一種基于最優(yōu)多項(xiàng)式模型的車身耐撞性敏感性分析法*

劉 杰,劉光昭,許 燦,于鐘博

(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082)

2016109

一種基于最優(yōu)多項(xiàng)式模型的車身耐撞性敏感性分析法*

劉 杰,劉光昭,許 燦,于鐘博

(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082)

為評(píng)價(jià)車身耐撞性對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性，提出了一種基于最優(yōu)多項(xiàng)式模型的新型全局敏感性分析方法。通過誤差減少比率的結(jié)構(gòu)選擇技術(shù)構(gòu)造了描述耐撞性指標(biāo)和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)之間關(guān)系的最優(yōu)多項(xiàng)式模型，并利用基于直接積分的Sobol方法進(jìn)行全局敏感性分析。該方法克服了傳統(tǒng)方法計(jì)算量大、結(jié)果不穩(wěn)定等缺點(diǎn)，車輛正撞和側(cè)撞工程算例的敏感性分析結(jié)果表明了該方法的有效性和實(shí)用性。

車身耐撞性；全局敏感性；最優(yōu)多項(xiàng)式；Sobol方法

前言

結(jié)構(gòu)敏感性分析通過分析各設(shè)計(jì)參數(shù)與設(shè)計(jì)目標(biāo)之間的變化規(guī)律，并以敏感性指標(biāo)為基準(zhǔn)對(duì)車身各結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響程度進(jìn)行有效排序和評(píng)估[1]，這對(duì)于提高車身產(chǎn)品的設(shè)計(jì)效率，縮短設(shè)計(jì)周期，快速有效地確定結(jié)構(gòu)修改方案有著重要意義和實(shí)際價(jià)值。

目前敏感性分析分局部和全局分析兩大類方法[2]。局部敏感性分析方法[3-5]主要包括直接求導(dǎo)法、有限差分法和攝動(dòng)法，其分析簡(jiǎn)單，但只能檢驗(yàn)單個(gè)參數(shù)的變化對(duì)設(shè)計(jì)目標(biāo)的影響程度，適用于線性模型且參數(shù)范圍較小情況。全局敏感性分析方法[6-9]包括回歸分析法、方差分析法、傅里葉幅值分析法和Sobol法，其參數(shù)變動(dòng)范圍可擴(kuò)展到參數(shù)的整個(gè)定義域，允許多個(gè)參數(shù)同時(shí)變化，且不受模型的限制，但全局法往往通過采樣技術(shù)來分析，其計(jì)算量較大。其中，Sobol法[10-11]是一種應(yīng)用較廣泛的全局敏感性分析方法，該方法基于方差分析，通過計(jì)算單個(gè)或多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)目標(biāo)方差的貢獻(xiàn)來評(píng)估各參數(shù)的敏感性，同時(shí)還能給出多個(gè)參數(shù)的交互作用對(duì)設(shè)計(jì)目標(biāo)的影響。傳統(tǒng)Sobol法通常采用蒙特卡洛采樣進(jìn)行求解[12-13]，這需要大量的樣本信息，且敏感性分析結(jié)果的穩(wěn)定性嚴(yán)重依賴于樣本。對(duì)于車身耐撞性設(shè)計(jì)這類復(fù)雜問題，單次有限元模擬計(jì)算就已經(jīng)非常耗時(shí)，因此通過大量采樣進(jìn)行Sobol全局敏感性分析是很難實(shí)現(xiàn)的。雖然有些學(xué)者建立了設(shè)計(jì)參數(shù)與車身耐撞性指標(biāo)之間的各類近似模型，再在近似模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行基于蒙特卡洛采樣的Sobol敏感性分析，這一定程度克服了計(jì)算量大的問題，但分析結(jié)果依然存在對(duì)樣本的依賴性，尤其是對(duì)于高維變量的設(shè)計(jì)問題，近似模型的精度、采樣的方法、樣本量的大小等都可能使分析結(jié)果存在較大偏差，特別是對(duì)于高階交叉項(xiàng)的敏感性分析存在較大的偏差和數(shù)值不穩(wěn)定性。

