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      由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機泛函微分方程傳輸不等式

      2016-04-11 02:10:02徐麗平李治長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院湖北荊州434023

      徐麗平,李治 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

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      由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機泛函微分方程傳輸不等式

      徐麗平,李治(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

      [摘要]通過分形分析方法,在Riemann-Stieltje積分意義下,對關(guān)于分數(shù)布朗運動的積分建立一些合理的估計,利用所建立的估計在賦予一致度量的連續(xù)函數(shù)空間上,對一類參數(shù)的分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機泛函微分方程解的概率分布建立Talagrand-類型T1傳輸不等式。

      [關(guān)鍵詞]傳輸不等式;Girsanov定理;分數(shù)布朗運動

      假設(shè)(E,d)是賦予σ-域β的度量空間,且d是β?β-可測的。給定常數(shù)p≥1和E上的概率測度μ,ν,Wasserstein距離定義為:

      這里,φ(μ,ν)表示所有E×E上邊緣分布為μ和ν的乘積概率測度。Talagrand[1]對Rn上的標(biāo)準(zhǔn)的Gaussian測度μ建立了傳輸不等式:

      f>0μ(f)=0

      其中,d(x,y)=|x-y|。

      一般地,如果存在常數(shù)C≥0使得對任意的概率測度ν滿足:

      (1)

      (2)

      其中,Cτ=C([-τ,0];R)是[-τ,0]→R賦予一致范數(shù)‖·‖∞的連續(xù)函數(shù)空間;對?u∈[-τ,0],Xt∈Cτ表示函數(shù)Xt(u)=X(t+u);b,σ:Ω×[0,T]×Cτ→R。

      方程(2)中的隨機積分是樣本軌道意義下的Riemann-Stieltje積分。下面,筆者將應(yīng)用一些最新的分數(shù)微分方程的結(jié)論和Girsanov變換方法,對方程(2)解的概率分布建立傳輸不等式。

      1預(yù)備知識

      對任意給定的T,考慮區(qū)間[0,T],設(shè)(Wt)t∈[0,T]是定義在概率空間(Ω,F,P)上的布朗運動,記Ft=σ(Ws,s≤t)表示W(wǎng)生產(chǎn)的σ-代數(shù)。設(shè)BH=(BH(t))t∈[0,T]是定義在(Ω,F,P)由W變換得到的分數(shù)布朗運動,也就是說BH能表示為:

      (3)

      式中,核函數(shù)KH被定義為:

      (4)

      如果s≥t,則KH(t,s)=0。

      對給定的實數(shù)0≤λ≤1及0≤s

      ‖f‖λ=‖f‖s,t,∞+‖f‖s,t,λ

      其中:

      考慮下面的假設(shè)條件:

      (H1)函數(shù)b(t,ξ)是連續(xù)的,進一步,b(t,ξ)對t關(guān)于ξ是Lipschitz連續(xù)和線性增長的,即存在常數(shù)L1,L2使得對所有的ξη∈Cτ及t∈[0,T]滿足:

      |b(t,ξ)-b(t,η)|≤L1‖ξ-μ‖

      |b(t,ξ)|≤L2(1+‖ξ‖)

      (H2)函數(shù)σ(t,ξ)連續(xù)且對ξFrechet可微,進一步,存在常數(shù)L3,L4,L5使得對所有的ξ,η∈Cτ及t∈[0,T]滿足:

      |Dξσ(t,ξ)|≤L3

      |Dξσ(t,ξ)-Dξσ(t,η)|≤L4‖ξ-η‖

      |σ(t,ξ)-σ(s,ξ)|+|Dξσ(t,ξ)-Dξσ(s,ξ)|≤L5|t-s|

      在假設(shè)條件(H1)、(H2)下,文獻[9]證明了如果1-H<α

      2由粗糙函數(shù)驅(qū)動的確定性微分方程

      這里處理由Holder連續(xù)函數(shù)驅(qū)動的確定性微分方程,主要目的是證明由2個不同的Holder連續(xù)函數(shù)驅(qū)動的確定性微分方程的解關(guān)于一致度量d∞的估計。

