一類四階兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性

鞠夢蘭, 王文霞, 郝彩云

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 山西 晉中　030619)

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一類四階兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性

鞠夢蘭, 王文霞, 郝彩云

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 山西 晉中030619)

摘要：應(yīng)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，研究了一類四階兩點(diǎn)邊值問題正確的存在性，給出該問題至少有一個(gè)正解的充分條件，即該方程的解對參數(shù)的依賴性結(jié)果.

關(guān)鍵詞：四階邊值問題；正解；錐；不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)

0引言

考慮如下四階邊值問題，

(1)

正解(1)的存在性，其中f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)，λ>0.

目前，對于兩端固定的梁的研究大多數(shù)是在邊界條件為，

u(0)=u(1)=u′(0)=u′(1)=0

(2)

的情況下進(jìn)行分析，科研人員對這類方程的研究已取得了許多成果[1-4].但對于一端固定且一端滑動(dòng)支撐的梁,即問題(1)，目前的相關(guān)報(bào)道較少.對此，陸海霞等[5]給出了在未加參數(shù)時(shí)通過不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)方法,在與相應(yīng)線性算子第一特征值有關(guān)的條件下得到了其至少有一個(gè)正解的結(jié)果.在此基礎(chǔ)上，本研究通過討論問題(1)的Green函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合錐理論以及錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理,給出問題(1)的正解的存在性結(jié)果,并對文獻(xiàn)[5]中相關(guān)的結(jié)論做了推廣.

1預(yù)備和記號

引理1設(shè)，

則，G(t,s)是邊值問題，

的格林函數(shù).

為了討論G(t,s)的性質(zhì)，定義j(s):[0,1]→[0,1]，如下，

(3)

命題2對?t,s∈[0,1]，j(s)如上所記，則G(t,s)有以下性質(zhì)：

1)G(t,s)≥0，G(t,s)≤G(j(s),s)，

證明1)依照G(t,s)及j(s)的定義可知，性質(zhì)1)顯然成立.

2)分以下4種情況：

①當(dāng)0≤t≤j(s)≤s≤1，

②當(dāng)0≤t≤s≤j(s)≤1，

③當(dāng)0≤j(s)≤t≤s≤1，

④當(dāng)0≤s≤t≤j(s)≤1，

原命題得證.

下面給出一些記號：

且，

(4)

則K為C[0,1]中的錐，記，?Kc={u∈K：‖u‖=c}

定義算子Tλ:C[0,1]→C[0,1]為，

(5)

則，若u*是BVP(1)的解等價(jià)于u*是Tλ的不動(dòng)點(diǎn).

引理2Tλ是K→K全連續(xù)算子.

證明設(shè)u∈K，由G(t,s)≥0,(t,s)∈[0,1]×[0,1]，且由Tλ的定義知，

另外，

=τ‖Tλu‖

再由Arzera-Ascoli定理，即原命題得證.

引理3[6]設(shè)X是一Banach空間，K?X是X中的一個(gè)錐，對任意的p>0，令，Kp={x∈K:‖x‖

1)‖x‖<‖F(xiàn)x‖,x∈?Kp，蘊(yùn)含i(F,Kp,K)=0；

2)‖x‖>‖F(xiàn)x‖,x∈?Kp，蘊(yùn)含i(F,Kp,K)=1.

2主要結(jié)果

定理1若存在c1，c2>0，且c1≠c2,使得，

=a

(6)

成立，則當(dāng)λ∈(a,b)時(shí)，BVP(1)至少有一個(gè)正解u*，

0

(7)

證明BVP(1)的有解性等價(jià)于Tλ的不動(dòng)點(diǎn)，不妨設(shè)c2>c1，則，

一方面，若u∈?Kc2，則，

0≤u(t)≤‖u‖=c2,t∈[0,1]

=c2

=‖u‖

所以，

i(Tλ，Kc2，K)=1

(8)

