利用ARMA模型短期預(yù)報北極地區(qū)電離層TEC

盧建春，喬書波，馮　煒，祝海峰

(1.信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450001；2.中國科學(xué)院 測量與地球物理研究所，湖北 武漢 430077；3.北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094)

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利用ARMA模型短期預(yù)報北極地區(qū)電離層TEC

盧建春1，喬書波1，馮煒2,3，祝海峰1

(1.信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450001；2.中國科學(xué)院 測量與地球物理研究所，湖北 武漢 430077；3.北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094)

摘要：北極地區(qū)電離層結(jié)構(gòu)分布較為特殊，存在梯度變化。利用時間序列分析中的自回歸移動平均模型(Autoregressive Moving Average，ARMA)對歐洲定軌中心(CODE)發(fā)布的北緯67.5°~87.5°以及利用反距離加權(quán)插值法得到的90°的格網(wǎng)數(shù)據(jù)逐點進行建模，分別利用7 d、10 d、20 d、30 d、40 d、50 d的電離層TEC值為樣本數(shù)據(jù)采用線性最小方差法進行預(yù)報分析。結(jié)果表明：90%以上的預(yù)報絕對誤差小于3 TECU，預(yù)報精度隨TEC樣本序列長度的增加而提高，但樣本序列增加到一定值后，相對精度提高不大；相同樣本數(shù)據(jù)的預(yù)報精度隨預(yù)報時間長度的增加而降低，起初不是很明顯，超過20 d后精度降低明顯且波動幅度較大。盡管北極地區(qū)存在梯度變化，ARMA模型在北極地區(qū)具有較高的預(yù)報精度，是一種比較理想的預(yù)報方法。

關(guān)鍵詞：ARMA；北極地區(qū)；電離層TEC；線性最小方差預(yù)報

電離層延遲是影響無線電信號傳播的主要誤差源之一[1]。電離層總電子含量(Total Electron Content,TEC)隨著周日、季節(jié)、周年以及太陽活動周期的變化而變化，其變化對導(dǎo)航定位、遠程通信、航空航天、天氣預(yù)報等具有重要影響[2-4]。時間序列模型具有樣本數(shù)據(jù)要求少、建模理論完善、計算過程相對簡單、外延性好以及短期預(yù)報精度高等優(yōu)勢[5-6]。利用時間序列模型可以有效地對電離層TEC進行預(yù)報分析，許多學(xué)者做了大量的工作，文獻[7-9]利用時間序列方法對IGS發(fā)布的電離層格網(wǎng)數(shù)據(jù)逐點進行建模預(yù)報，預(yù)報精度5 d內(nèi)可達到80%左右。文獻[10]提出了先用球諧函數(shù)模型擬合數(shù)據(jù)，然后對模型系數(shù)采用時間序列方法預(yù)報，最后由預(yù)報的系數(shù)求得相應(yīng)的電離層預(yù)報值，減小了計算工作量。文獻[11]利用改進的修正預(yù)測法，即用上一周期的預(yù)測誤差改正修正預(yù)測法的結(jié)果，減小了極值點處的預(yù)測誤差。文獻[5]采用求和自回歸移動平均模型，在充分考慮乘積性季節(jié)模型的情況下對電離層TEC時間序列進行了預(yù)報分析，達到較高的預(yù)報精度。文獻[12]實現(xiàn)了基于輪胎調(diào)和分析的電離層TEC球諧系數(shù)模型并采用ARMA模型對球諧系數(shù)的時間序列進行了預(yù)報并獲得了較高的預(yù)報精度等。

