基于代理模型方法的串列泵優(yōu)化設(shè)計(jì)

趙宇, 王國玉, 黃彪, 王復(fù)峰

(北京理工大學(xué) 流體機(jī)械工程研究所，北京 100081)

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基于代理模型方法的串列泵優(yōu)化設(shè)計(jì)

趙宇, 王國玉, 黃彪, 王復(fù)峰

(北京理工大學(xué) 流體機(jī)械工程研究所，北京 100081)

摘要：針對葉輪機(jī)械傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)周期長、優(yōu)化效率低等不足，提出了一種基于代理模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并應(yīng)用于串列泵的優(yōu)化設(shè)計(jì)，分析了關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)對串列泵性能的影響。選擇首、次級葉輪葉片安放角和相位角作為優(yōu)化參數(shù)，選擇效率和最小軸向截面平均壓力系數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，用來表示串列泵的外特性和空化特性。采用不同的方法建立代理模型，并采用敏感度分析方法和Pareto front方法進(jìn)行參數(shù)影響分析和最優(yōu)點(diǎn)的選取。采用數(shù)值計(jì)算的方法對優(yōu)化后的串列泵外特性和空化特性進(jìn)行驗(yàn)證，得到結(jié)論如下：提出的方法可以較好地應(yīng)用于串列泵的優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果表明串列泵設(shè)計(jì)流量附近的效率和空化性能均得到提升。首、次級葉輪相位角對串列泵性能影響較??；首、次級葉輪葉片安放角對串列泵效率的敏感度之比和設(shè)計(jì)的載荷之比相同，首級葉輪葉片安放角是串列泵的空化特性的主要影響因素。

關(guān)鍵詞：軸流泵；串列葉柵；系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)；代理模型方法；空化特性

串列葉柵是指多排葉柵直接相連的布置方式，具有靈活的氣動特性，目前在航空發(fā)動機(jī)[1-3]和水下螺旋槳推進(jìn)中[4-5]已經(jīng)得到應(yīng)用。串列泵是一種采用串列葉柵布置的泵，和普通的雙級泵相比，由于減少一級導(dǎo)葉而顯著減小泵級的軸向尺寸和質(zhì)量，從而使得串列泵具有結(jié)構(gòu)緊湊和功率密度高的特點(diǎn)；又由于兩級動葉輪直接串聯(lián)，前后級葉輪流動的相互作用會導(dǎo)致前后級葉輪流場變化，因此串列泵具有特殊的能量特性[6-7]。對于傳統(tǒng)泵來說，效率和空化性能不可兼得[8]，而串列泵通過調(diào)整前后葉柵的載荷分配可以兼顧效率和空化性能[9-10]。盡管串列泵具有上述諸多優(yōu)點(diǎn)，但與傳統(tǒng)泵相比，其優(yōu)化設(shè)計(jì)過程需要考慮更多的參數(shù)，因此更為復(fù)雜。王立祥等[10-11]采用實(shí)驗(yàn)方法對串列泵進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，分步順序處理不同設(shè)計(jì)參數(shù)對整體性能的影響，該優(yōu)化設(shè)計(jì)過程具有周期長，并且無法得到各設(shè)計(jì)參數(shù)的影響權(quán)重等缺點(diǎn)。

系統(tǒng)優(yōu)化方法和敏感度分析方法的發(fā)展推動了準(zhǔn)確高效的現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法的進(jìn)步，Shyy等[13]提出了一種基于代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并較好地應(yīng)用于解決航空動力學(xué)以及火箭燃料推進(jìn)問題。和傳統(tǒng)的優(yōu)化方法相比，基于代理模型的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法具有以下優(yōu)點(diǎn)[14]：可以同時(shí)處理由多種不同方法獲得的數(shù)據(jù)，例如實(shí)驗(yàn)結(jié)果或仿真結(jié)果；可以同時(shí)考慮多個(gè)設(shè)計(jì)變量對結(jié)果的影響，不用對每個(gè)變量進(jìn)行單獨(dú)分析；可以處理存在多個(gè)最優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)化問題；提供多種準(zhǔn)則的優(yōu)化過程而且可以有效過濾實(shí)驗(yàn)或仿真結(jié)果中固有的噪聲?；诖砟Ｐ偷膬?yōu)化設(shè)計(jì)方法在航空動力學(xué)中已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用。John S等[15]應(yīng)用系統(tǒng)優(yōu)化方法對離心泵葉片的優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明系統(tǒng)優(yōu)化方法可以快速收斂并且優(yōu)化結(jié)果良好。 Zhang等[16]采用多目標(biāo)優(yōu)化方法設(shè)計(jì)軸流式多相流泵，結(jié)果表明泵級壓增上升10%的同時(shí)效率可以提升約3%。 J. Fan等[17]采用基于代理模型的方法對射流泵進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明射流泵的效率增加4%的同時(shí)輸入功率可以減小20%以上。此外，J H Kim[18]，Mustafa G?lcü等[19]也分別采用系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對水力機(jī)械進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文采用了基于代理模型的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，對一串列泵進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用計(jì)算流體動力學(xué)方法(computational fluid dynamics, CFD)來獲取數(shù)據(jù)，建立了代理模型，對設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并進(jìn)一步分析了首、次級葉輪進(jìn)口安放角度和相位角等關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)對串列泵性能參數(shù)的影響。

