黑箱系統(tǒng)多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化的研究與應(yīng)用

趙虎　成盧強(qiáng)　侯曉音　徐明

任何一項(xiàng)工程或一個(gè)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)，都需要根據(jù)設(shè)計(jì)要求，合理選擇方案，確定各種參數(shù)，以期望達(dá)到最佳的設(shè)計(jì)目標(biāo)。本文建立了廣義參數(shù)優(yōu)化方法用以解決黑箱系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化問題，該方法以試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)方案選擇；采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立因素與目標(biāo)的非線性映射關(guān)系模型；利用遺傳算法，獲得給定參數(shù)區(qū)間的Pareto最優(yōu)解集。提出的方法具有通用性，可廣泛應(yīng)用于各種基于試驗(yàn)或虛擬試驗(yàn)的黑箱系統(tǒng)多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化問題的求解。

一、確定實(shí)驗(yàn)方案

在有目的的進(jìn)行試驗(yàn)、獲得試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)中，一般可采用全面試驗(yàn)方法、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法和均勻設(shè)計(jì)方法。

全面試驗(yàn)方法是在確定試驗(yàn)樣本中，將每一個(gè)因素的不同水平組合做同樣數(shù)目的試驗(yàn)。如在試驗(yàn)中，當(dāng)因素為s=4個(gè)，每個(gè)因素有q=12水平，采用全面試驗(yàn)方法則至少需作qs=124=20736次試驗(yàn)。

正交設(shè)計(jì)方法利用一種規(guī)格化的表格正交表安排試驗(yàn)，使之只做較少次數(shù)的試驗(yàn)就可判斷出較優(yōu)的條件。其特點(diǎn)是：每個(gè)因素的各個(gè)不同水平在試驗(yàn)中都出現(xiàn)相同的次數(shù)；任何兩個(gè)因素的各種不同水平的搭配，在試驗(yàn)中都出現(xiàn)了，并且出現(xiàn)的次數(shù)相同。即“均勻搭配”、“整齊可比”。用正交試驗(yàn)安排試驗(yàn)，則至少要作q2個(gè)試驗(yàn)。當(dāng)q 較大時(shí)，q2將變得很大。例如，對(duì)于上述同樣問題， q2 =122=144，這對(duì)多數(shù)實(shí)際問題，要求做的試驗(yàn)過多。因此正交設(shè)計(jì)方法只適用于水平數(shù)不多的試驗(yàn)中。

均勻設(shè)計(jì)方法是一種先進(jìn)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，特別適合于多因素多水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)。均勻設(shè)計(jì)方法利用數(shù)論中的一致分布理論選取q個(gè)點(diǎn)，并且只需進(jìn)行q次試驗(yàn)。對(duì)于上述同樣問題，其試驗(yàn)次數(shù)僅為12。確定均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)的關(guān)鍵是確定均勻設(shè)計(jì)表Um（qs），其中U表示均勻設(shè)計(jì)，m表示設(shè)計(jì)次數(shù)（布點(diǎn)數(shù)），q表示設(shè)計(jì)水平數(shù)，s表示設(shè)計(jì)因素。

在確定實(shí)驗(yàn)方案中，從節(jié)省時(shí)間和成本等方面考慮，一般都希望試驗(yàn)次數(shù)越少越好。但如果試驗(yàn)樣本過少，會(huì)造成后續(xù)的建模誤差較大，泛化能力下降，尋優(yōu)精度降低。因此可根據(jù)實(shí)際問題的參數(shù)（因素）多少和其水平數(shù)綜合進(jìn)行考慮。在因素水平不變的情況下，當(dāng)希望增加試驗(yàn)次數(shù)，可考慮選擇正交設(shè)計(jì)方法或全面試驗(yàn)法；當(dāng)希望減少試驗(yàn)次數(shù)，可考慮選擇均勻設(shè)計(jì)方法。

二、建“黑箱”系統(tǒng)模型

本文提出的優(yōu)化方法運(yùn)用控制理論中的“黑箱”思想，把整個(gè)系統(tǒng)看成一個(gè)“黑箱”，按照實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案安排試驗(yàn) ＼ 虛擬試驗(yàn)，以此給出的設(shè)計(jì)參數(shù)作為系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)，試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)作為輸出參數(shù)。黑箱系統(tǒng)的具體實(shí)現(xiàn)采用人工神經(jīng)BP網(wǎng)絡(luò)模型。

BP（Back Propagation）模型是一種輸入信號(hào)向前傳播無反饋的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)由一個(gè)輸入層、一個(gè)或多個(gè)隱層和一個(gè)輸出層組成。對(duì)于三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其結(jié)構(gòu)分別為：

（1）輸入層節(jié)點(diǎn)i，其輸出等于輸入，xi（i=1，2，…，n）將控制變量值傳輸?shù)降诙?。?） 隱層節(jié)點(diǎn)j，其輸入hj，輸出Oj 分別為

輸入信號(hào)經(jīng)過輸入節(jié)點(diǎn)傳向隱層各節(jié)點(diǎn)，經(jīng)節(jié)點(diǎn)的作用函數(shù)作用后，傳送至輸出層節(jié)點(diǎn)，最后在輸出節(jié)點(diǎn)上得到輸出信號(hào)。如果輸出節(jié)點(diǎn)的輸出值與學(xué)習(xí)樣本期望值之間存在誤差，則誤差反向傳播，修正網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的連結(jié)權(quán)值。

