讓解題錯誤成為一種再生資源——以數(shù)列教學為例

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讓解題錯誤成為一種再生資源
——以數(shù)列教學為例

姚華琴

(江蘇省黃埭中學,215143)

數(shù)學學習離不開數(shù)學解題,學生在解題過程中難免會發(fā)生錯誤．美國心理學家桑代克說過:“學習的過程是一種漸進的嘗試錯誤的過程．”錢學森也說過,正確的結(jié)果是從大量的錯誤中得出來的,沒有大量的錯誤作臺階,也就登不上正確結(jié)果的高臺．如何讓學生在錯誤中成長,讓解題錯誤成為一種寶貴的再生資源，教師首先要讀懂學生的錯誤,再利用糾錯的機會去引導(dǎo)學生走出錯誤的沼澤地．用引申、聯(lián)想、歸納等手段借題發(fā)揮,正確引導(dǎo),避免就題論題,讓學生的“解題錯誤”轉(zhuǎn)化為課堂教學的有效資源．這樣也有利于完善認知結(jié)構(gòu),深化思維過程,從而增強和提高解題能力．

一、 善待偏差,順勢遷移

差錯人皆有之,學生在學習中難免存在一定的偏頗、缺陷和失誤,教師要善待學生的錯誤,盡可能挖掘“錯解”中的合理成分,因勢利導(dǎo),糾正錯誤,拓展知識內(nèi)涵,激發(fā)學生的學習興趣．

錯解1設(shè)Sn=2n+1,Tn=3n+4,求得a8=S8-S7=2,b8=T8-T7=3,從而

鏈接(1)利用通項與和項的關(guān)系,結(jié)合等差中項，可得

通過正確的引導(dǎo)與拓展讓學生掌握知識的本質(zhì),解題應(yīng)注意刪繁就簡,利用整體思想,使學生的洞察能力和應(yīng)變能力得到培養(yǎng)．

二、 舉一反三,合理聯(lián)想

前事不忘，后事之師.把自己的錯誤教訓(xùn)當成一面鏡子,認真糾正錯題,總結(jié)歸類，從一個錯誤中汲取教訓(xùn),避免一類錯誤的發(fā)生．

例2已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a6=8,求a4.

剖析沒有考慮等比數(shù)列偶數(shù)項應(yīng)同號,a4僅一解,即a4=4.

變式1{an}是等比數(shù)列,判斷數(shù)列{an+an+1},{an+an+2}是否為等比數(shù)列?

錯解 {an+an+1},{an+an+2}都是等比數(shù)列.

剖析 {an+an+1}不一定是等比數(shù)列.an+an+1=a1qn-1(1+q),當q=-1時不是等比數(shù)列;an+an+2=a1qn-1(1+q2),由于1+q2≠0,所以{an+an+2}為等比數(shù)列.

變式2 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,a2=3,b2=3,且a4=b3,b4-b3=m,若數(shù)列{bn}唯一,求m的值.

通過對等比數(shù)列隱含條件的挖掘,利用變式問題,使學生進一步明確定理、公式和法則的條件、結(jié)論以及試用范圍,讓學生的邏輯推理論證能力和演算能力得到培養(yǎng)．

三、回歸定義,避免討論

數(shù)學定義以及基本原理是數(shù)學知識再生之源,蘊含特定的數(shù)學思想方法．對于一些數(shù)學問題,若從最基本的知識點入手,回歸定義,可以優(yōu)化解題過程．

對于涉及等比數(shù)列前n項和的問題,若能直接運用已知條件中各個量的關(guān)系求解,既可避免分類討論,又可使問題得到靈活解決．

四、特殊到一般,合理過渡

例4設(shè)a1,a2,…,an是等比數(shù)列(n≥4),且公比q不等于1,將此數(shù)列刪去一個數(shù)后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列,當n=4時,求正數(shù)q的值.

剖析錯解1只考慮了a1,a2,a4成等比數(shù)列;錯解2只考慮了a1,a3,a4成等比數(shù)列;錯解3只考慮了第一種情況又沒有注意到條件“四個正數(shù)”中隱含了公比為正數(shù)．

鏈接當n=5,6時q的值為什么?滿足條件的n的所有可能值為什么?

剖析n=5時,只能刪去a3,由a1,a2,a4,a5構(gòu)成等差數(shù)列,a1+a5=a2+a4,即q4+1=q+q3,因式分解為(q-1)2(q2+q+1)=0,而q2+q+1=0無實數(shù)解,q=1又要舍去,所以n=5不合適．當n≥6時,不論刪去哪一項,都會出現(xiàn)原數(shù)列中連續(xù)的三項,由三項既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,則q=1,所以滿足條件的所有n的值為4.

從特殊到一般的思想方法是數(shù)列中最基本的思想方法．在解題過程中,首先要學會觀察問題,其次分析各個量之間的關(guān)系,盡可能地將問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題．在研究一般問題“滿足條件的n的所有可能值”時,由已經(jīng)解決的特殊情況n=4出發(fā),情況不明朗時再研究特殊情況n=5,6,研究完特殊情況后,一般情況n的所有可能值也就柳暗花明了．

在教學中,教師要根據(jù)自己的教學經(jīng)驗,重視那些容易出錯的知識點,做到未雨綢繆,即使學生出現(xiàn)了解題錯誤,也要采取合適的方式進行處理,讓錯誤成為一種再生資源．只要能找準教學的著力點,針對學生的錯誤,分析原因,查漏補缺,尋找對策,引申拓展,一定能提高學生的解題能力和數(shù)學素養(yǎng)．