1系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法流程主要包含實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、數(shù)值實(shí)驗(yàn)、代理模型的建立和驗(yàn)證等過程。

1.1實(shí)驗(yàn)點(diǎn)設(shè)計(jì)

在實(shí)驗(yàn)點(diǎn)設(shè)計(jì)中，通過設(shè)計(jì)方法選定實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。然后采用數(shù)值計(jì)算的方法獲取每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)據(jù)，進(jìn)而建立代理模型。

在建立代理模型之前，目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系是未知的，一般采用較為簡單的隨機(jī)分布方法。如果考慮到數(shù)值實(shí)驗(yàn)的計(jì)算成本，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)需要被控制，可以采用更復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布方法，例如拉丁超立方分布方法(Latin hypercube sampling, LHS)，該方法是一種受約束的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)設(shè)計(jì)方法,首先將設(shè)計(jì)空間的每個(gè)坐標(biāo)軸區(qū)間等分成互不重疊的子區(qū)間，然后在每個(gè)因素的每個(gè)子區(qū)間內(nèi)只進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布[25]。在本次研究中，在基于LHS方法的同時(shí)采用面心分布方法(face-centered composite design, FCCD)[25]設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。FCCD方法在設(shè)計(jì)空間的面心和頂點(diǎn)位置布置實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，用來保證設(shè)計(jì)空間邊界附近實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)目。

1.2代理模型

對于不同的問題，應(yīng)當(dāng)采用不同的方法建立代理模型并進(jìn)行比較，從而得到最好的方法。本文分別采用多項(xiàng)式法(polynomial response surface, PRS)[26]，克里金法(Kriging, KRG)[27]和徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法(radial-based neural network, RBNN)[13]建立代理模型，并比較不同代理模型預(yù)測結(jié)果的差異。

1.2.1多項(xiàng)式響應(yīng)面法

在多項(xiàng)式方法中，假設(shè)目標(biāo)函數(shù)是若干個(gè)設(shè)計(jì)變量多項(xiàng)式的線性組合：

(1)

式中：βi是系數(shù)矩陣。對于大多數(shù)工程問題，二階多項(xiàng)式擬合精度均可達(dá)到工程需求，同時(shí)考慮計(jì)算成本，本文中采用二階多項(xiàng)式方法。

1.2.2克里金法

克里金法是全局模型和局部偏差的組合，該方法假設(shè)局部偏差只與考察對象位置之間的距離有關(guān)：

(2)

(3)

式中：Ndv表示設(shè)計(jì)變量的維數(shù)，σ是實(shí)驗(yàn)點(diǎn)響應(yīng)值的標(biāo)準(zhǔn)差，φk是衡量k方向上相關(guān)性的參數(shù)。

1.2.3徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

在徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法中，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)為單輸出，它是一種三層(輸入層，隱含層，輸出層)前向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，隱含層有一組單元節(jié)點(diǎn)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)均有一個(gè)稱作中心的參數(shù)矢量，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)輸入矢量與中心參數(shù)矢量間的歐氏距離，而后通過一非線性函數(shù)映射，將結(jié)果傳遞輸出層；而輸出層對隱含層各節(jié)點(diǎn)的輸出函數(shù)值作線性組合。

目標(biāo)函數(shù)可以表示為

(4)

(5)

