一類三維Hopf流形上全純線叢的Hodge數

甘 寧(集美大學理學院,福建廈門361021)

?

一類三維Hopf流形上全純線叢的Hodge數

甘 寧
(集美大學理學院,福建廈門361021)

摘要:設X是一個三維的主Hopf流形C3-{0}/,這里g是一個非對角的收縮.利用Douady序列及群作用的方法,計算了X上全純線叢的上同調群的Hodge數.這些結果將有助于研究非代數流形上線叢的結構.

關鍵詞:Hopf流形;上同調;全純線叢;Hodge數

非代數流形上的向量叢是多復變及復幾何研究中的一個熱點,具體一些結果可參見文獻[1-2]. Hopf流形是一類簡單但卻很重要的緊的非K?hler流形,Mall在文獻[3]中研究了主Hopf流形上的全純線叢,并給出了主Hopf曲面及對角型的主Hopf流形上全純線叢的Hodge數的計算公式,對于一般的非主Hopf流形上的相應結果可參閱文獻[4-5].在這篇文章中我們運用了文獻[3]中的Douady序列并利用群作用的方法給出了一類非對角的三維主hopf流形上全純線叢Hodge數的計算公式.這些結果在研究三維Hopf流形的幾何性質中有重要的應用[6-7].

1 Hopf曲面,平坦線叢,Douady序列

Hopf流形是一個緊復流形,其萬有覆蓋空間雙全純等價于W,這里W=Cn-{0}.Hopf流形X具有商空間的形式W/G,G是W→W的一個自同構群,G作用在W上是真不連續(xù)以及固定點自由的,π:W→X=W/G為典范的投影,X的基本群π1(X)?G.當G是無限循環(huán)群時,X稱為主Hopf流形,否則稱為第2類或者非主Hopf流形.

我們稱映射f:(Cn,0)→(Cn,0),n≥2為一個收縮,它表示f∈Aut(Cn),f(0)=0,且當n→∞時, fn(B)收斂于0,這里B是Cn中的閉球.若f∈Aut(Cn),f(0)=0,且具體形式為f:(z1,z2,…,zn)→(μ1z1,μ2z2,…,μnzn),其中μ1,μ2,…,μn都落在單位圓盤內,則稱f為對角收縮.主Hopf流形的基本群G由一個收縮f生成.Verbitsky[8]研究了對角主Hopf流形上全純向量叢.Mizuhara[9]根據f對三維的主Hopf流形進行了分類,本文討論了其中一類線性非對角收縮的主Hopf流形上的線叢.

光滑流形M上的一個光滑復線叢E稱作是平坦的,如果它允許一個平坦的結構,即在M上存在一個開覆蓋,使得在此開覆蓋上,E的過渡函數族都是C*=C-{0}中的常數[10].

Mall在文獻[3]中證明了任意Hopf流形上的全純線叢都是平坦的.

設L是X上的平坦的全純線叢,因此L是W×C在其基本群表示作用下的商,其中W×C為X的萬有覆蓋空間上平凡線叢.設

ρL:π1(X)→C*

是X的基本群π1(X)的表示,則L是W×C在下面基本群π1(X)?Z表示作用下的商:

這里ρL是π1(X)的一個表示

其中bm為b的m次冪.用Lb表示由π1(X)在上述作用下誘導的平坦向量叢,這里b∶=ρL(1).

本文考慮一類三維的主Hopf流形X,X由一個非對角收縮f生成,這里

其中0<ρ1<ρ2<1.參見文獻[9].

下面將給出

的計算公式以及有關計算結果.

取主Hopf流形X的一個開覆蓋A={Ui}使得所有Ui為X的可縮的Stein子集,并且Ui∶=π-1(Ui)是W的開的Stein子集{U'ij}一個不交并,它們每一個同構于Ui:

因為平坦的全純向量叢一定是具有平凡拉回的全純向量叢,所以由文獻[3],復形序列(1)是正合的.由上面正合的ˇcech復形序列(1),可以得到下面的上同調的長正合Douady序列:

這里Pi∶=b-f*.由文獻[11],知道H1(W,O)=0.因為

所以序列(2)可化為如下的長正合序列:

定義hp,qb∶=dim Hq(X,ΩpX(Lb)),由上面的正合序列(3),立即得到下面的結果:

由文獻[12],對于b∈C*,那么P=bId-f*是一個Fredholm算子,其指標index P=dimker P-dimcoker P=0.因此有:

引理1 X是一個3維的主Hopf流形,Lb是X上的平坦的全純向量叢,那么:

2　上同調維數的顯式表達式

定理1 設X是一個3維的主Hopf曲面,X由一個非對角收縮f生成,這里

其中0<ρ1<ρ2<1.Lb∈H1(X,O*)是X上的一個平坦線叢,對于(m,n∈N),有如下結果(見表1).

證明 由引理1,我們只要計算dimker P0及dimker Pn-1.又由Serre對偶Hq(X,ΩpX(Lb))= Hn-q(X,Ωn-pX(Lb-1)),則可不必計算dimker Pn-1.

(i)計算h0(X,O(Lb)).