      (5)

      的可測函數(shù)f:[0,T]→R和g:[0,T] →R,其中:

      C1-α+ε([0,T];R)?W1-α+∞([0,T];R)?C1-α([0,T];R)?ε>0

      給定函數(shù)f∈Wα,1([0,T];R)及g∈W1-α,∞([0,T];R),由分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子[11]定義的一般化Stieltjes積分為:

      定義:

      進一步,有:

      (6)

      對任意的λ≥0,在空間C1-α([a,b];R)中引入下面的等價范數(shù):

      (7)

      (8)

      這里x0=φ∈Cτ。

      ‖x‖t-α,λ0≤M0

      其中,λ0是依賴于T,α,Li的常數(shù);M0是依賴于T,α,φ,Li的常數(shù);i=1,…,5。

      (9)

      (10)

      證明由式(6),σ的有界性及假設(shè)條件(H2)知:

      |Jσ(x)(t)|≤∧α(g)‖σ(xt)‖α,1

      引理1得證。

      進一步,如果令Δ=(2L1)-1∧1,則對所有的T≤Δ,存在常數(shù)K使得:

      (11)

      證明由方程(7)和(8)知:

      利用式(6)及引理1有:

      因此:

      (12)

      在式(12)中,令t=T并注意到對T≤1,有T1-α≥T2-2α≥T2-α,于是得到式(11)。

      3主要結(jié)果

      引理2[2]設(shè)μ是度量空間(E,d)上的概率測度,ξ,ξ′是概率分布為μ取值與E的2個獨立的隨機變量,如果:

      有限,則μ在(E,d)上滿足傳輸不等式T1(C)。

      (13)

      下面估計∧α(BH)。根據(jù)∧α的定義知:

      因此:

      另一方面,利用文獻[7]中引理8知:

      在式(13)兩邊取期望得:

      因此,定理1得證。

      注1在方程(2)中,如果τ=0,b,σ是時齊的,定理1弱化為文獻[8]中的定理2,而文獻[8]定理2的T1(C)性質(zhì)中的常數(shù)C獨立于初始值。但是對于泛函情況,在定理1中的C依賴于初值。盡管如此,對于僅僅漂移項含有時間延遲的情況下方程(2)的T1(C)性質(zhì)中的常數(shù)C也獨立于初始值φ。

      (14)

      可以得到定理2。

      證明從定理1 的證明可知,如果命題1中的K獨立于初始值函數(shù)φ,則定理2立即成立。為此,定義:

      接下來估計Gσ(x)(t)。由式(6),σ的有界性及假設(shè)條件(H2)知:

      |Gσ(x)(t)|≤∧α(g)‖σ(t,x(t))‖α,1

      考慮下面2個確定性微分方程:

      (15)

      (16)

      這里x(0)=φ(0)。

      類似于命題1的證明,定義Δ=(2L1)-1∧1,則對所有的T≤Δ,存在獨立于初始函數(shù)φ的常數(shù)K使得:

      證畢。

      4結(jié)語

      利用分形分析的方法,在R上對一類分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機泛函微分方程在一致度量空間上建立了T1傳輸不等式。進一步,將在無窮維空間中,利用Girsanov變化方法對分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機時滯偏微分方程和中立型方程建立T1和T2傳輸不等式。

      [參考文獻]

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      [12] Nualart D, Rascanu A.Differential equations driven by fractional Brownian motion[J]. Collect Math, 2002,53: 55~81.

      [編輯]洪云飛

      [文獻標(biāo)志碼]A

      [文章編號]1673-1409(2016)01-0070-07

      [中圖分類號]O211.63

      [作者簡介]徐麗平 (1980-),女, 碩士, 講師,現(xiàn)主要從事隨機微分方程方面的教學(xué)與研究工作; E-mail: xlp211@126.com。

      [基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(11271093); 湖北省教育廳青年人才項目(Q20141306)。

      [收稿日期]2015-10-28

      [引著格式]徐麗平,李治.由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機泛函微分方程傳輸不等式[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版),2016,13(1):70~76.

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