式中：‖si-x‖是權(quán)重函數(shù)和輸入量之間的矢量距離，α是歸一化參數(shù)。

1.3模型驗(yàn)證

為了選取合適的模型來進(jìn)行問題分析，需要建立統(tǒng)一的誤差分析方法來評價(jià)模型的精度。常見的模型驗(yàn)證方法有分割驗(yàn)證，交叉驗(yàn)證，自助驗(yàn)證法等，本文采用的是交叉驗(yàn)證[28]。

交叉驗(yàn)證建立在分割驗(yàn)證的基礎(chǔ)上將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分成k個(gè)子集(k階)，然后選定一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用其他的所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)來建立代理模型，利用該組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，然后選擇另一組實(shí)驗(yàn)，重復(fù)建模-驗(yàn)證過程。該方法需要建立k次代理模型，然后對k次模型驗(yàn)證的結(jié)果進(jìn)行平均，從而得到交叉驗(yàn)證的最終結(jié)果。交叉驗(yàn)證方法的優(yōu)點(diǎn)是幾乎能提供無偏的誤差估計(jì)，而且由于每個(gè)點(diǎn)都被使用一次來進(jìn)行驗(yàn)證，所以交叉驗(yàn)證能大大減小預(yù)測誤差的方差。本文采用一階交叉驗(yàn)證方法，其衡量參數(shù)PRESS(predictionerrorsumofsquares)：

(6)

1.4敏感度分析

采用代理模型獲取自變量和目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系之后，可以進(jìn)行敏感度分析，敏感度分析可以直觀體現(xiàn)自變量和目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系，在各工程領(lǐng)域獲得廣泛的應(yīng)用。本文采用的敏感度分析方法是Sobol方法[29]。

(7)

各項(xiàng)的平方在標(biāo)準(zhǔn)空間的積分為對應(yīng)的變化量：

(8)

定義整體變化量如下：

(9)

從而可以定義對于變量xi的局部敏感度如下：

(10)

全局敏感度如下：

(11)

2基于代理模型的串列泵優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1問題建立

本文研究對象是一個(gè)基于奇點(diǎn)分布法設(shè)計(jì)的串列泵[9]，設(shè)計(jì)流量為0.461m3/s，設(shè)計(jì)揚(yáng)程為13.8m(首級葉輪設(shè)計(jì)揚(yáng)程為5.5m，次級葉輪設(shè)計(jì)揚(yáng)程為8.3m)，設(shè)計(jì)效率為83.7%。表1給出了串列泵首、次級葉輪的基本參數(shù)。串列泵三維幾何模型如圖1所示。

表1　串列泵首、次級葉輪基本參數(shù)

圖1　串列泵三維幾何模型Fig. 1　3D geometry model of tandem pump

與普通軸流泵相比，串列式軸流泵的性能影響參數(shù)增多，其中較為顯著的是葉片的安放角，同時(shí)考慮串列泵的兩級葉輪直接連接，首、次級葉片的相對周向位置可能會對串列泵的性能產(chǎn)生影響，所以選擇首、次級葉輪安放角，首、次級葉輪相位角作為設(shè)計(jì)變量。圖2分別給出了3個(gè)設(shè)計(jì)變量的示意圖。在圖2(a)、(b)中，三排葉柵分別表示首次級葉輪和導(dǎo)葉；在圖2(c)中導(dǎo)葉段被省略，兩排葉柵分別表示首次級葉輪。表2列出了本次優(yōu)化過程的設(shè)計(jì)變量及其變化范圍。

圖2　設(shè)計(jì)變量示意圖Fig. 2　Schematic concept of design variables

設(shè)計(jì)變量最小值/(°)初始值/(°)最大值/(°)首級葉輪安放角-50+5次級葉輪安放角-50+5相位角-300+30

選擇效率作為串列泵能量性能的衡量參數(shù)。對于空化性能，考慮到首級葉輪內(nèi)部首先發(fā)生空化，選擇首級葉輪內(nèi)部最小軸向截面平均壓力作為空化性能衡量參數(shù)，據(jù)此，定義最小軸向截面平均壓力系數(shù)如下

(12)

式中：pav,min是最小軸向截面平均壓力；p∞是環(huán)境壓力；U∞是串列泵進(jìn)口軸向速度。在本文的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，原始模型的效率和最小軸面平均壓力系數(shù)的取值分別為83.7%、-1.43。