雖然很多學(xué)者利用時間序列模型預(yù)報分析電離層TEC取得了一定成果，但是由于北極地區(qū)電離層的特殊形態(tài)會導(dǎo)致TEC的顯著波動[13]。常用的全球電離層改正模型在此地區(qū)的適應(yīng)性較差，例如適用于單頻接收機的Klobuchar模型[14]只能預(yù)報出一天內(nèi)電子含量的50%～60%[15]，電離層活動劇烈的高緯度和低緯度地區(qū)，預(yù)報效果更差；球諧函數(shù)模型在北極地區(qū)適應(yīng)性也較差，預(yù)報效果不理想等；而時間序列分析可以對一組有序數(shù)據(jù)進行觀察、研究，找到它的變化發(fā)展規(guī)律，能夠較好地預(yù)報其走勢?；诖?，本文利用CODE提供的電離層TEC數(shù)據(jù)，采用時間序列模型對北緯67.5°~87.5°以及利用反距離加權(quán)插值法得到的90°的電離層TEC進行了預(yù)報，同時對影響該方法預(yù)報精度的因素進行了分析。試驗結(jié)果表明：90%以上的預(yù)報誤差小于3 TECU；預(yù)報精度隨著TEC樣本序列長度的增加而提高，但樣本序列增加到一定值后，相對精度提高不大；相同樣本數(shù)據(jù)的預(yù)報精度隨預(yù)報時間長度的增加而降低，起初不是很明顯，超過20 d后精度降低明顯且波動幅度較大。盡管北極地區(qū)存在梯度變化，ARMA模型在北極地區(qū)具有較高的預(yù)報精度，是一種比較理想的預(yù)報方法。

1ARMA模型

ARMA模型[16]是一種綜合了自回歸模型(Autoregressive,AR)和滑動平均模型(Moving Average,MA)的預(yù)報方法[17-18]。ARMA(p，q)模型的結(jié)構(gòu)如下[19]：

(1)

其中:{xt}為時間序列過程；{εt}為白噪聲序列；φ1，…，φp為自回歸系數(shù)；θ1，…，θp為滑動平均系數(shù)[20]。

1.1模型識別及參數(shù)的確定

(2)

近似模型為

(3)

(4)

(5)

(6)

則目標(biāo)函數(shù)可以寫成

(7)

極小化目標(biāo)函數(shù)后便可得到參數(shù)的最小二乘估計，其解為

(8)

白噪聲方差的最小二乘估計為

(9)

然后根據(jù)白噪聲方差分別計算不同(p,q)條件下的AIC或BIC值，取AIC或BIC達到最小時的(p,q)作為模型的階數(shù)，對應(yīng)的參數(shù)即為模型系數(shù)。

1.2時間序列法預(yù)報電離層TEC

預(yù)報是利用已觀測到的樣本值估算未來時刻的值，目前最常采用線性最小方差預(yù)報的方法預(yù)報平穩(wěn)時間序列

(10)

式中，

(11)

2利用ARMA模型預(yù)報試驗分析

CODE每2 h發(fā)布的電離層格網(wǎng)信息，包括經(jīng)度方向間隔5°，緯度方向間隔2.5°共5 183個格網(wǎng)點的TEC數(shù)據(jù)。選取2011年年積日為161~167 d(7 d)、158~167 d(10 d)、148~167(20 d)、138~167(30 d)、128~167(40 d)、118~167 d(50 d)北緯67.5°~90°(其中90°的格網(wǎng)數(shù)據(jù)采用反距離加權(quán)插值法得到)的電離層格網(wǎng)數(shù)據(jù)逐點建立模型并進行預(yù)報分析，預(yù)報天數(shù)為7 d，用CODE發(fā)布的年積日為168~174 d的TEC值(作為真實值)與預(yù)報的電離層TEC作比較得到預(yù)報精度，為了考察預(yù)報結(jié)果的精度，筆者采用相對精度

(12)

式中:Ipre為預(yù)報的電離層TEC值；Icode為CODE發(fā)布的TEC值。

圖1為第173號點樣本序列的自相關(guān)和偏相關(guān)圖，由圖可知，該點樣本序列的自相關(guān)、偏相關(guān)自始至終表現(xiàn)出很強的相關(guān)性，即拖尾現(xiàn)象，這與ARMA模型的特性相符合，所以采用ARMA建立預(yù)報模型(其它點類同)。