為更有效準(zhǔn)確地量化車身耐撞性設(shè)計(jì)中結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性指標(biāo)，本文中提出了一種新型基于最優(yōu)多項(xiàng)式模型的全局敏感性分析方法。該方法根據(jù)誤差減少比率對(duì)耐撞性指標(biāo)和設(shè)計(jì)參數(shù)之間的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行尋優(yōu)，這種最優(yōu)多項(xiàng)式模型不僅結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、近似精度高，而且非常適用于直接積分的Sobol敏感性分析。正撞和側(cè)撞工況下的車身結(jié)構(gòu)的全局敏感性分析結(jié)果驗(yàn)證了本文中方法的有效性和實(shí)用性。

1 車身耐撞性的Sobol敏感性分析

針對(duì)車身耐撞性設(shè)計(jì)問題，利用Sobol敏感性分析方法對(duì)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別和定量化評(píng)估時(shí)，可將耐撞性指標(biāo)分解成單個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)和參數(shù)之間的正交函數(shù)組合，即

f12…n(x1,x2,…,xn)

(1)

式中：x為n維設(shè)計(jì)參數(shù)向量；f(x)為耐撞性指標(biāo)，如最大侵入量、加速度峰值等。

式(1)右邊共有2n項(xiàng)，若除常數(shù)項(xiàng)f0外，各子項(xiàng)滿足對(duì)其包含的參數(shù)積分為零，即

1≤i1<…

(2)

則式(1)可唯一分解，且各項(xiàng)可通過下列多重積分求得

f0=∫f(x)dx

(3)

(4)

(5)

同理可求得各階高次項(xiàng)f12…k(x1,x2,…,xk)。

Sobol敏感性分析法通過偏方差和總方差之比來表示設(shè)計(jì)參數(shù)及其交互作用對(duì)耐撞性指標(biāo)的影響程度[10-11]，其中耐撞性指標(biāo)f(x)的總方差D為

(6)

式(1)中各項(xiàng)的偏方差Di1…is為

(7)

對(duì)式(1)兩邊先平方再積分，并由各項(xiàng)正交的性質(zhì)可得

(8)

則式(1)中各項(xiàng)的敏感性指標(biāo)Si1i2…is為

Si1i2…is=Di1i2…is/D

(9)

單個(gè)設(shè)計(jì)變量xi的總敏感性指標(biāo)TS(xi)為

TS(xi)=1-S-i

(10)

式中S-i為不包含變量xi的所有Si1i2…is項(xiàng)之和。

Sobol敏感性分析方法在構(gòu)造正交函數(shù)和計(jì)算方差的式(3)～式(7)中，都涉及多重積分的計(jì)算，傳統(tǒng)是利用蒙特卡洛法進(jìn)行求解。由于蒙特卡洛積分的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性往往取決于抽樣的規(guī)模和均勻性，因此這將導(dǎo)致一方面對(duì)于車輛碰撞這類復(fù)雜工程問題，其計(jì)算量太大；另一方面對(duì)于高維設(shè)計(jì)變量問題，其敏感性分析結(jié)果不夠準(zhǔn)確。如果能構(gòu)造出耐撞性指標(biāo)和高維設(shè)計(jì)變量之間的較準(zhǔn)確且便于直接積分的近似模型，則基于直接積分進(jìn)行Sobol敏感性分析，能有效提高敏感性分析的效率和精度。

2 基于結(jié)構(gòu)選擇的最優(yōu)多項(xiàng)式模型

在利用各類響應(yīng)面對(duì)車輛耐撞性進(jìn)行Sobol敏感性分析時(shí)，多項(xiàng)式響應(yīng)面非常適合直接積分計(jì)算。為在高維設(shè)計(jì)向量下較準(zhǔn)確地替代耗時(shí)的模型仿真，下面采用誤差比例結(jié)構(gòu)選擇技術(shù)[14-15]構(gòu)造耐撞性指標(biāo)和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)之間的最優(yōu)多項(xiàng)式模型。

將耐撞性指標(biāo)f(x)表示為n維設(shè)計(jì)參數(shù)的完全多項(xiàng)式組合，即

(11)

