構(gòu)件質(zhì)量及等效質(zhì)量，kg；kj，kjz，kjt分別為活齒與各構(gòu)件嚙合剛度、波發(fā)生器徑向支撐剛度及切向扭轉(zhuǎn)剛度，N/m；rj為各構(gòu)件理論半徑，m；Ts為波發(fā)生器轉(zhuǎn)矩，N·m。

3傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程

機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)矩T隨活齒架轉(zhuǎn)角θ變化見圖3。每經(jīng)過π/435則T出現(xiàn)一次突變。圖3(b)為一個(gè)周期τ=π/435內(nèi)T隨θ變化值，由于T的表達(dá)式較復(fù)雜且為分段形式，故用多項(xiàng)式擬合，即

T1=τ1θ2+τ2θ+τ3, (0≤θ<π/435)

(3)

式中：τ1～τ3為多項(xiàng)式擬合系數(shù)。

為將全部周期轉(zhuǎn)矩T表達(dá)成一個(gè)方程，對(duì)式(3)進(jìn)行傅里葉展開為

(4)

圖3　輸出轉(zhuǎn)矩T隨活齒架轉(zhuǎn)角θ變化Fig.3 Output torque T changes with corner of teeth carrier θ

設(shè)活齒架間相對(duì)旋轉(zhuǎn)角度為δθ，輸出轉(zhuǎn)矩增量為δTr，則轉(zhuǎn)矩Tr在θ=θ0處展開成θ的泰勒級(jí)數(shù)為

Tr=Tr0+δTr=T(θ0)+T′(θ0)δθ+

(5)

活齒架輸出轉(zhuǎn)矩增量為

(6)

活齒與活齒架間嚙合力Frj及嚙合力Frj與輸出轉(zhuǎn)矩T的關(guān)系為

(7)

式中：Sj為固定齒理論齒形向徑。

活齒與活齒架間非線性嚙合剛度為

(8)

(9)

將式(8)、(9)代入式(2)，得矩陣形式的傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程為

(10)

(11)

將式(11)正則化，得非線性自由振動(dòng)正則方程為

(12)

利用Linz Ted-Poincaré法求解式(12)，設(shè)

ΔqN=qN0+εqN1+ε2qN2+…

(13)

(14)

u=u0+εu1+ε2u2+…

(15)

將式(13)、(14)代入式(12)，令ε同次冪項(xiàng)相等，得近似微分方程為

(16)

初始條件為

(17)

解零次方程，得滿足初始條件的解為

(18)

系統(tǒng)正則振型矩陣為AN，由Δq= ANΔqN可得原始坐標(biāo)的ui為

(19)

將式(19)代入式(16)可得一次近似方程組為

(20)

將式(18)代入式(20)，為消除久期項(xiàng)，令cos(ωit)的系數(shù)為0，則有

(21)

將式(21)代入式(20)，得一次近似方程的解為

(22)

將式(19)代入式(16)，得二次近似方程組為

(23)

將式(18)、(21)、 (22)代入式(23)，消除久期項(xiàng)得

(24)

將式(24)代入式(23)，得二次非線性近似解為

(25)

將式(18)、(22)、(25)代入式(13)可得正則坐標(biāo)系下活齒系統(tǒng)時(shí)域位移響應(yīng)，代入q=ANqN可得常坐標(biāo)下位移響應(yīng)。將式(21)、(24)、(25)代入式(14)可得系統(tǒng)非線性自由振動(dòng)頻率與派生系統(tǒng)固有頻率關(guān)系。

