基于部分最小二乘嶺估計的粗差定值定位

金麗宏，呂玉婷，汪　耀，許運(yùn)鵬，張小龍

(1.武漢科技大學(xué) 城市學(xué)院，湖北 武漢 430083； 2.中國地質(zhì)大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074; 3.國家知識產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作四川中心，四川 成都 610213; 4.中建二局第二建筑工程有限公司第四分公司，河南 鄭州 450000)

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基于部分最小二乘嶺估計的粗差定值定位

金麗宏1，呂玉婷2，3，汪耀2，許運(yùn)鵬2，張小龍4

(1.武漢科技大學(xué) 城市學(xué)院，湖北 武漢 430083； 2.中國地質(zhì)大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074; 3.國家知識產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作四川中心，四川 成都 610213; 4.中建二局第二建筑工程有限公司第四分公司，河南 鄭州 450000)

摘要：在利用部分最小二乘原理進(jìn)行粗差定值定位時，模型的法方程矩陣可能存在病態(tài)性，使得到的粗差定值定位結(jié)果不可靠。文中針對觀測數(shù)據(jù)包含多個粗差且法方程病態(tài)問題，利用嶺估計處理病態(tài)問題，建立部分最小二乘嶺估計的粗差定值定位方法，給出粗差搜索步驟，利用迭代算法實(shí)現(xiàn)多個粗差的定值和定位。通過模擬算例分析部分最小二乘法、部分最小二乘嶺估計在粗差搜索方面的效果，從另一個角度探討粗差處理方法，推廣現(xiàn)有的誤差理論，證明文中方法的有效性。

關(guān)鍵詞：粗差；病態(tài)性；部分最小二乘；嶺估計；定值定位

在測繪數(shù)據(jù)處理中，粗差的存在嚴(yán)重影響最小二乘平差結(jié)果，為消除或減弱這種影響，國內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行廣泛研究并得到不少解決粗差問題的方法，如數(shù)據(jù)探測法[1]、部分最小二乘法[2-4]、均值漂移法[5]、LEGE法[6-8]、擬準(zhǔn)檢定法[9]、抗差估計[10-11]等。部分最小二乘法原理簡單，適用于處理數(shù)據(jù)量較大的觀測值，文獻(xiàn)[2]分別研究了觀測數(shù)據(jù)獨(dú)立或相關(guān)時粗差的定值定位方法，文獻(xiàn)[3]研究了對相關(guān)觀測值中粗差的快速搜索法。在實(shí)際測量中，因觀測數(shù)據(jù)不足或平差模型中參數(shù)之間存在近似相關(guān)性，使得觀測方程的系數(shù)矩陣表現(xiàn)出明顯的復(fù)共線性，法方程矩陣出現(xiàn)病態(tài)問題。若觀測數(shù)據(jù)同時存在病態(tài)性與粗差問題，因病態(tài)性的影響，部分最小二乘法對粗差定值定位失效。

為實(shí)現(xiàn)法方程矩陣病態(tài)的觀測數(shù)據(jù)中多個粗差的定值定位，本文將嶺估計[12-14]方法引入平差模型，建立了基于部分最小二乘嶺估計的粗差定值定位理論。首先將觀測值進(jìn)行分組，利用嶺估計處理病態(tài)問題，得到了該模型下的部分最小二乘嶺估計及粗差估計值表達(dá)式；然后給出了逐次逐個粗差搜索的步驟，實(shí)現(xiàn)了多個粗差的定位。最后用一組算例驗證了本文方法的有效性。該估計方法為處理同時存在粗差與病態(tài)的觀測數(shù)據(jù)提供了一種新的思路，擴(kuò)大了部分最小二乘法的適用范圍。

1粗差定值

為實(shí)現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)中粗差的定值定位，基于系統(tǒng)聚類思想，將觀測值分為兩組，第1組為不含粗差的r個觀測值Lr，第2組為含全部粗差的q個觀測值Lq，則兩組觀測值基于Gauss-Markov平差模型的誤差方程表示為

(1)

(2)

為克服病態(tài)性的影響，重新實(shí)現(xiàn)粗差的定值定位，將嶺估計引進(jìn)平差模型，根據(jù)嶺估計的定義，則第1組觀測值的平差準(zhǔn)則為

(3)

其中：κ為嶺參數(shù)，M為對稱正定矩陣，對于嶺估計，M通常為單位陣，觀測式(1)在式(3)條件下得到的估計值即為部分最小二乘嶺估計。

首先對于式(3)關(guān)于X求極小值，即有

(4)

再將式(1)代入式(4)得到參數(shù)解為

(5)

根據(jù)式(1)、式(5)得到第1組觀測數(shù)據(jù)的殘差為

(6)

相應(yīng)的單位權(quán)中誤差估值為

(7)

最后將式(5)代入式(2)得第2組觀測值的改正數(shù)為

(8)

2粗差定位

實(shí)際測量中，粗差的個數(shù)與位置事先是無法得知的，通過逐步搜索每次定位一個粗差，直到找到全部粗差為止。觀測值不含誤差時其單位權(quán)中誤差明顯小于含粗差時的單位權(quán)中誤差，因此，搜索過程中，通過判斷最小二乘嶺估計中最小的單位權(quán)中誤差減小的程度決定是否繼續(xù)搜索。結(jié)合文獻(xiàn)[2]的判別標(biāo)準(zhǔn)與部分最小二乘嶺估計，本文采用下式對單位權(quán)中誤差減小的顯著性進(jìn)行判斷。