全純截面ω∈Γ(W,O)可寫為

有:

比較變量z1,z2,z3的指數,可以得到條件:

上面方程的解為:

令j∶=l-β,則α=k-j,故j可取值:0,1,…,α.顯然有l(wèi)=β+j.

因此

表1　上同調維數Tab.1 The dimension of cohomology

可以得到:

重新寫成形式:

上面條件可重新寫成齊次線性方程組:

這里

以及

上面的齊次線性方程組有非零解Aα,當且僅當b -ρα1ργ2=0,此時aα,0,γ≠0,在此情形下解空間的維數為1.因此有

(ii)計算h0(X,Ω1X(Lb)).

全純截面ω∈Γ(W,Ω1W)可寫為

我們有:

由P0ω=(bId-f*)ω=0得:

如(i)中的方法,式(4)有非零解當且僅當b=ρα+11 ργ2,此時a2α,0,γ≠0;式(5)有非零解當且僅當b=ρα1,此時a3α,0,γ≠0.因此式(6)可化簡為:

及

上面條件可重新寫成線性方程組:

這里

以及

若Bα2≠0,即a2α,0,γ≠0,則b=ρα+11 ργ2,那么此線性方程組的解空間維數為1.因此有:

(iii)計算h0(X,Ω2X(Lb)).

全純截面ω∈Γ(W,Ω1W)可寫為

有

由P0ω=(bId-f*)ω=0得:

式(7)有非零解當且僅當b=ρα+11 ργ+12,此時a1α,0,γ≠0; 式(8)有非零解當且僅當b=ρα+21 ργ2,此時a3α,0,γ≠0.因此式(9)可化簡為:

及

上面條件可重新寫成線性方程組:

這里

以及

若Bα3≠0,即a1α,0,γ≠0,則b=ρα+11 ργ+12,那么此線性方程組的解空間維數為1.因此有:

(iv)計算h0(X,Ω3X(Lb)).

全純截面ω∈Γ(W,Ω3W)可寫為

有:

由P0ω=(bId-f*)ω=0得:

類似于(i)的計算得:

參考文獻:

[1] BRIN ZANESCU V.Holomorphic vector bundles over compact complex surfaces[C]∥Lecture Notes in Mathematics 1624.Berlin:Springer-Verlag,1996:23-27.

[2] TELEMAN A,TOMA M.Holomorphic vector bundles on non-algebraic surfaces[J].Comptes Rendus Mathematique,2002,334(5):383-388.

[3] MALL D.The cohomology of line bundles on Hopf manifolds[J].Osaka J Math,1991,28:999-1015.

[4] GAN N,ZHOU X Y.Some results on holomorphic vector bundles over general hopf manifolds[J].數學進展,2005, 34(4):245-248.

[5] GAN N,ZHOU X Y.The cohomology of line bundles on non-primary Hopf manifolds[J].Acta Mathematica Sinica,English Series Feb,2007,23(2):289-296.

[6] GOLDBERG S I.Curvature and homology[M].New York:Academic Press,2011:132-145.

[7] BARTH W,PETER C.Compact complex surfaces[M]. Berlin:Springer-Verlag,2003:225-227.

[8] VERBITSKY M.Holomorphic bundles on diagonal Hopf manifolds[J].Izv Ross Akad Nauk Ser Mat,2006,70: 867-882.

[9] MIZUHARA A.Three dimensional Hopf manifolds[J]. Acta Human Sci Univ Sangio Kyotien Natur Sci Ser, 1978,8:5-21.

[10] KOBAYASHI S.Differential geometry of complex vector bundles[M].New Jersey:Iwanami Shoten and Princeten University Press,1987:4-7.

[11] HAEFLIGER A.Deformation of transversely holomorphic flows on spheres and deformation of Hopf Manifolds[J]. Composition Math,1985,55:241-251.

[12] MALL D.Contractions,Fredholm operators and the cohomology of vector bundles on Hopf manifolds[J].Arch Math,1996,66:71-76.

The Hodge Numbers of Line Bundles on Three Dimensional Primary Hopf Manifolds

GAN Ning
(School of Sciences,Jimei University,Xiamen 361021,China)

Abstract:Let X be a three dimensional primary Hopf manifold C3-{0}/,where g is a non-diagonal contraction.We computed the Hodge numbers of the cohomology group of holomorphic line bundles over X,by the method of Douady sequence and group action.These results will facilitate the study of the structure of line bundles of non-algebraic manifolds.

Key words:Hopf surface;cohomology;holomorphic line bundles;Hodge numbers

基金項目:國家自然科學基金(10826093);福建省自然科學基金(2010J05010)

收稿日期:2015-05-29 錄用日期:2015-08-23

doi:10.6043/j.issn.0438-0479.2016.02.014

中圖分類號:O 174.56

文獻標志碼:A

文章編號:0438-0479(2016)02-0227-06

Email:ganning@jmu.edu.cn

引文格式:甘寧.一類三維Hopf流形上全純線叢的Hodge數[J].廈門大學學報(自然科學版),2016,55(2):227-232.

Citation:GAN N.The Hodge numbers of line bundles on three dimensional primary Hopf manifolds[J].Journal of Xiamen University(Natural Science),2016,55(2):227-232.(in Chinese)