2.2實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

圖3　設(shè)計(jì)空間中實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布Fig. 3　Experimental points in design space

考慮實(shí)驗(yàn)成本，在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)過程中，采用拉丁超立方分布和面心分布相結(jié)合的方法共選取45個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，圖3給出了設(shè)計(jì)空間中實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的分布情況。

2.3數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本次優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)值計(jì)算方法獲得實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，即串列泵的效率和全沾濕條件下首級葉輪內(nèi)部最小截面平均壓力系數(shù)，數(shù)值方法如下。

2.3.1控制方程

連續(xù)性方程和動量方程如下

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：αnuc是空化核子的體積分?jǐn)?shù)，取值為5×10-4；RB是空泡直徑，取值為1×10-6m；pv是飽和蒸汽壓，取值為3 169 Pa；Cdest、Cprod分別為凝結(jié)和蒸發(fā)系數(shù)，取值為50和 0.01。

2.3.2湍流模型

對于全沾濕流動和空化流動，均采用濾波器湍流模型[30]封閉上述方程組，在濾波器湍流模型中，采用和標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型相一致的k方程和ε方程采用的標(biāo)準(zhǔn)方程形式。其湍流粘性μt定義如下

(18)

式中：F為濾波函數(shù)，由濾波尺寸λ和湍流特征長度的比值決定：

(19)

在標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型中加入濾波函數(shù)后，對尺度小于濾波器尺寸的湍流，采用標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型計(jì)算來求解，對尺度大于濾波器尺寸的湍流結(jié)構(gòu)，采用直接計(jì)算方法來求解。本文計(jì)算采用ANSYS-CFX 12.1商業(yè)計(jì)算軟件，通過二次開發(fā)將上述的FBM模型引入，濾波尺寸選擇最小網(wǎng)格尺寸的1.5倍。

2.3.3網(wǎng)格和邊界條件設(shè)置

采用全結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分串列泵內(nèi)部流場。為了提高網(wǎng)格質(zhì)量，將整個(gè)計(jì)算域分成4個(gè)部分，分別為入口段、首級葉輪、次級葉輪和導(dǎo)葉段。不同部分采用不同的網(wǎng)格劃分方法：入口段采用商業(yè)軟件ANSYS-ICEM 12.1商業(yè)軟件劃分流場網(wǎng)格，首級葉輪、次級葉輪和導(dǎo)葉段采用商業(yè)軟件ANSYS-TurboGrid 12.1劃分流場網(wǎng)格，導(dǎo)水錐和葉片周圍采用O型網(wǎng)格；近壁面進(jìn)行加密，保證y+=ρlΔyuτ/μl≈1(其中Δy為距離壁面最近一層網(wǎng)格厚度，uτ為壁面摩擦速度)。輪緣間隙內(nèi)包含10個(gè)節(jié)點(diǎn)。

為了驗(yàn)證網(wǎng)格對結(jié)果的影響，對不同節(jié)點(diǎn)數(shù)的網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算。圖4給出了網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)目和串列泵能量參數(shù)之間的關(guān)系，從圖中可以看出，效率和揚(yáng)程系數(shù)在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為2.21×106后基本不變。綜合考慮計(jì)算的精度和經(jīng)濟(jì)性，最終確定的計(jì)算網(wǎng)格總節(jié)點(diǎn)數(shù)為2.21×106。圖中，揚(yáng)程系數(shù)和效率定義為

(20)

(21)

式中：H為串列泵揚(yáng)程，P為串列泵軸功率。

圖4　網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證Fig. 4　Effect of grid refinement

計(jì)算域的進(jìn)口采用總壓進(jìn)口條件；出口設(shè)置質(zhì)量流量出口條件；固壁采用無滑移邊界條件；壁面函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)壁面函數(shù)；動葉輪和靜葉輪交接面類型選擇Stage界面，動葉輪之間的交接面類型選擇Frozen Rotor界面。通過監(jiān)測各參量的殘差精度來確定計(jì)算的收斂性，收斂標(biāo)準(zhǔn)是10-4。對于空化流動計(jì)算，通過調(diào)節(jié)不同的進(jìn)口壓力獲得不同的裝置有效空化余量取值；出口設(shè)置質(zhì)量流量條件。計(jì)算采用相同的網(wǎng)格和邊界條件，以全沾濕工況計(jì)算結(jié)果為初始值，進(jìn)行迭代計(jì)算，通過監(jiān)測各參量的殘差精度來確定計(jì)算的收斂性，收斂標(biāo)準(zhǔn)是10-4。

