分形幾何在巖土力學(xué)中的應(yīng)用

■李達(dá)銘

（廣東省地質(zhì)局第八地質(zhì)大隊廣東梅州514000）

分形幾何在巖土力學(xué)中的應(yīng)用

■李達(dá)銘

（廣東省地質(zhì)局第八地質(zhì)大隊廣東梅州514000）

分形（fractus）是拉丁語詞匯，它的含義是不規(guī)則或支離破碎的意思。因為在自然界中，不規(guī)則的事物現(xiàn)象更為普遍，所以分形幾何擁有著較為廣泛的應(yīng)用前途。本文基于分形幾何的基本概念和實踐方法，簡要探討了巖石破碎、斷裂的分形維問題。

分形幾何 分形維 巖土力學(xué) 破碎斷裂

著名數(shù)學(xué)家，“分形之父”Mandelbrot曾經(jīng)說過“在實際世界中，云不是球、山不是錐、樹皮不平滑、海岸線也不是圓的，所以人類有必要對他們進(jìn)行分形?！?/p>

1　分形幾何學(xué)

分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，分形幾何學(xué)的研究核心是分形維數(shù)，它可用于解釋諸多物理現(xiàn)象，處理某些極不規(guī)則的物體形狀問題。

Mandelbrot在測量研究中計算出英國的海岸線分形維D≈1.26，可見在分形幾何中的分形維數(shù)可以不是整數(shù)，這一點在經(jīng)典幾何中非常不可思議，也說明了在數(shù)學(xué)定義上分形幾何的嚴(yán)格自相似性。而本文闡述的自然界中事物的分形幾何概念則僅在特定范圍內(nèi)具有自相似性，例如云的分形，它只能在100～106km2的特定尺度內(nèi)才具有自相似意義。

在實際問題解決過程中，已有實踐經(jīng)驗與案例總結(jié)出了兩種分形基本方法。

1.1分形模型法

自然中任何事物的不規(guī)則復(fù)雜現(xiàn)象都基于力學(xué)、物理學(xué)等環(huán)境條件產(chǎn)生，所以分形幾何可由分形維這一幾何變量來進(jìn)行刻畫，它能夠?qū)嶋H反映自然界事物形狀的物理實質(zhì)變化規(guī)律。從實際角度看，可以根據(jù)自然界事物的分形特點來簡化某些數(shù)學(xué)分形模型，進(jìn)而在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上計算出其相對應(yīng)的分形維數(shù)，并探究事物分形維與物理量之間的相關(guān)性，解釋它們的預(yù)測物理本質(zhì)。分形模型法的基本核心就是對分形維的計算。

1.2實驗測定法

實驗測定法，對于某些自然界中事物在結(jié)構(gòu)測試表現(xiàn)出非常規(guī)規(guī)則性，如果判定物體具有統(tǒng)計自相似性，則可以通過圖像處理法、覆蓋法或計算機(jī)模擬技術(shù)來測定自然界某些物體結(jié)構(gòu)的分形維，再通過結(jié)果尋找其與物理本征量之間的關(guān)系。在尋找其相互關(guān)系的同時，也能揭示某些新的數(shù)學(xué)規(guī)律[1]。

2　基于分形幾何理論的巖石力學(xué)應(yīng)用研究

在采石場或礦區(qū)存在許多已破碎巖石，它們都是未經(jīng)人工加工的重量、形狀、大小各不相同的物體。這些巖石中存在許許多多不同的形面，它所代表的就是破碎過程中的分形。利用分形幾何理論，可計算破碎巖石表面的分形維數(shù)與體積分形維數(shù)D，亦可驗證它們的尺度不變性與自相似性特征。

2.1巖石碎塊的分形維數(shù)分析

基于分形幾何理論來分析破碎巖石的破碎塊度頻率分布時，應(yīng)該首先明確它的指數(shù)形式為：N(m)/NT=exp[-(m/μ)ν]

公式中，N(m)表示質(zhì)量超過m的巖石碎塊總數(shù)，NT則表示巖石碎塊的總數(shù)，表示巖石碎塊的平均質(zhì)量，所以上述指數(shù)形式的另一種表達(dá)形式即為：N(m)=Cm-b

公式中，表示一般常數(shù)，而當(dāng)（巖石碎塊半徑）時，則表明所表示的即為一個分形分布，而且此時還會形成這一關(guān)系。另一塊度頻率分布的具體函數(shù)表達(dá)形式，即質(zhì)量分布函數(shù)表示為：

