無限維空間中強對偶定理在潤滑問題上的應用*

鄔月月，胡艷紅

(哈爾濱師范大學)

無限維空間中強對偶定理在潤滑問題上的應用*

鄔月月，胡艷紅

(哈爾濱師范大學)

研究在無限維空間中，強對偶定理在潤滑問題上的應用，并找到了潤滑問題的對偶問題的無限維lagrange乘子.

強對偶定理;潤滑問題;lagrange乘子

0 引言

該文主要研究的是介于無限維凸優(yōu)化問題和它的lagrange對偶問題之間的強對偶定理及其它的應用.文獻[1]中，作者通過假設 給出無限維空間中凸優(yōu)化問題的強對偶定理，并把它應用到雙障礙問題上.在文獻[2]中，作者研究了強對偶定理在彈縮扭轉問題上的應用.以上作者是把這些實際問題轉換成變分不等式，進而轉化為無限維凸優(yōu)化問題，再應用強對偶定理找到研究問題的對偶問題的無限維lagrange乘子.

筆者研究的問題是一個完整軸頸軸承的潤滑劑薄膜的壓強分配問題，所以說這是一個力學問題中的潤滑問題[3].主要結果是把強對偶定理應用到這個力學問題上.通過把原問題轉變成變分不等式，再把強對偶定理應用到變分不等式上，同時找到了原問題的對偶問題的無限維lagrange乘子.

1 預備知識

定義1[1]X是線性拓撲空間,Y是由賦序錐C定義的實賦范空間,Z是實賦范空間,S是X的一個凸子集.f是S到X的給定泛函，g是S到Y的映射，考慮的約束集合是K={x∈S:g(x)∈-C}.

該文研究的優(yōu)化問題為：找到x0∈K,使得

(1)

通常它的Lagrange對偶問題為：

(2)

定義3[2]假設S在一點x0∈K滿足是指

推論5[2]如果問題(1)與問題(2)之間的強對偶成立，那么假設S也是滿足的.

2 主要內容

文獻[4]中的潤滑問題可以寫成以下變分不等式

(3)

ν(0,z)=ν(2π,z),|z|

ν(b,θ)=ν(-b,θ)=0,0≤θ≤2π.

Ω={(θ,z):0<θ<2π,|z|

這里提到的ω,η,ε都是文獻[3]中潤滑問題提到的變量.

x1=(a+b+z)cosθ,x2=(a+b+z)sinθ,令x=(x1,x2)

則O={x∈R2:a<|x|

問題(3)可等價的表示為如下變分不等式問題：

(4)

(5)

(6)

下面給出該文研究的主要結果：

(7)

(-φ)dx≥0.

另一個方向，要證假設S成立，下面讓(7)式成立，所以有

故假設S成立，綜上所述，定理得到證明.

[1] Evans L C. The infinite dimensional Lagrange multiplier rule for convex optimization problems[J].Journal of Functional Analysis,2011(261):2083-2093.

[2] Daniele P, Maugeri A,Raciti F.Duality Theory and Applications to Unilateral Problems[J],J Optim Theory Appl,2014,162:718-734.

[3] David Kinderlehrer,Guido Stampacchia.An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications. Springer in Applied Mathematics, New York, 1980.

[4] Mauger A,Puglisi D. A new necessary and sufficient condition for the strong duality and the infinite dimensional Lagrange multiplier rule[J]. J Math Anal Appl, 2014,415:661-676.

(責任編輯：季春陽)

Strong Duality Theory on Application of Lubrication Problem in Infinite Dimensional Space

Wu Yueyue, Hu Yanhong

(Harbin Normal University)

In this paper, concerned with the problem in infinite dimensional space, strong duality theory of the lubrication problem are applied and the dual problem of the lubrication problem and its infinite dimensional lagrange multiplier are found.

Strong duality theory; The lubrication problem; Lagrange multiplier

2016-12-23

*黑龍江省教育廳項目(12521147)

O189

A

1000-5617(2016)05-0013-03