4結(jié)果分析

4.1頻率特性分析

取活齒數(shù)30，中心輪波齒數(shù)29，得系統(tǒng)傳動(dòng)比為30。將表1的傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)代入非線性與線性頻率關(guān)系式得傳動(dòng)系統(tǒng)非線性頻率見表2，編號(hào)按軟件計(jì)算結(jié)果順序而非從小到大排列。表2中ω0i及ωi分別為線性與非線性固有頻率；Δωi為非線性與線性頻率差的絕對(duì)值；(Δωi/ω0i×100)為頻率變化率。由于傳動(dòng)中活齒由15齒、16齒交替嚙合，故表2為嚙合齒數(shù)不同時(shí)的頻率值。改變小參數(shù)ε、波發(fā)生器偏移量a、活齒半徑rp及波發(fā)生器半徑rs，得前兩階非線性與線性固有頻率變化量隨參數(shù)變化曲線，見圖4。由表2、圖4可知，①非線性存在使軟件計(jì)算順序所得到一、二階非線性固有頻率大于線性系統(tǒng)固有頻率，三階非線性固有頻率小于線性系統(tǒng)固有頻率；隨階次增加非線性與線性頻率間差值增大，非線性現(xiàn)象增強(qiáng)。16齒嚙合時(shí)非線性頻率與線性頻率間差值大于15齒的頻率差值，即嚙合齒數(shù)越少系統(tǒng)存在的非線性越強(qiáng)。②隨ε增加一、二階非線性與線性頻率變化量增大，系統(tǒng)非線性現(xiàn)象增強(qiáng)。③隨波發(fā)生器偏移量a增大非線性與線性頻率變化量增大，系統(tǒng)非線性增強(qiáng)。因a增加使活齒與各構(gòu)件間嚙合力變大， 嚙合剛度增大， 使系統(tǒng)非線性增強(qiáng)。④各階非線性與線性頻率變化量隨rp及rs變化規(guī)律相同。增加rp或rs，非線性與線性頻率變化量減小。可見一、二階非線性強(qiáng)弱與rp或rs變化成正比，此因活齒與各構(gòu)件間嚙合剛度隨rp或rs增加而減小。

表1　傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)

表2　傳動(dòng)系統(tǒng)非線性頻率

圖4　非線性頻率變化量隨參數(shù)變化Fig.4 Nonlinear frequency variation changes with parameters

4.2位移響應(yīng)分析

將傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)代入q=ANqN所得非線性自由振動(dòng)位移響應(yīng)變化量，見圖5。圖5中選一個(gè)嚙合活齒進(jìn)行分析，而動(dòng)力學(xué)建模時(shí)僅考慮活齒平面運(yùn)動(dòng)忽略轉(zhuǎn)動(dòng)，只求得Δxp1及Δyp1的響應(yīng)；位移響應(yīng)變化量指總響應(yīng)減去零次響應(yīng)所得。由圖5看出，①波發(fā)生器非線性自由振動(dòng)位移響應(yīng)變化量表現(xiàn)為Δxs及Δys值較大，轉(zhuǎn)動(dòng)位移變化量Δus較小；中心輪三方向位移變化量Δxc、Δyc、Δuc均較??；活齒架Δur大于Δxr及Δyr；所選1號(hào)嚙合活齒Δxp1及Δyp1均較大，且Δyp1>Δxp1。②各位移變化量中波發(fā)生器及活齒架位移變化量隨時(shí)間變化較穩(wěn)定，振幅變化周期性較強(qiáng)；中心輪、活齒位移變化量隨時(shí)間變化周期性較紊亂，振幅變化規(guī)律性不強(qiáng)，易使傳動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)隨機(jī)振動(dòng)，致傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)行不穩(wěn)定。③系統(tǒng)位移變化量最大幅值出現(xiàn)在Δxs中，最小幅值出現(xiàn)在Δus中。原因?yàn)椴òl(fā)生器為活齒傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力輸入構(gòu)件，且動(dòng)力來自波發(fā)生器在兩相互垂直方向擺動(dòng)形成的諧波，非波發(fā)生器轉(zhuǎn)動(dòng)形成的諧波，故x,y方向力較大，u方向轉(zhuǎn)矩較小。

圖5　非線性自由振動(dòng)位移響應(yīng)變化量Fig.5 The displacement variation of nonlinear free vibration