式中：ui為設(shè)計(jì)變量xi在m次方下的完全多項(xiàng)式；ai為待定多項(xiàng)式系數(shù)；多項(xiàng)式總項(xiàng)數(shù)為N=(n+m)!/(n!m!)。一般來說冪指數(shù)m可足夠大，能包含全部有效的多項(xiàng)式項(xiàng)。多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)選擇技術(shù)將對(duì)式(11)中每一項(xiàng)的顯著性進(jìn)行評(píng)估，并按照誤差減小比率選擇出有效的多項(xiàng)式項(xiàng)，從而獲得耐撞性指標(biāo)關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的最佳多項(xiàng)式模型。

為確定多項(xiàng)式模型及其系數(shù)，假定在n維設(shè)計(jì)參數(shù)空間進(jìn)行L次抽樣，并將式(11)的右邊進(jìn)行變換用正交集表示為

(12)

式中：f(k)為第k次抽樣計(jì)算的耐撞性指標(biāo)；pi(k)為第k次抽樣下的正交項(xiàng)，由式(11)中各項(xiàng)經(jīng)正交變換而得到；hi為正交項(xiàng)的系數(shù)。由于式(12)各項(xiàng)正交，故有

(13)

pi(k)可以用Gram-Schmidt正交化得到

(14)

(15)

式中：ui(k)為第k次抽樣下式(11)中的各多項(xiàng)式；αij為系數(shù)。

在正交化過程中p0(k)=1。

定義誤差函數(shù)MSE為

(16)

根據(jù)極值條件，式(16)右邊表達(dá)式對(duì)hi求導(dǎo)，并令其等于0，可得

(17)

將式(17)代入式(16)，并由pi(k)各項(xiàng)兩兩正交，可得

(18)

(19)

每次正交變換后，計(jì)算各項(xiàng)對(duì)MSE減小的貢獻(xiàn)率ERRi，選出誤差減小比率最大的一項(xiàng)保留，剩余項(xiàng)重新按照上述方法做正交化處理并評(píng)價(jià)貢獻(xiàn)率，直至剩余項(xiàng)中最大ERRi小于設(shè)定的閾值，則這些項(xiàng)可被舍棄。求解得到hi，再通過反正交變換可獲得式(11)中保留項(xiàng)的系數(shù)為

(20)

式中：qi=1，且

(21)

由此可確定耐撞性指標(biāo)關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的多項(xiàng)式模型的最佳結(jié)構(gòu)及系數(shù)，在此基礎(chǔ)上可方便地進(jìn)行直接積分運(yùn)算并評(píng)價(jià)各參數(shù)敏感性。

3 直接積分全局敏感性分析流程

基于最優(yōu)多項(xiàng)式模型和直接積分的Sobol敏感性分析法對(duì)車輛耐撞性進(jìn)行全局敏感性分析的流程如圖1所示，具體步驟為：

圖1 直接積分全局敏感性分析流程

①確定耐撞性指標(biāo)、設(shè)計(jì)參數(shù)及其范圍；②對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，如利用拉丁超立方方法進(jìn)行抽樣；③計(jì)算仿真模型抽樣點(diǎn)的耐撞性指標(biāo)；④通過誤差減少比率的結(jié)構(gòu)選擇技術(shù)構(gòu)造了耐撞性指標(biāo)和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)之間的最優(yōu)多項(xiàng)式模型；⑤在最優(yōu)多項(xiàng)式模型基礎(chǔ)上，利用式(3)～式(5)進(jìn)行直接積分，求得式(1)中各項(xiàng)；⑥對(duì)式(1)各項(xiàng)，利用式(6)和式(7)進(jìn)行直接積分，求得總方差和偏方差；⑦利用式(9)和式(10)對(duì)各設(shè)計(jì)參數(shù)的各階敏感性進(jìn)行評(píng)價(jià)。

4 數(shù)值算例

通過一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證本文中所述方法的正確性和敏感性分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。數(shù)值算例的模型為

f(x)= 0.810-0.116x1+0.121x2+0.152x3+

(22)

式中：x∈[-1,1]，其Sobol敏感性指標(biāo)可以通過直接積分法得到。利用拉丁超立方法在x定義域內(nèi)進(jìn)行30次抽樣，并代入式(22)求解函數(shù)值。為驗(yàn)證基于結(jié)構(gòu)選擇構(gòu)造最優(yōu)多項(xiàng)式模型的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，在計(jì)算的函數(shù)值中加入10%水平的噪聲，模擬實(shí)際測(cè)量或計(jì)算誤差，帶噪函數(shù)響應(yīng)fδ為

fδ=fc+lδ·std(fc)·rand

(23)