由于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高度非線性映射能力，利用其網(wǎng)絡(luò)的記憶功能形成了一個(gè)無明確表達(dá)式的虛擬函數(shù)，為下一步進(jìn)行黑箱系統(tǒng)的優(yōu)化打下了基礎(chǔ)。

三、優(yōu)化黑箱系統(tǒng)求解算法

多目標(biāo)優(yōu)化問題與單目標(biāo)優(yōu)化問題有著本質(zhì)上的不同。多目標(biāo)優(yōu)化的解不是唯一的，而是存在一個(gè)最優(yōu)解集合。解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的最好方法就是得到均勻分布的Pareto最優(yōu)解集后，根據(jù)不同設(shè)計(jì)要求和意愿，從中選擇最滿意的設(shè)計(jì)結(jié)果。

在本文的直接優(yōu)化方法中，采用Pareto遺傳算法作為其優(yōu)化求解器，Pareto遺傳算法尋優(yōu)過程如圖1所示。

遺傳進(jìn)化算法首先按照設(shè)定的初始種群數(shù)目在設(shè)計(jì)變量取值范圍內(nèi)用實(shí)數(shù)編碼的方式進(jìn)行隨機(jī)編碼，生成初始種群，每個(gè)個(gè)體信息由待優(yōu)化的設(shè)計(jì)參數(shù)組成。利用導(dǎo)入的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)每一個(gè)個(gè)體求出目標(biāo)函數(shù)值，根據(jù)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值對(duì)個(gè)體進(jìn)行Pareto定級(jí)，找出級(jí)別為1 的一組個(gè)體得到Pareto解集，計(jì)算其目標(biāo)函數(shù)值，滿足要求為所求優(yōu)化解。若不滿足要求則對(duì)種群的個(gè)體進(jìn)行選擇、再結(jié)合、變異、移植等遺傳算子操作，使用小生境方法生成新種群，再進(jìn)行上述定級(jí)等操作生成新的一組Pareto解集，直到求出滿足要求的Pareto解為止。

四、應(yīng)用實(shí)例

由于工程應(yīng)用的復(fù)雜性，獲取理論目標(biāo)值的難度非常大，作對(duì)比分析較困難。為了便于驗(yàn)證與分析，對(duì)FONSECA函數(shù)進(jìn)行Pareto多目標(biāo)尋優(yōu)。該函數(shù)對(duì)兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最小值共有三個(gè)Pareto解。這里假設(shè)不知道其優(yōu)化模型，利用函數(shù)式來做試驗(yàn)，按照均勻設(shè)計(jì)方法安排試驗(yàn)方案，由此試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立數(shù)學(xué)模型，由訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來計(jì)算遺傳進(jìn)化算法中適應(yīng)值，并進(jìn)行遺傳算法尋優(yōu)，最后通過對(duì)優(yōu)化結(jié)果的檢驗(yàn)來測(cè)試方法的有效性。

FONSECA函數(shù)可描述為：

目標(biāo)個(gè)數(shù)為2個(gè)，因素個(gè)數(shù)為2個(gè)，選擇均勻設(shè)計(jì)表U20（202）安排試驗(yàn)，該表表示有兩個(gè)因素（設(shè)計(jì)變量），每個(gè)因素取20個(gè)水平，共進(jìn)行20次試驗(yàn)。其試驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

在獲得試驗(yàn)數(shù)據(jù)后，接下來用試驗(yàn)樣本點(diǎn)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，建立黑箱模型。當(dāng)BP網(wǎng)絡(luò)隱層神經(jīng)元數(shù)選為7時(shí)，訓(xùn)練循環(huán)次數(shù)為100，網(wǎng)絡(luò)誤差為1e-3，滿足要求。訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)可以求出約束變量范圍內(nèi)任何一組設(shè)計(jì)變量對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值。

訓(xùn)練樣本目標(biāo)值為Train，訓(xùn)練樣本網(wǎng)絡(luò)擬合值為Out1。當(dāng)隱層神經(jīng)元數(shù)為7個(gè)，輸出層神經(jīng)元數(shù)為1個(gè)，隱層和輸出層的傳遞函數(shù)都定為logsig函數(shù)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的誤差最小。測(cè)試樣本目標(biāo)值為函數(shù)計(jì)算的精確值，Out2為測(cè)試樣本的網(wǎng)絡(luò)擬合目標(biāo)值。BP網(wǎng)絡(luò)參數(shù)與誤差的關(guān)系如表2所示。

在完成上述建模工作基礎(chǔ)上，采用遺傳進(jìn)化算法進(jìn)行尋優(yōu)，程序的輸出結(jié)果是最優(yōu)目標(biāo)值：〔0.849767，0.824728〕，最優(yōu)個(gè)體是〔-0.1366，-0.4209〕。

遺傳算法求出的Pareto解與理論解之間的誤差為：

五、結(jié)論

本文提出了廣義參數(shù)優(yōu)化方法將試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)及Pareto GA算法結(jié)合在一起，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高度非線性映射能力、遺傳算法的全局搜索能力、試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在試驗(yàn)范圍內(nèi)均勻散布等特點(diǎn)，可在試驗(yàn)區(qū)內(nèi)尋找出最優(yōu)解或近似最優(yōu)解。

該方法的應(yīng)用范圍廣泛，不要求建立具體的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，可解決無法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的黑箱系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題。