(9)

若bizhi>2，單位權(quán)中誤差顯著變小，說明觀測數(shù)據(jù)中只含一個粗差，該單位權(quán)中誤差所對應(yīng)的觀測值在原觀測數(shù)據(jù)中的位置即為粗差位置q1，結(jié)束搜索；

若bizhi<2，單位權(quán)中誤差有所減小但并不明顯，表示觀測值至少含2個粗差，需要繼續(xù)進(jìn)行搜索，進(jìn)入步驟3)。

最后根據(jù)定位結(jié)果將觀測值分為含粗差與不含粗差兩組，對第1組觀測值重新平差求得部分最小二乘嶺估計，再根據(jù)式(8)算得粗差估值。

3算例分析

為了驗證方法的有效性，現(xiàn)模擬一個算例進(jìn)行證明。觀測值為：L=BX+Δ，Δ～N(0,1)，觀測值數(shù)n=10，X的真值為X=[11111]T，必要觀測數(shù)t=5，其設(shè)計矩陣為

不妨在第2、6個觀測值處分別加入大小為10的粗差。

根據(jù)病態(tài)性診斷方法中的條件數(shù)法[13]，計算法方程系數(shù)陣N=BTPB的條件數(shù)為1.289 2×105，病態(tài)性嚴(yán)重。

1)利用部分最小二乘法探測粗差。粗差搜索過程中，假設(shè)觀測數(shù)據(jù)不含粗差時，平差求得的單位權(quán)中誤差為1.686 6；假設(shè)觀測值含一個粗差時，計算得到單位權(quán)中誤差最小值為0.832 3，位置為第2個觀測值，計算單位權(quán)中誤差比值大于2，搜索結(jié)束，判斷原觀測值只有第2個觀測值含粗差，與真實(shí)粗差位置不符?；诖硕ㄎ唤Y(jié)果算得的參數(shù)解為

-118.402 43.989 9]T，

其值遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離真值。

圖1　假設(shè)有1個粗差時的單位權(quán)中誤差

圖2　假設(shè)有2個粗差時的單位權(quán)中誤差

計算結(jié)果表明，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)的法方程矩陣病態(tài)時，傳統(tǒng)的部分最小二乘法對粗差定值定位失?。徊糠肿钚《藥X估計方法可以在觀測數(shù)據(jù)存在病態(tài)問題時實(shí)現(xiàn)多個粗差的定值定位。

4結(jié)論

對法方程矩陣病態(tài)的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行粗差探測，本文結(jié)合嶺估計與部分最小二乘法各自的優(yōu)點(diǎn)，提出了基于部分最小二乘嶺估計的粗差探測方法，在改善數(shù)據(jù)病態(tài)性的同時，實(shí)現(xiàn)粗差的定值定位。通過公式推導(dǎo)與算例分析，可以得到如下結(jié)論：

1)當(dāng)觀測數(shù)據(jù)同時存在粗差與病態(tài)問題時，因病態(tài)性的影響，傳統(tǒng)的部分最小二乘法無法對粗差定值定位。本文通過引入嶺估計解決病態(tài)問題，并結(jié)合部分最小二乘原理推導(dǎo)出了部分最小二乘嶺估計。

2)基于部分最小二乘嶺估計得到了粗差估值表達(dá)式，通過逐次逐個搜索方法實(shí)現(xiàn)對多個粗差定位。利用模擬算例證明該方法能對多個粗差進(jìn)行準(zhǔn)確定位，且得到的粗差估值接近其真實(shí)值。

3)本文方法豐富了部分最小二乘理論，擴(kuò)大了其適用范圍，為處理包含粗差與病態(tài)問題的觀測數(shù)據(jù)提供了一種思路。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

Location and evaluation of gross error based on partly least square ridge estimationJIN Lihong1, LYU Yuting2,3, WANG Yao2, XU Yunpeng2, ZHANG Xiaolong4

(1.City College,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430083,China；2.School of Information Engineering, China University of Geosciences, Wuhan 430074,China;3.Patent Examination Cooperation Center of the Patent Office, SIPO, Chengdu 610213,China;4.The Fourth Construction Engineering Co.,Ltd. of China Construction Second Engineering Bureau, Zhengzhou 450000,China)

Abstract：By using the principle of partly least square to locate and value the gross errors in the observational data, the matrix equation of the adjustment model may have ill-posed problems, which results in the locations and evaluations of the gross error unreliable. For the observational data which contain gross errors and have ill-posed problems,firstly,this paper chooses the ridge estimation to deal with the ill-posed problems,then proposes a method based on the partly least square ridge estimation to locate and value the gross errors, and the specific search steps for gross errors are given. The locations and evaluations of the gross error can be gotten through the iterative algorithm. At last, the method of partly least square and the partly least square ridge estimation to locate and value the gross errors in one simulating computation are analyzed. The proposed method’s validity is verified. This method discusses the gross error approach from another perspective, which will extend the existing error theory.

Key words：gross error;ill-posed problem;partly least square;ridge estimation;location and evaluation

中圖分類號：P207

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)06-0061-04

作者簡介：金麗宏(1977-)，女，副教授.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(41374017)

收稿日期：2015-03-25