5頻率仿真驗(yàn)證

圖6　傳動(dòng)系統(tǒng)有限元模型(mm)Fig.6 FEM model of drive system(mm)

用ANSYS有限元軟件對(duì)活齒傳動(dòng)系統(tǒng)固有頻率進(jìn)行仿真計(jì)算。系統(tǒng)有限元模型見圖6。建模時(shí)使活齒參與嚙合個(gè)數(shù)調(diào)整為16齒，網(wǎng)格尺寸1 mm，對(duì)中心輪施加固定約束。參與嚙合齒數(shù)不同時(shí)各構(gòu)件所受嚙合力會(huì)變化，活齒系統(tǒng)始終在15、16齒間等時(shí)交替變化，固有頻率也會(huì)等時(shí)交替變化。本文選16齒嚙合瞬時(shí)求解與分析。將部分模態(tài)計(jì)算結(jié)果與表2中16齒時(shí)非線性頻率值對(duì)比，所得理論頻率與仿真頻率對(duì)比值見表3，有限元振型見圖7。由表3、圖7看出，表2中16齒嚙合的理論計(jì)算頻率在有限元仿真結(jié)果中均能找到對(duì)應(yīng)值，且3階頻率中理論值與仿真值間最大誤差為3.92%，從而驗(yàn)證本文動(dòng)力學(xué)模型及動(dòng)力學(xué)方程求解的正確性。由圖7知，固有頻率為57 724 Hz時(shí)對(duì)應(yīng)的主振型為中心輪徑向癟曲振動(dòng)；頻率為40 463 Hz時(shí)主振型為波發(fā)生器與活齒架彎曲振動(dòng)；頻率為30 274 Hz時(shí)主振型為波發(fā)生器扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

圖7　有限元仿真振型圖(mm)Fig.7 FEM vibration mode(mm)

ω1ω2ω3理論值/Hz555493966430427仿真值/Hz577244046330274誤差/%3.922.010.50

6結(jié)論

通過所建機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程，采用Linz Ted-Poincaré法對(duì)非線性自由振動(dòng)固有頻率、位移響應(yīng)進(jìn)行求解，結(jié)論如下：

(1) 傳動(dòng)系統(tǒng)非線性根源由嚙合齒數(shù)變化引起，嚙合齒數(shù)越少系統(tǒng)非線性越顯著；小參數(shù)ε及波發(fā)生器偏移量a對(duì)系統(tǒng)非線性頻率影響較大；系統(tǒng)位移響應(yīng)受非線性影響最明顯、最微弱的分別為波發(fā)生器Δxs及Δus向。

(2) 由ANSYS有限元仿真驗(yàn)證本文固有頻率求解的正確性。研究結(jié)果可為機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)參數(shù)設(shè)計(jì)及提高性能奠定理論基礎(chǔ)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Liu Xiu-juan, Zhou Ke-chao, Zhang Xiao-yong, et al. Development, modeling and application of piezoelectric fiber composites[J]. Transactions of Nonferrous Metals Society of China (English Edition), 2013, 23(1): 98-107.

[2] Shigeki T. Spherical ultrasonic motor for pipe inspection robot[J]. Applied Mechanics and Materials, 2012, 186: 3-11.

[3] Jeong S, Cheon S, Park J, et al. Design and fabrication of three touch point thin ultrasonic rotary motor[J]. Ferroelectrics, 2014, 459(1): 143-152.

[4] 趙淳生. 南航助“嫦娥”完美登月[N]. 中國(guó)教育報(bào), 2013-12-18(8).

[5] 邢繼春,許立忠,梁永麗. 旋轉(zhuǎn)式慣性壓電電機(jī)的振子模型研究[J]. 振動(dòng)與沖擊，2010, 29(11): 105-109.

XING Ji-chun, XU Li-zhong, LIANG Yong-li. A vibrator model for a piezoelectric motor with rotary inertia[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(11): 105-109.