2.3.4計(jì)算方法驗(yàn)證

利用上述計(jì)算方法針對一個(gè)比轉(zhuǎn)速為ns=700的單級軸流泵的外特性和設(shè)計(jì)流量下的空化特性進(jìn)行預(yù)測。圖5給出了計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比情況。從圖中可以看出，本文所采用的計(jì)算方法可以很好地預(yù)測該軸流泵的外特性和空化特性。

(a)外特性　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)空化特性圖5　單級泵外特性和空化特性曲線Fig. 5　Performances of a single stage pump

2.4模型建立及驗(yàn)證

通過數(shù)值計(jì)算可以獲得不同實(shí)驗(yàn)點(diǎn)即不同模型泵的效率和首級葉輪內(nèi)部最小軸截面平均壓力系數(shù)。根據(jù)計(jì)算所得的目標(biāo)函數(shù)值，分別采用二階多項(xiàng)式法，克里金法和徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法建立代理模型。 圖6給出了3種代理模型的三維等值面分布圖，3個(gè)坐標(biāo)軸分別表示3個(gè)設(shè)計(jì)變量，不同顏色對應(yīng)于不同的目標(biāo)函數(shù)取值。

從圖中可以看到，采用二階多項(xiàng)式法和克里金法建立的代理模型預(yù)測結(jié)果相近，而采用徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法建立的代理模型和前兩種方法相差較大。

采用交叉驗(yàn)證方法對3種模型進(jìn)行評價(jià)，結(jié)果如表3所示。從表中可以看出三種模型的誤差值均超過10%，所以有必要進(jìn)一步修正設(shè)計(jì)空間，重新設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布。但可以進(jìn)行初步分析，從表中可以看出誤差相對較小的是二階多項(xiàng)式方法建立的代理模型，所以初步分析基于二階多項(xiàng)式代理模型結(jié)果。

(b)克里金法(KRG)

(c)徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法(RBNN)圖6　不同代理模型預(yù)測目標(biāo)函數(shù)三維等值面分布Fig. 6　Predictions of 3D contours of objective functions using different surrogate models

PRSKRGRBNN效率/%10.8812.5358.30最小平均壓力系數(shù)/%43.8343.2557.36

2.5結(jié)果分析與討論

圖7給出了基于二階多項(xiàng)式模型的敏感度分析結(jié)果。圖7(a)是3個(gè)自變量對于最小截面平均壓力系數(shù)的敏感度分析結(jié)果，圖7(b)是3個(gè)自變量對于效率的敏感度分析結(jié)果。圖中空心框表示局部敏感度，實(shí)心框表示全局敏感度。結(jié)果表明，首、次級葉輪安放角對效率和最小平均壓力系數(shù)影響較大，而相位角的影響很小，和前兩者相比可以忽略。在修正設(shè)計(jì)空間時(shí)，可以去掉相位角，從而降低設(shè)計(jì)空間的維數(shù)，使二次優(yōu)化過程得到簡化。

圖8給出了基于二階多項(xiàng)式代理模型計(jì)算結(jié)果的最優(yōu)點(diǎn)選取情況，目標(biāo)函數(shù)空間中橫坐標(biāo)為最小截面平均壓力系數(shù)，縱坐標(biāo)為效率。綜合考慮效率和最小截面平均壓力系數(shù)2種因素，同時(shí)考慮到代理模型預(yù)測精度較低，所以選擇目標(biāo)函數(shù)空間里的修正空間范圍較大，位置如圖中線框表示，即最優(yōu)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)落在該范圍內(nèi)。

圖7　敏感度分析Fig. 7　Global sensitivity analysis

圖8　目標(biāo)空間代理模型預(yù)測結(jié)果Fig. 8　Predictions in objective space

將上述修正空間映射到設(shè)計(jì)空間內(nèi)，可以得到最優(yōu)點(diǎn)對應(yīng)的各個(gè)設(shè)計(jì)變量的取值范圍如下(已忽略相位角)：首級葉輪安放角在-1～-8°，次級葉輪安放角在-1～-6°?；诖?，在此范圍內(nèi)重新建立設(shè)計(jì)空間，進(jìn)行二次優(yōu)化。