圖1　第173號點樣本序列的自相關(guān)與偏相關(guān)圖

過高的階數(shù)會使ARMA模型參數(shù)較多，降低模型的穩(wěn)健性，且較多的參數(shù)會在很大程度上增加計算量[24]?？紤]到模型的預(yù)報精度和工作量，作者將自回歸階數(shù)p和滑動平均階數(shù)q的上限均取為12，ARMA模型采用使AIC達到最小的作為模型的階數(shù)。

2.1所建ARMA模型性能分析

為了分析所建電離層TEC時間序列模型的整體性能，反演了2011年年積日為118~167 d中7 d、10 d、20 d、30 d、40 d、50 d等不同樣本數(shù)據(jù)的時間序列，觀察反演效果。圖2是利用30 d的樣本數(shù)據(jù)反演第2天的TEC值與實際觀測值的絕對誤差圖。

圖2　反演電離層TEC的絕對誤差值

圖2是從北極進行方位投影的電離層TEC的極坐標(biāo)圖，圖中以北極點為坐標(biāo)原點，北極點與零度經(jīng)線投影的連線構(gòu)成X軸，坐標(biāo)原點為90°，向外以2.5°遞減直到67.5°，半徑以90°為0向外以2.5遞增，緯度為67.5°時半徑為22.5。從圖中可以看出，絕對誤差基本都在1TECU以內(nèi)，極個別點的絕對誤差在2TECU左右，這些絕對誤差表明構(gòu)建的時間序列模型反演性能良好。

2.2北極地區(qū)電離層TEC預(yù)報

取2011年年積日為118~167 d CODE提供的北緯67.5°~87.5°以及采用反距離加權(quán)插值法得到的90°的格網(wǎng)TEC數(shù)據(jù)作為序列樣本進行時間序列分析，采用7-7、10-7、20-7、30-7、40-7、50-7 6種模式對168~174 d的電離層TEC進行預(yù)報，研究了所采用樣本數(shù)據(jù)的長短對預(yù)報結(jié)果的影響，同時分析了該方法所能達到的最大預(yù)報長度。限于篇幅，僅給出了樣本數(shù)據(jù)長度為30 d的時間序列預(yù)報第1天的絕對誤差圖和實際觀測圖(見圖3)。

圖3　預(yù)報第1天的絕對誤差圖和實際觀測圖

圖3中各圖的原點、坐標(biāo)軸、半徑與圖2相同。由圖3分析可知，利用基于ARMA模型的時間序列分析法預(yù)報得到的TEC值與實際觀測值符合的較好，在大多數(shù)情況下，預(yù)報絕對誤差在3 TECU以內(nèi)，與CODE本身提供的TEC值精度相當(dāng)。對比圖3(a)和圖3(b)可以發(fā)現(xiàn)預(yù)報絕對誤差相對較大的點正好對應(yīng)于實測值較大的點。

表1為預(yù)報7 d預(yù)報絕對誤差Δ的百分比統(tǒng)計，由統(tǒng)計結(jié)果可知，預(yù)報7 d時，有超過50%的數(shù)據(jù)預(yù)報絕對誤差小于1 TECU；超過30%的數(shù)據(jù)預(yù)報絕對誤差落在1~2 TECU區(qū)間內(nèi)，90%以上的預(yù)報絕對誤差小于3 TECU。盡管北極地區(qū)電離層變化迅速且構(gòu)造特殊造成其存在梯度變化[13]，但從電離層TEC預(yù)報絕對誤差的百分比統(tǒng)計可以看出，ARMA模型在北極地區(qū)具有較強的適應(yīng)性，預(yù)報精度較高，是一種比較理想的預(yù)報方法。

表1　預(yù)報7 d預(yù)報絕對誤差Δ(單位：TECU)的百分比統(tǒng)計

圖4為采用上述6種預(yù)報模式的平均相對精度對比圖。由圖可知，樣本序列長度在一定程度上影響預(yù)報精度，在最初階段，隨著樣本序列長度的增加，預(yù)報精度有較明顯的提高；樣本序列增加到一定長度后變化不再明顯，樣本序列超過一定長度后，預(yù)報精度隨著樣本序列的增加開始下降。從圖中可以看出，30 d左右的樣本序列長度最佳，再增加樣本序列長度對平均相對精度不會有明顯的提高。