[6] 季葉,趙淳生. 一種具有高轉(zhuǎn)速的新型非接觸式超聲電機(jī)[J]. 壓電與聲光, 2006, 28(5): 527-529.

JI Ye, ZHAO Chun-sheng. A new type non-contact ultrasonic motor with higher revolution speed[J]. Piezoelectrics & Acoustooptics, 2006, 28(5): 527-529.

[7] Oliver B. Harmonic piezodrive-miniaturized servo motor[J]. Mechatronics, 2000, 10(4): 545-554.

[8] 辛洪兵,鄭偉智. 壓電諧波電機(jī)的研究[J]. 壓電與聲光, 2004, 26(2): 122-125.

XIN Hong-bing, ZHENG Wei-zhi. Study on harmonic piezomotor[J].Piezoelectrics & Acoustooptics,2004,26(2):122-125.

[9] 王長(zhǎng)明,陽培,張立勇. 諧波齒輪傳動(dòng)概述[J]. 機(jī)械傳動(dòng), 2006, 30(4): 86-88.

WANG Chang-ming, YANG Pei, ZHANG Li-yong.Summary of status on the harmonic gear driving technology[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2006, 30(4): 86-88.

[10] Li Chong, Xing Ji-chun, Xu Li-zhong. Coupled vibration of driving sections for an electromechanical integrated harmonic piezodrive system[J]. AIP Advances,2014,4(3):031320.

[11] 梁尚明,張均富,徐禮鉅,等. 擺動(dòng)活齒傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2003, 16(3): 285-289.

LIANG Shang-ming, ZHANG Jun-fu, XU Li-ju, et al. Dynamic model of swing movable teeth transmission system vibration[J]. Journal of Vibration Engineering,2003,16(3): 285-289.

[12] 張鵬,安子軍. 擺線鋼球行星傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)建模與固有特性分析[J]. 中國(guó)機(jī)械工程, 2014, 25(2): 157-162.

ZHANG Peng, AN Zi-jun. Dynamics model and natural characteristics of cyloid ball planetary transmission[J]. China Mechanical Engineering, 2014, 25(2): 157-162.

[13] 安子軍,張鵬,楊作梅. 擺線鋼球行星傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)振動(dòng)特性研究[J]. 工程力學(xué), 2012, 29(3): 244-251.

AN Zi-jun, ZHANG Peng, YANG Zuo-mei. Research on properties for parametric vibration of cycloid ball planetary transmission system[J].Engineering Mechanics,2012,29(3):244-251.

Nonlinear free vibration of driving system of an electromechanical integrated harmonic piezoelectric motor

LIChong,XULi-zhong,GAOLi-chao

(School of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Abstract:An electromechanical integrated harmonic piezoelectric motor which integrates piezoelectric driving, harmonic driving and movable tooth driving was designed and the working principle of the motor was discussed. Referencing the theory of planetary gear transmission, a dynamic model for the driving system was set up. Utilizing Linz Ted-Poincaré method, the equations of frequency characteristic and displacement response were deduced. The frequency variation and the characteristic of time response were analyzed. The ANSYS finite element software was applied to verify the frequencies provided. The results show, the nonlinearity of the driving system is caused by the changing of meshing teeth number during running conditions, and the fewer the meshing teeth number, the more obvious the nonlinear phenomenon of the driving system. The displacement response in the x direction of harmonic generator is the most affected by nonlinear phenomenon and that in the u direction is the least affected. A finite element simulation verifies the correctness of the dynamic model.

Key words:harmonic piezoelectric motor; driving system; nonlinear; free vibration; Linz Ted-Poincaré method

中圖分類號(hào):TH113.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.002

通信作者許立忠 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1962年1月生

收稿日期：2015-01-23修改稿收到日期：2015-05-22

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51275441);河北省研究生創(chuàng)新資助項(xiàng)目(00302-6370001)

第一作者 李沖 男，博士生，1988年6月生