式中：fc為樣本處計(jì)算的函數(shù)值;std(fc)為計(jì)算函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差;lδ為百分?jǐn)?shù)，表示噪聲水平；rand為均值是0，方差是1的隨機(jī)數(shù)。利用樣本點(diǎn)先建立完全多項(xiàng)式模型，進(jìn)行結(jié)構(gòu)選擇，得到最優(yōu)多項(xiàng)式模型：

(24)

對(duì)比式(22)和式(24)可知，結(jié)構(gòu)選擇技術(shù)能選擇出所有有效的多項(xiàng)式項(xiàng)，且具有很好的抗噪能力。表1列出本文方法和對(duì)式(22)進(jìn)行不同規(guī)模蒙特卡洛抽樣的敏感性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果，其中抽樣Ⅰ和Ⅱ?yàn)椴煌蜗鲁闃? 000，抽樣Ⅲ和Ⅳ為不同批次下抽樣10 000。從表1結(jié)果可看出，基于蒙特卡洛方法的Sobol敏感性分析方法在不同抽樣批次和規(guī)模下，其敏感性結(jié)果不穩(wěn)定，特別是對(duì)于高階敏感性指標(biāo)其分析結(jié)果誤差較大，而基于本文方法構(gòu)造的最優(yōu)多項(xiàng)式(24)與式(22)相近，因此對(duì)其進(jìn)行直接積分的敏感性分析結(jié)果準(zhǔn)確性較高。

表1 不同方法的敏感性分析對(duì)比

5 工程應(yīng)用

5.1 正撞工況車身結(jié)構(gòu)的全局敏感性分析

建立某型車正面碰撞剛性墻有限元模型[16]，如圖2所示，碰撞速度為56.3km/h。車輛正撞時(shí)前端部件為主要變形吸能部件，因此選取該車前端7個(gè)部件的厚度作設(shè)計(jì)參數(shù)，這7個(gè)部件分別為左側(cè)長縱梁x1、左側(cè)子框架臂x2、前部子框架x3、左側(cè)腳踏板梁x4、左側(cè)防護(hù)罩x5、發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)蓋x6和發(fā)動(dòng)機(jī)外蓋x7，如圖3所示。

圖2 車輛正撞有限元模型(碰撞后100ms)

圖3 車輛正撞的設(shè)計(jì)部件

選擇左側(cè)B柱底端加速度A和碰撞發(fā)生后總內(nèi)能E作為車輛正面碰撞的耐撞性評(píng)價(jià)指標(biāo)，利用拉丁超立方法進(jìn)行50次抽樣，并分別建立加速度a和總內(nèi)能E的最優(yōu)多項(xiàng)式模型：

a= 55.80-6.55x1+6.39x2+5.15x3+0.59x4+

0.34x1x3-0.46x1x4-3.00x1x5+2.01x1x6+

(25)

E= 144.64+7.15x1+2.72x2+1.81x3+25.34x5-

0.77x1x3+0.20x1x4-0.64x1x5-0.33x1x6+

(26)

基于直接積分法進(jìn)行Sobol敏感性求解，表2中列出了敏感性分析所得的各設(shè)計(jì)參數(shù)的1階敏感性指標(biāo)和總敏感性指標(biāo)的值。

表2 正撞工況的全局敏感性分析結(jié)果

由表2可以看出，該車型在正碰工況下長縱梁、發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)蓋、子框架臂和防護(hù)罩對(duì)其B柱底端加速度影響較大，其余3個(gè)部件影響較??；對(duì)于碰撞總內(nèi)能，長縱梁對(duì)其影響最大，在7個(gè)部件中占吸能比的60%以上，是車輛正面碰撞主要的吸能部件，這與長縱梁變形最大吸能最多的實(shí)際情況相符。通過正撞工況的敏感性分析結(jié)果，能有效篩選出對(duì)耐撞性指標(biāo)影響較大的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)，從而為其優(yōu)化設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