2.6二次優(yōu)化

二次優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)不變，由于相位角對串列泵性能影響較小，所以在二次優(yōu)化時(shí)忽略。表4給出了二次優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量。

表4　二次優(yōu)化設(shè)計(jì)變量

二次優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)過程中，采用拉丁超立方分布方法在修正的設(shè)計(jì)空間內(nèi)選取20個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。采用數(shù)值計(jì)算方法獲取實(shí)驗(yàn)點(diǎn)數(shù)據(jù)，然后分別采用二階多項(xiàng)式法，克里金法和徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法建立代理模型。

圖9給出了3種代理模型預(yù)測結(jié)果的三維示意圖，圖中2個(gè)水平面內(nèi)的坐標(biāo)軸分別表示二次優(yōu)化的2個(gè)設(shè)計(jì)變量，豎直坐標(biāo)軸表示目標(biāo)函數(shù)，不同顏色表示不同的目標(biāo)函數(shù)取值。對3種模型進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如表5所示。從表中可以看出二次優(yōu)化的代理模型誤差大大減小，表明建立的代理模型具有足夠的精度。從表中還可以看出，二階多項(xiàng)式方法建立的代理模型誤差最小，基于該代理模型進(jìn)行最優(yōu)點(diǎn)的選取以及進(jìn)一步的分析。

表5二次代理模型驗(yàn)證結(jié)果

Table 5PRESS of surrogate models of the second optimization

PRSKRGRBNN效率/%0.342.011.59最小平均壓力系數(shù)/%0.170.400.24

基于二階多項(xiàng)式方法建立的代理模型對各設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行敏感度分析，圖10分別給出了2個(gè)自變量對于最小截面平均壓力系數(shù)和效率的敏感度分析結(jié)果。

從圖10(a)中可以看出首次級葉輪葉片安放角對最小截面平均壓力系數(shù)的敏感度較高，表明首級葉輪葉片安放角和串列泵的空化性能關(guān)系密切，2個(gè)自變量的全局敏感度均大于局部敏感度，表明2個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)存在相互影響，表明次級葉輪葉片安放角也會對串列泵的空化性能產(chǎn)生影響，但影響力較小。從圖10(b)中可以看出，首、次級葉輪葉片安放角均會對效率產(chǎn)生影響，但次級葉輪葉片安放角占據(jù)主導(dǎo)地位，首、次級葉輪葉片安放角對效率的敏感度之比約為4∶6，與串列泵的設(shè)計(jì)參數(shù)：首、次級載荷之比相同。下面基于二階多項(xiàng)式模型的預(yù)測結(jié)果尋找最優(yōu)工況。

(a)二階多項(xiàng)式法(PRS)

(b)克里金法(KRG)

(c)徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法(RBNN)圖9　二次優(yōu)化不同代理模型預(yù)測的三維響應(yīng)面Fig. 9　Predictions of 3D response surfaces using different surrogate models in the second optimization

圖10　二次優(yōu)化敏感度分析Fig. 10　Global sensitivity analysis of the second optimization

圖11給出了目標(biāo)函數(shù)空間內(nèi)的代理模型預(yù)測的目標(biāo)函數(shù)點(diǎn)分布情況。顏色加深的點(diǎn)對應(yīng)于效率最高或者最小截面壓力系數(shù)最大的工況，這些工況點(diǎn)形成帕氏最優(yōu)狀態(tài)(Pareto front)[32]，從帕氏最優(yōu)狀態(tài)可以看到，效率和最小壓力系數(shù)是相互矛盾的性能參數(shù)(trade-off)，即對于模型泵來說，如果效率較高，則最小截面壓力系數(shù)較小，即空化性能較差，如果最小壓力系數(shù)較高，即保證了較好的空化性能，則效率不能達(dá)到較高水平。

綜合考慮2種因素，選擇最優(yōu)點(diǎn)如圖11所示。映射到設(shè)計(jì)空間中可以找到最優(yōu)點(diǎn)的設(shè)計(jì)變量取值為：首級葉輪-3.7°，次級葉輪葉片安放角為-2°。采用數(shù)值方法對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行初步驗(yàn)證可以得到效率和對小壓力系數(shù)分別為85.5%和-1.31。