另一方面，若u∈?Kc1，

同理由式(6)可知，

從而有，

=c1=‖u‖

所以，

i(Tλ,Kc1，K)=0

(9)

綜合式(8)、(9)有，

i(Tλ，Kc2/Kc1，K)

=i(Tλ，Kc2，K)-i(Tλ，Kc1，K)=1

(10)

則，Tλ有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u*，且，0

f(t,l)<(f0+ε)l,(t,l)∈[0,1]×[0,c1]

取u∈K,且‖u‖=c1，即，u∈?Kc1，有，

=λA(f0+ε)‖u‖

≤‖u‖

所以，

i(Tλ,Kc1，K)=1

(11)

則有，

若u∈?Kc2，有，

=c2=‖u‖

所以，

i(Tλ，Kc2,K)=0

(12)

綜合式(11)、(12)有，

i(Tλ，Kc2/Kc1，K)

=i(Tλ,Kc2，K)-i(Tλ,Kc1，K)=-1

(13)

則，Tλ至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u*.證畢.

定理3若下列條件之一成立：

1)f0=0,f∞=∞;

2)f0=∞,f∞=0.

則對任意λ∈(0,∞),BVP(1)至少有一個(gè)正解.

則有，

(14)

則有，

(15)

綜合式(14)、(15)，同定理1證明方法一致，則，Tλ有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u*.

所以，

i(Tλ，Kc1，K)=0

(16)

1)若f是有界的.設(shè)f

=λAM≤c0=‖u‖

即，‖Tλu‖≤‖u‖，記，Kc0={u∈K:‖u‖

i(Tλ,Kc0，K)=1

(17)

2)若f是無界的.c0>max{2c1,c2}，使得，

f(t,l)

對u∈K,‖u‖=c0，則，

=c0=‖u‖

即，‖Tλu‖≤‖u‖,記，Kc0={u∈K:‖u‖

i(Tλ,Kc0，K)=1

(18)

綜合式(16)～(18)，可知無論在哪種情況下都有，

i(Tλ,Kc0/Kc1，K)

=i(Tλ,Kc0，K)-i(Tλ,Kc1，K)=1

(19)

則，Tλ有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u*.

參考文獻(xiàn):

[1]馬如云,吳紅萍.一類四階兩點(diǎn)邊值問題多個(gè)正解的存在性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2002,22A(2):244-249.

[2]吳紅萍,馬如云.一類四階兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2000,2(4):342-348.

[3]Yao Q.Positivesolutionsforeigenvalueproblemsoffourth-orderelasticbeamequations[J].Appl Math Lett,2004,17(2):237-243.

[4]閆東明.一類四階兩點(diǎn)邊值問題多個(gè)正解的存在性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2010，27(1)：133-138.

[5]陸海霞,孫經(jīng)先.一類四階非線性微分方程兩點(diǎn)邊值問題的正解[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2014，45(8)：229-235.

[6]Erbe H,Hu S C,Wang H Y.Multiplepositivesolutionsofsomeboundaryvalueproblems[J].J Math Anal Appl，1994,184(3)：640-648.

Existence of Positive Solution to Fourth-order Two-point Boundary Value Problem

JUMenglan,WANGWenxia,HAOCaiyun

(Department of Mathematics, Taiyuan Normal University, Jinzhong 030619, China)

Abstract:By using the fixed point index theory,the paper studies the existence of positive solution to the fourth-order boundary value problem and puts forward the optimal sufficient conditions for the existence of at least one positive solution to the problem mentioned above,namely,the result of the dependence of the solution to the parameter.

Key words:fourth-order boundary value problem;positive solution;cone;fixed point index

中圖分類號：O177.91；O175.8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

作者簡介：鞠夢蘭(1991 — )， 女， 碩士研究生， 從事非線性算子研究.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11361407)資助項(xiàng)目.

收稿日期：2016-01-25.

文章編號：1004-5422(2016)01-0037-04