數(shù)形結(jié)合思想在中學數(shù)學解題中的應用

■佳木斯市第三中學劉春雷

數(shù)形結(jié)合思想在中學數(shù)學解題中的應用

■佳木斯市第三中學劉春雷

數(shù)形結(jié)合思想起源于古希臘，歐幾里得的《幾何原本》中對此有所提及；十七世紀，笛卡爾建立平面直角坐標系并發(fā)表了《幾何學》；再后來，費馬用代數(shù)方法研究幾何學，著成《平面與立體軌跡引論》，從此數(shù)形結(jié)合思想被重視.我國在公元前十五世紀的甲骨文中對數(shù)形結(jié)合思想也有所記載；大約在公元前二世紀左右，我國已經(jīng)記載了勾股定理；祖沖之所得π的結(jié)果比歐洲早一千年.數(shù)形結(jié)合思想的應用非常廣泛，仍有很大的研究空間.數(shù)形結(jié)合思想用畫圖的方法來解決代數(shù)問題，用數(shù)字、公式來解決幾何問題，使代數(shù)的繁瑣問題變換成圖形，更加直觀明了，使復雜的圖形變換成數(shù)字，更加具體化，結(jié)果也更加準確.目前國外的課本注重數(shù)形結(jié)合思想，強調(diào)用心理解然后應用，使學生將此思想變成一種習慣與意識，并能夠直接運用.而在我國，數(shù)形結(jié)合思想在課本中體現(xiàn)得很少，基本由教師結(jié)合具體題型進行具體分析、傳授，只是作為一種有利的解題工具出現(xiàn).然而，在新課改的背景下，我國的數(shù)學教學越來越注重培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合能力，也有越來越多的人開始研究數(shù)形結(jié)合思想.著名的數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)無形時少直覺，形無數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離。”羅新兵在文章《數(shù)形結(jié)合的解題研究——表征的視角》中對該思想大加贊揚，同時也提出高中生存在的普遍現(xiàn)狀：往往“以形助數(shù)”，在幾何問題中通過直角坐標系向量使問題代數(shù)化，卻往往忽略幾何圖形本身的定義和性質(zhì)，這是應該注意的.

本文將從兩個方面來研究數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用：一方面是以形助數(shù)，按照中學課本知識的順序，用幾何的方法來對典型例題進行解答；另一方面是以數(shù)輔形，利用數(shù)學公式來解決幾何問題.

一、“以形助數(shù)”思想在中學數(shù)學解題中的應用

所謂的“以形助數(shù)”就是將所給出題目中的文字語言翻譯成圖形語言，通過仔細研究圖形的特點，發(fā)現(xiàn)圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，然后再進行分析計算.

1.“以形助數(shù)”在集合問題中的應用

根據(jù)集合所涉及的元素的特點，可以利用韋恩圖或者數(shù)軸來解決.

通常在集合韋恩圖中，用長方形來表示全集，用圓來表示集合.集合與集合的關(guān)系表現(xiàn)為兩圓的位置關(guān)系，兩個圓相交的意思是有公共的元素，未相交部分為各自的元素，兩個圓相交一點說明有一個相同的元素，兩個圓相離說明沒有相同的元素.

例1全集U={a，b，c，d，e}，如果A∩B=，并且（CuA）∩B=j5i0abt0b，（CuA）∩（CuB）={a，e}，則元素c在哪？

解：此題涉及5個集合，用常規(guī)方法解題比較復雜，用韋恩圖則簡單得多.見圖1.

A∩B=說明b為A，B的公共部分；（CuA）∩B=j5i0abt0b說明d?A且d∈B；（CuA）∩（CuB）={a，e}說明a，e?A且a，e?B，所以c?B且c∈A，即圖中陰影部分.

圖1

例2某班有60名學生，會跳舞的有30人，會唱歌的有42人，既會唱歌又會跳舞的有14人，既不會跳舞又不會唱歌的有多少人？

解：設U={60名學生}，M={會跳舞的學生}，N={會唱歌的學生}，M∩N={既會跳舞又會唱歌的學生}.見圖2.

圖2

不會唱歌也不會跳舞的學生有60-16-14-28=2人.

