淺析與圓交匯的幾類問題

?

淺析與圓交匯的幾類問題

鄭玉梅

(江蘇省揚州市邗江區(qū)公道中學，225119)

直線與圓是幾何的基礎,解決此類問題常運用數(shù)形結合的思想方法．本文通過對與圓相關的幾類典型問題的求解，探索其中隱含的一般規(guī)律，以期拋磚引玉.

一、與圓有關的最值問題

例1在平面直角坐標系中,A、B分別是x軸和y軸上的動點,若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為______.

解法1∵∠AOB=90°,∴O在圓C上,求圓C面積的最小值,等價于求圓半徑的最小值r0．

如圖1，設直線2x+y-4=0與圓C相切于點H,則有CO+CH≥OH(當且僅當O、C、H三點共線時取等號),即OH與2x+y-4=0垂直時圓C的半徑取最小值，有2r0=OH.

解法2設直線2x+y-4=0與圓C相切于點H,則點C到點O的距離等于C到直線2x+y-4=0的距離,∴點C在以O為焦點,以直線2x+y-4=0為準線的拋物線上，C為拋物線頂點時圓C半徑取最小值r0.

由于O到直線2x+y-4=0的距離

評注此題是與圓有關的面積最值問題,上述解題思路均是利用圓的幾何性質將問題轉化,熟練掌握圓的幾何性質是根本．

二、與圓有關的參數(shù)范圍問題

例2已知過點P(m,2)作直線l與圓O:x2+y2=1交于A,B兩點,且A為線段PB的中點,則m的取值范圍為______.

分析1此處P、A都是動點,若先固定P,將P放在直線上較遠的地方,作直線與圓相交,直線越靠近圓的邊緣,弦AB越短,PA、AB不可能相等；將AB向圓心靠近,AB變長(最長是直徑),故點P不會離圓心很遠，將點P沿直線靠近圓,不難找出臨界位置.

解法1∵A是PB的中點,圓x2+y2=1的直徑是2,由題意,PA=AB對AB∈(0,2]有解,∴PA≤(AB)max=2(PA取最小值時AB為直徑,P、O、A三點共線，如圖2、3).

由PA≤2,得點P到原點距離小于等于3,因此有

m2+4≤9,

分析2從代數(shù)角度考慮,設點,轉化為方程有解問題．

解法2設A(x1,y1),B(x2,y2),

∵A是PB的中點,

即x2=2x1-m,y2=2y1-2.

∵A(x1,y1),B(x2,y2)在圓x2+y2=1上,

兩式相減,得AB方程為:

4mx1+8y1-m2-7=0.

因為直線AB與圓有交點,所以d≤r,即

∴m4-2m2-15≤0,

∴(m2-5)(m2+3)≤0，

評注此題將參數(shù)范圍問題轉化為直線與圓的位置關系問題.解法2突出了用代數(shù)方法研究幾何問題的思路,體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要數(shù)學思想方法．本題還可以通過拓展訓練,將定直線改成圓,A是PB的中點改成PA=2AB等,提出如下變式引導學生思考.讓學生通過變化的背景,探求這類問題的本質特征,運用數(shù)形結合的思想分析和解決問題,由

數(shù)思形,以形想數(shù)．

變式1若存在點P(m,2),使過點P所作直線l與圓O：x2+y2=1交于A、B兩點，且PA=2AB,求m的范圍.

變式2若圓C2:(x-3)2+(y-4)2=m2上存在點P,使得過P的直線與圓O：x2+y2=1依次交于A、B,且滿足PA=2AB,求m的范圍.

三、圓與不等式的交匯問題

例3設m,n∈R,若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切,則m+n的取值范圍是______．

簡解因為直線與圓相切,所以

即1+m+n=mn.

于是有

解之得

評注圓與不等式的交匯實質上反映了圓的獨特性質,即圓內點、圓外點的性質;直線與圓相交、相離的性質;圓與圓的相交、相離的性質等,這些問題反映在代數(shù)上就是不等式的性質.此題以直線與圓的位置關系給出參數(shù)之間的數(shù)量關系,利用基本不等式轉化,題意新穎獨特,既調動了學生學習的積極性和主動性,又使得“過程、結論并重，知識、能力、思想方法并重”．

總之,處理直線與圓、圓與圓的位置關系問題,一般均可以從代數(shù)角度(方程解的個數(shù))或幾何角度(圓心到直線的距離、兩圓的圓心距等)去考慮,充分體現(xiàn)了“形”的直觀性和“數(shù)”的嚴謹性．