圖11　目標(biāo)函數(shù)空間內(nèi)的預(yù)測結(jié)果和帕氏最優(yōu)邊界Fig. 11　Predictions and Pareto front in objective space

2.7優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

為了對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證，圖12給出了采用數(shù)值計(jì)算方法得到的優(yōu)化前和優(yōu)化后的串列泵外特性和空化特性曲線。從圖中可以看出，優(yōu)化設(shè)計(jì)后的串列泵設(shè)計(jì)點(diǎn)附近的效率有所提升，同時(shí)設(shè)計(jì)點(diǎn)的空化特性得到改善。表明該優(yōu)化方法可以很好地應(yīng)用于串列泵的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖13給出了優(yōu)化前后在設(shè)計(jì)流量，無空化條件下的串列泵首次級葉輪子午面平均壓力云圖。從圖中可以看出，首級葉輪經(jīng)過優(yōu)化后，進(jìn)口處的低壓區(qū)域面積有所減小，表明在設(shè)計(jì)流量下，進(jìn)口處流動損失減小，空化性能得到改善。次級葉輪經(jīng)過優(yōu)化后，沿葉高方向壓力梯度減小，表明優(yōu)化后的葉輪可以抑制次級葉輪內(nèi)部的二次流動，減小流動損失。

(a)外特性　　　　　　　　　　　　　　　(b)空化特性(設(shè)計(jì)流量)圖12　優(yōu)化模型和原模型對比Fig. 12　Comparisons of prototype and optimum pump

圖13　優(yōu)化前后串列泵子午面壓力圖對比(設(shè)計(jì)流量)Fig. 13　Average static pressure contour of meridian interface in front and rear impellers at design flow rate

3結(jié)論

本文基于代理模型對串列泵進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，分析了首、次級葉輪進(jìn)口安放角度和相位角對串列泵性能的影響。采用敏感度分析方法和Pareto front方法進(jìn)行參數(shù)影響分析和最優(yōu)點(diǎn)的選取，并對優(yōu)化后的串列泵外特性和空化特性進(jìn)行驗(yàn)證，得到的主要結(jié)論如下：

1) 基于代理模型的系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以較好地應(yīng)用于串列泵的優(yōu)化設(shè)計(jì)；優(yōu)化結(jié)果可以提升串列泵設(shè)計(jì)流量附近的效率和空化性能。

2) 首、次級葉輪相位角對串列泵性能影響較??；首、次級葉輪葉片安放角對串列泵效率的局部敏感度之比約為4∶6，和設(shè)計(jì)的載荷之比相同，首級葉輪葉片安放角是串列泵的空化特性的主要影響因素。

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Optimization design of tandem pump based on surrogate method

ZHAO Yu, WANG Guoyu, HUANG Biao, WANG Fufeng

(Research Institute of Fluid Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Abstract：In this paper, we propose a global design optimization method based on a surrogate model for an axial-flow tandem pump, in order to overcome the disadvantages of conventional optimization methods, including their long design period and lower efficiency. We discuss the influences of the primary design parameters on pump performances, and used fixed blade angles in both the front and rear impellers, as well as the phase angle, as design variables. We selected efficiency and the minimum average pressure coefficient on the axial sectional surface as the objective functions, which represent the energy and cavitation performances, respectively. Surrogate models were constructed based on various methods. In addition, we used global sensitivity analysis and Pareto front methods to further analyze the design parameters and optimum point. The results show that the optimization results can enhance tradeoff performances well, with respect to both efficiency and cavitation performance, in the vicinity of the design flow of the tandem pump. The influence of phase angle on performance can be neglected relative to the influence of the other two design variables. The impact ratio on efficiency of a fixed blade angle in the two impellers is the same as in their designed loading distributions. A fixed blade angle in the front impeller has a great influence on cavitation performance.

Keywords：axial-flow pump; tandem cascades; global design optimization; surrogate method; cavitation performances

中圖分類號：TV131.32

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1006-7043(2016)03-438-11

doi:10.11990/jheu.201410085

作者簡介：趙宇(1989-), 男, 博士研究生;通信作者：王國玉, E-mail: wangguoyu@bit.edu.cn.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51239005, 51479002).

收稿日期：2014-10-31.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160104.1648.020.html

網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-01-04.

王國玉(1961-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師.