5.2 側(cè)撞工況車身結(jié)構(gòu)的全局敏感性分析

建立某車側(cè)撞工況下的有限元模型[17]，如圖4所示。碰撞速度為50km/h。當(dāng)車輛受到側(cè)面碰撞時(shí)，一方面變形較大的部位為車體左側(cè)的框架、車門和B柱等，它們?cè)趥?cè)撞中起著主要的吸能作用；另一方面可利用的緩沖吸能空間有限，又要求車門有足夠的剛度，不應(yīng)發(fā)生較大的變形。因此，在車輛側(cè)撞工況的耐撞性設(shè)計(jì)中要兼顧碰撞吸能和側(cè)面剛度兩方面的需求。選取4個(gè)部件的厚度作為設(shè)計(jì)參數(shù)，即左側(cè)一體式框架y1、側(cè)前門加強(qiáng)筋y2、左側(cè)B柱內(nèi)板y3和外板y4，如圖5所示。

圖4 車輛側(cè)撞有限元模型(碰撞后100ms)

圖5 車輛側(cè)撞的設(shè)計(jì)部件

選擇B柱的最大侵入量U，B柱中部最大侵入速度v和非碰撞側(cè)B柱下端加速度的第一個(gè)峰值M作為側(cè)面碰撞的耐撞性指標(biāo)，分別建立U，v和M的最優(yōu)多項(xiàng)式模型：

U= 349.90+18.03y1-95.32y1y4-8.91y2y3+

(27)

(28)

(29)

表3列出各設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感性分析結(jié)果。

表3 側(cè)撞工況的全局敏感性分析結(jié)果

由表3可知，側(cè)撞工況下一體式框架是影響B(tài)柱侵入量的最主要因素，約占總影響的68%；前門加強(qiáng)筋橫向布置于車門處，故側(cè)撞過程中對(duì)侵入量影響較小，這與敏感性分析結(jié)果相符，另外前門加強(qiáng)筋對(duì)B柱中部最大侵入速度、非碰撞側(cè)B柱下端加速度峰值影響較大；B柱內(nèi)板和外板連接在一起，內(nèi)板對(duì)外板起加固作用，其對(duì)各耐撞性指標(biāo)的影響趨勢(shì)較一致，敏感性分析結(jié)果也表明了這一點(diǎn)；各參數(shù)的相互作用對(duì)耐撞性指標(biāo)影響較小，1階和2階敏感性指標(biāo)之和近似等于1，故更高階敏感性值非常小。

6 結(jié)論

針對(duì)車身耐撞性問題，結(jié)合最優(yōu)多項(xiàng)式選擇技術(shù)提出了一種新型全局敏感性分析方法。該方法基于誤差比例對(duì)多項(xiàng)式每一項(xiàng)的有效性進(jìn)行評(píng)價(jià)，并構(gòu)造了耐撞性指標(biāo)和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)之間的最優(yōu)多項(xiàng)式模型，這使采用直接積分法求解Sobol敏感性成為可能，有效提高了車身結(jié)構(gòu)參數(shù)全局敏感性分析的效率和精度。基于該方法能準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)車身設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)耐撞性指標(biāo)的敏感性，為車輛耐撞性設(shè)計(jì)和優(yōu)化等提供了重要依據(jù)。

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A Novel Sensitivity Analysis Method for Vehicle BodyCrashworthiness Based on Optimal Polynomial Models

Liu Jie, Liu Guangzhao, Xu Can & Yu Zhongbo

CollegeofMechanicalandVehicleEngineering,HunanUniversity,StateKeyLaboratoryofAdvancedDesignandManufacturingforVehicleBody,Changsha410082

A novel global sensitivity analysis method based on optimal polynomial model is proposed to evaluate the sensitivity of structure parameters to vehicle body crashworthiness. The optimal polynomial models describing the relationship between crashworthiness indicators and structural design parameters are constructed with the structure selection technique for error reduction ratio, and the Sobol global sensitivity analysis is performed by direct integration. The method proposed overcomes the shortcomings of much computation efforts required and insecure results with traditional method. The results of sensitivity analysis for engineering examples of vehicle frontal and side crashes demonstrate the effectiveness and practicality of the method.

vehicle body crashworthiness; global sensitivity; optimal polynomial; Sobol method

*國家自然科學(xué)基金(11572115，11232004)和汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究課題(51475003)資助。

原稿收到日期為2014年6月16日。