圖4　6種預(yù)報模式的相對精度對比

圖5為筆者取2011年年積日為118~124 d北緯67.5°~90°的電離層TEC作為樣本數(shù)據(jù)向后預(yù)報50 d的平均相對精度圖，由圖可以看出，預(yù)報精度隨預(yù)報時間的增加大致呈下降趨勢，預(yù)報精度在前20 d左右平均相對精度在75%以上，且前10 d的平均相對精度在80%左右，超過20 d平均相對精度隨時間的增加下降明顯且波動幅度較大。

圖5　預(yù)報50 d每天的平均相對精度統(tǒng)計

3結(jié)論

與中緯度地區(qū)不同，高緯度地區(qū)特別是極區(qū)上空的電離層變化規(guī)律不明顯，存在電離層梯度變化，對其進行預(yù)報的難度較大，但是根據(jù)CODE發(fā)布的電離層格網(wǎng)數(shù)據(jù)，采用ARMA模型的預(yù)報結(jié)果較為理想，經(jīng)大量試驗分析，可以得到如下結(jié)論：

1)ARMA模型在北極地區(qū)預(yù)報電離層TEC是可行的，預(yù)報絕對誤差小于1 TECU和落在1~2 TECU區(qū)間內(nèi)的點占大多數(shù)，超過90%的絕對誤差在3 TECU以內(nèi)。

2)對于相同的預(yù)報時間長度，采用不同的樣本數(shù)據(jù)長度具有不同的預(yù)報精度，規(guī)律是：預(yù)報所采用的樣本數(shù)據(jù)長度能明顯影響預(yù)報精度。在一定樣本數(shù)據(jù)長度內(nèi)，隨著樣本長度的增加，預(yù)報精度有較明顯的提高，但樣本超過一定長度后(30 d左右)，預(yù)報精度提高不大，隨著樣本數(shù)據(jù)長度的繼續(xù)增加預(yù)報精度反而有所下降。

3)對于相同的樣本數(shù)據(jù)，一般平均相對精度隨預(yù)報時間的增加而降低，前20 d左右平均相對精度波動幅度較小，超過20 d后，平均相對精度隨時間衰減明顯且波動幅度較大。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

Short-term TEC prediction of the arctic ionosphere based on ARMA mode

lLU Jianchun1，QIAO Shubo1，F(xiàn)ENG Wei2,3，ZHU Haifeng1

(1.Information Engineer University,Zhengzhou 450001，China；2.Institute of Geodesy and Geophysics,Chinese Academy of Sciences,Wuhan 430077，China；3.Beijing Application and Development Center of Round-the-World Information，Beijing 100094，China)

Abstract：The Arctic ionosphere structure distribution is special，which embraces the changes of gradient.The autoregressive moving average (ARMA) model is used from the time analysis theory to model the grid data of latitude 67.5°~87.5°provided by Center for Orbit Determination in Europe (CODE) and latitude 90° is obtained using Inverse Distance to a Power point by point.The ionosphere TEC of 7 days，10 days，20 days，30 days，40 days，50 days as sample data are adopted plus the linear minimum variance method for prediction.The results show that more than 90% of predicted absolute error is less than 3 TECU.The predicted accuracy will be improve with the increase of TEC sample sequences length，but it will gradually reduce if the length exceeds the optimal length about 40 days.On the other hand，with the same TEC sample，and the predicted days increase，the predicted accuracy decreases.Though it is not very obvious in the beginning，it will be reduced distinctly and the fluctuation will be larger over 20 days.Despite the existence of change of gradient in the Arctic，the ARMA model has good predicted accuracy,which will be a kind of ideal predicted model.

Key words：ARMA；Arctic；ionosphere TEC；linear minimum variance prediction

中圖分類號：P228

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)03-0030-05

作者簡介：盧建春(1989-)，男，碩士研究生.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(U1431115；41374042)；大地測量與地球動力學(xué)國家實驗室開放式基金資助項目(SKLGED 2014-3-5-E)

收稿日期：2015-06-15