N-S方程強黏性接觸間斷波的漸近穩(wěn)定性

鄭婷婷

(福建農(nóng)林大學(xué)計算機與信息學(xué)院,福建福州350002)

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N-S方程強黏性接觸間斷波的漸近穩(wěn)定性

鄭婷婷

(福建農(nóng)林大學(xué)計算機與信息學(xué)院,福建福州350002)

摘要:構(gòu)造了一類具有一般性質(zhì)的強黏性接觸間斷波,它的初始一階導(dǎo)數(shù)的L2模以及溫度振幅|θ+-θ-|為一般常數(shù).并且該黏性接觸間斷波就是N-S方程自由邊界問題漸近穩(wěn)定極限,這種強黏性接觸間斷波比以往的黏性接觸間斷波更具有一般性意義.本文的證明方法是利用拋物方程的時間空間衰減估計進(jìn)行N-S方程的常規(guī)能量估計.

關(guān)鍵詞:自由邊界;強黏性接觸間斷;漸近穩(wěn)定

本文考慮的是一維N-S方程流體力學(xué)模型

此處v+與θ±(θ+>θ-)為正常數(shù),而v0,θ0>0.并且v=v(x,t),u=u(x,t),θ=θ(x,t)與Rθ/v= p(v,θ)為對應(yīng)的體積、速度、溫度和壓力.

這個問題被稱為自由邊界問題[1].該問題漸近穩(wěn)定性的研究較多,尤其是各種弱波(即|θ--θ+|充分小)的小擾動問題,對N-S方程自由邊界問題、Cauchy問題以及流入問題都作了深入討論[2-9].然而,對于各種強波(即|θ--θ+|非充分小)的穩(wěn)定性討論卻進(jìn)展艱難,主要原因是|θ--θ+|的充分小條件在以往的參考文獻(xiàn)證明中都是必不可少的重要條件.文獻(xiàn)[10]將初值限制改為‖θ0-θ+‖L1?1.

本文去掉了文獻(xiàn)[10]中溫度初值的限制條件‖θ0-θ+‖L1(R+)?1,證明了|θ+-θ-|為任何常數(shù),而溫度初值滿足‖θ0-θ+‖L1(R+)

設(shè)Hl(R+)表示第l階Sobolev空間,并且

C或Ci(i=1,2,3…)表示一般正常數(shù),C(z)表示關(guān)于z的常數(shù)且limz→0C(z)=0.ε與εi(i=1,2, 3,…)為滿足Cauchy-Schwarz不等式的常數(shù).

1 黏性接觸間斷波的構(gòu)造

借用文獻(xiàn)[2,5,10]構(gòu)造的想法,考慮方程組

其中:

且常數(shù)α=κ-1/2(見引理1),常數(shù)δ0>0充分小.則存在與α,δ0無關(guān)的常數(shù)M0,使得Θ0滿足如下關(guān)系:

實際上,這些估計式可以通過簡單的微積分運算,并且結(jié)合基本的因式分解法an-bn=(a-b)∑n-1i=0an-1-ibi獲得,其中a,b>0.

由方程組(2)可知

參考文獻(xiàn)由[10]可知上述Θ滿足如下關(guān)系:

結(jié)合式(2)中(V,U,Θ)的關(guān)系以及式(6)～(12)可得,當(dāng)式(5)中的κ→0,在任意有限時間區(qū)間內(nèi)(V, U,Θ)為黏性接觸間斷波,即:

引理1 設(shè)α=κ-1/2,p≥1且t∈[0,T],則

‖(V-V,UU,Θ-Θ)‖Lp(R+)→0,κ→0.

證明 該引理主要利用了拋物方程(5)的時間衰減估計與熱核系數(shù)κ之間的關(guān)系得證,證明過程見文獻(xiàn)[10].

2 主要結(jié)論

設(shè)(v,u,θ)滿足式(1),(V,U,Θ)滿足式(2)且

φ(x,t)=v(x,t)-V(x,t),

ψ(x,t)=u(x,t)-U(x,t),

ζ(x,t)=θ(x,t)-Θ(x,t).(13)

將式(13)代入式(1)可得

結(jié)合式(2)可得式(14)中的初邊值條件滿足兼容性條件,且

不妨設(shè)

則對于區(qū)間I∈[0,∞),定義

那么本文主要結(jié)論如下:

定理1 設(shè)常數(shù)C>1與η0充分小,若θ0(x)-θ+∈L1(R+),‖(v0-V0,u0-U0,θ0-Θ0)‖L2(R+)≤η0,‖(v0x-V0x,u0x-U0x,θ0x-Θ0x)‖L2(R+)≤C,則式(14)存在唯一解(φ,ψ,ζ)∈X([0,∞))且

定理1的證明必須結(jié)合先驗估計和局部解的存在性完成,局部解的存在性證明可以見文獻(xiàn)[2].此處主要對如下的先驗估計進(jìn)行證明

命題1 (先驗估計)設(shè)(φ,ψ,ζ)∈X([0,t])為式(14)的解,存在與t和(v,θ)無關(guān)的正常數(shù)C(δ0)<1與C>1,使得若m≤v,θ≤M且1

3　定理的證明

首先處理相關(guān)的邊界條件.設(shè)φ(t)=φ(0,t),因為Ux(0,t)=Vt(0,t)=0,則由式(14)邊值條件可得

通過對微分方程(18)的計算,

命題以及定理的證明需要通過下面一系列引理來完成.

引理2 若C(δ0)>0為關(guān)于δ0的小常數(shù),則

證明

同理得

則

由式(6)與式(12)可得

該引理得證.

引理3 設(shè)ε1>0與C(δ0)>0為充分小常數(shù),則

證明 設(shè)Φ(z)=z-ln z-1,Ψ(z)=z-1+ln z-1,類似文獻(xiàn)[2],將式(14)的第2和3個方程分別乘以ψ與,并且相加,再結(jié)合第1個方程可得

將式(18)在(0,t)×R+上積分,并結(jié)合式(6)～(12), Cauchy-Schwarz不等式以及引理2,則該引理得證.

引理4 設(shè)ε2>0,C(δ0)>0為充分小常數(shù),則

證明 首先由于ψx=φt,

且ψ(0,t)=C(lnΘ)x(0,t).

將式(14)第2式乘以ψxx并且在(0,t)×R+上積分,類似文獻(xiàn)[10],結(jié)合引理2,引理3以及式(6)～ (13),(17),(19)可得

將式(14)第3式乘以ζxx并且在(0,t)×R+上積分,類似文獻(xiàn)[10],結(jié)合引理2,引理3以及式(6)～ (13),(17),(20)可得

結(jié)合式(20)和(21),則該引理得證.

引理5 設(shè)ε3>0和C(δ0)>0為充分小常數(shù),則

并且

因為

結(jié)合ψ(0,t)在式(14)中的定義以及φt(0,t)在式(19中的定義,則

將式(25)兩邊在(0,t)×R+上積分并結(jié)合Cauchy-Schwarz不等式,上述估計式(24)與邊界條件(26)以及引理2～4可得

于是該引理得證.

結(jié)合引理2～5,當(dāng)δ0與‖(φ0,ψ0,ζ0)‖充分小,則存在充分小的常數(shù)δ,使得

且

則C5≤|v|≤C6且C7≤|θ|≤C8,此處C5,C6,C7和 C8為與v和θ無關(guān)的常數(shù),則命題1得證.并且

則

即定理1可以得證.

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Stability of a Strong Viscous Contact Discontinuity for Navier-Stokes Equations

ZHENG Tingting
(Computer and Message Science College,Fujian Agriculture and Forestry University,Fuzhou 350002,China)

Abstract:In this paper,we construct a general strong viscous contact discontinuity as the norm of the first derivative of the initial data and its strength can be ordinary constants.We also prove that this kind of viscous contact discontinuity is just the asymptotic stability limit of a free boundary problem for Navier-Stokes equations.This type of strong viscous contact discontinuity is more significant than the weak wave researched before.Here we primarily use the time and space estimates of a parabolic equation to obtain the elementary energy estimate for Navier-Stokes equations.

Key words:free boundary problem;strong viscous contact discontinuity;asymptotic stability

基金項目:國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金(11426062);福建省教育廳科技計劃項目(JA12104)

收稿日期:2015-06-02 錄用日期:2015-08-02

doi:10.6043/j.issn.0438-0479.2016.02.012

中圖分類號:O 175.27;O 241.83

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:0438-0479(2016)02-0216-05

Email:nljj2011@126.com

引文格式:鄭婷婷.N-S方程強黏性接觸間斷波的漸近穩(wěn)定性[J].廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,55(2):216-220.

Citation:ZHENG T T.Stability of a strong viscous contact discontinuity for Navier-Stokes[J].Journal of Xiamen University (Natural Science),2016,55(2):216-220.(in Chinese)