M（R）/MT=1-exp[-(R/σ)α]

在質(zhì)量分布函數(shù)中M（R）表示半徑＜R的巖石碎塊累計總質(zhì)量，而MT表示巖石碎塊總質(zhì)量，表示巖石碎塊的平均尺寸，如果有，則可以總結(jié)出以下算式：M（R）/MT=（R/σ）α

根據(jù)上式可求得：dM∝Rα-1dR

可以證明巖石塊度的增加是與其增加的質(zhì)量是具有關(guān)聯(lián)性的，并可得出：dN∝R-3dM

將上述算式代入到dN∝R-3dM可以得出：D=3-α

以上一系列運(yùn)算表明巖石碎塊的冪律質(zhì)量分布應(yīng)該等同于分形分布關(guān)系，因此巖石碎塊的密度函數(shù)f(m)也應(yīng)該相應(yīng)滿足冪律分布規(guī)律，即：f(m)=Am-s

考慮到上述算式所表達(dá)的巖石碎塊質(zhì)量應(yīng)該在m與dm+m塊數(shù)質(zhì)量之間，所以總結(jié)得出破碎巖石的分形維數(shù)D為：D=3（S-1）

綜上所述，巖石碎塊密度函數(shù)的冪律分布也表示了它的分形分布規(guī)律。

2.2巖石斷裂破損的分形分析

采用分形幾何理論可以研究巖石的斷裂破損狀況，當(dāng)巖石發(fā)生斷裂后，它的斷裂表面一定是凹凸不平的，類似于一個分形表面。如果對其斷面進(jìn)行分形分析，則可以得出分形維數(shù)D以及巖石斷裂能Gf之間的關(guān)系為：Gf=K1-K2D

關(guān)系式中的K1與K2作為材料常數(shù)出現(xiàn)，它也表明巖石斷裂表面的不規(guī)則性是由于斷裂時能量的消耗以及微結(jié)構(gòu)復(fù)合效應(yīng)，此時可以通過巖石的斷裂表面橫截面的分形特征來測算分形維。

就以裂紋分叉這一巖石斷裂的物理現(xiàn)象為例，到目前為止還沒有一個較為合理的解釋。而對于巖石這種非均質(zhì)材料來說，目前國際上常用復(fù)變函數(shù)理論來研究它裂紋分叉的非規(guī)則性。當(dāng)裂紋分叉使得巖石的斷裂韌性值增加時，其推導(dǎo)過程就會越來越復(fù)雜，本文給出美國物理學(xué)家Smith所采用的基于復(fù)變函數(shù)理論的斷裂韌性計算公式為：K/K0=√（2cosπβ/2）D-1

以上計算公式利用到了分形幾何理論進(jìn)行推導(dǎo)，代入數(shù)據(jù)就可以推導(dǎo)出斷裂韌性的計算值，當(dāng)分形維數(shù)D為：

D=lg3/lg（2cosπβ/2）

就可以利用分形理論對斷裂巖石的裂紋分叉進(jìn)行非規(guī)則幾何效應(yīng)分析，推理出微結(jié)構(gòu)對于巖石斷裂韌性的具體影響。

3　總結(jié)

在巖石力學(xué)中，巖石斷層的分形維特征及規(guī)律對于演示微觀斷裂及損傷演化判定是相當(dāng)重要的，它的自相似性與維數(shù)內(nèi)涵都深層次揭示了自然界中較為復(fù)雜的自然現(xiàn)象。除幾何分形這種線性分形以外，像多重分形、模糊分形這些非線性分形也非常值得推敲研究，因此分形幾何理論在巖石力學(xué)中的應(yīng)用研究道路依然任重道遠(yuǎn)。

[1]林沛元,湯連生,桑海濤等.分形幾何在巖土力學(xué)研究中的過去、現(xiàn)在與未來 [J].西北地震學(xué)報,2012,33(z1):24-29.

[2]宋麗娟,許模,盧書強(qiáng)等.節(jié)理產(chǎn)狀極點分布的分形維改進(jìn)方法 [J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2013(z2):3303-3308.

[3]陳文麗.基于分形幾何的高層建筑設(shè)計研究 [J].城市建設(shè)理論研究（電子版）,2013 (20).

F407.1[文獻(xiàn)碼]B

1000-405X（2016）-7-469-1