當用數(shù)軸來解決集合問題時，一般情況下，在數(shù)軸上畫出幾個解，并通過不等號的方向來畫出解集，交集即二者的公共部分，無公共部分即沒有交集，為空集.

2.“以形助數(shù)”在解方程問題中的應用

在中學數(shù)學中，方程主要包括兩個部分，分別為一元二次方程和二元一次方程，接下來將用“以形助數(shù)”法來解決相關(guān)方程問題.

一元二次方程的一般式為ax2+bx+c=0，我們可以利用方程圖像與坐標軸的位置關(guān)系來分析方程解的情況.若方程圖像與x軸有兩個交點，即該方程有兩個不相等的實數(shù)根；若方程圖像與x軸有一個交點，則說明該方程有兩個相等的實數(shù)根；若方程圖像與x軸沒有交點，則該方程在實數(shù)域內(nèi)沒有實數(shù)根.

例3解方程（3-x）2+x2=5.

解：通過列表描點連線的方法，畫出x2-3x+2=0的圖像，該方程與x軸相交，有兩個交點，坐標分別為（1，0），（2，0）.見圖3.

圖3

所以方程的解就是（1，0），（2，0），

解：在坐標系上畫出兩條直線，見圖4，兩直線平行，所以該方程組沒有解.

3.“以形助數(shù)”在解不等式問題中的應用

解不等式的時候通常先把不等號換成等號，求出等式的解，然后畫出兩個函數(shù)的圖像，依次寫出范圍內(nèi)兩函數(shù)的大小關(guān)系，那些滿足不等號的即為不等式的解.

例5求（x-1）2＞x中x的取值范圍.

解：先求出（x-1）2=x的值為y1=（x-1）2與y2=x的圖像，見圖5.

圖5

解不等式問題時，可簡記口訣：“從上到下，從右到左，奇次根穿過，偶次根穿不過”.

二、“以數(shù)輔形”思想在中學數(shù)學解題中的應用

“以數(shù)輔形”是指在一些幾何問題中，運用數(shù)與形結(jié)合的觀點去考慮問題，將形向數(shù)轉(zhuǎn)化，從而解決問題.

1.“以數(shù)輔形”在平面幾何問題中的應用

在解決一些基礎圖形，如三角形、四邊形、圓等復雜的長度和角度的問題時，我們一般利用“以數(shù)輔形”思想，借助數(shù)學公式來解決.

例6 AB垂直于地面，影子恰好在CD和BC上（見圖6），如果CD與水平面成45°，

圖6

解：此題有兩種解法.

（1）三角形中角和邊的公式

做一條輔助的線，延長AD至與水平面交F點，過D點做DE⊥CF，垂足為E.因為∠DCE=45°，∠A=60°，

（2）相似三角形

2.“以數(shù)輔形”在立體幾何問題中的應用

解決立體幾何問題，當無法直接看出點線面之間的關(guān)系時，可以用代數(shù)向量的方法進行求解，其思路簡單，只須建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，寫出每一點的坐標，再根據(jù)公式代入求解.

例7 PD⊥正方形ABCD，見圖7，AB=2，E平分PB，（1）寫出E的坐標；（2）是否存在一點F，使EF⊥平面PCB？

圖7

解：（1）以DA、DC、DP為x、y、z軸建立空間直角坐標系，所以每個點坐標為P（0，0，2x）；A（2，0，0）；B（2，2，0）；C（0，2，0）；E（1，1，x）；從而可以知道所以E的坐標為（1，1，1）.

（2）設存在F（y，0，z），由E■→F⊥平面PCB得，E■→F·C■→B所以F坐標為（1，0，0）時可使EF⊥平面PCB.

在解決幾何問題時，通過直角坐標系向量使問題代數(shù)化的同時，不要忽略幾何圖形本身的定義和性質(zhì).

本文以數(shù)形結(jié)合思想為主體，從兩個方面研究了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用.在具體的教學中，教師要教授學生具體的用法.本文所涉及的數(shù)形結(jié)合思想并不全面，還可以更深層次地對復數(shù)和立體幾何等進行研究，以解決更多的數(shù)學問題.

編輯/王一鳴

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