地鐵隧道斷面變形分析方法研究

劉冠蘭，徐亞明，柏文峰

(1. 武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079； 2. 精密工程與工業(yè)測量國家測繪地理信息局

重點實驗室，湖北 武漢 430079； 3. 廣州地鐵設計研究院有限公司，廣東 廣州 510010)

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地鐵隧道斷面變形分析方法研究

劉冠蘭1，2，徐亞明1，2，柏文峰3

(1. 武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079； 2. 精密工程與工業(yè)測量國家測繪地理信息局

重點實驗室，湖北 武漢 430079； 3. 廣州地鐵設計研究院有限公司，廣東 廣州 510010)

A Method to Determine the Deformation of Tunnel Section

LIU Guanlan，XU Yaming，BAI Wenfeng

摘要：針對目前以單點描述隧道斷面變形的不足，本文采用B樣條曲線擬合隧道斷面掃描數(shù)據(jù)，計算待分析部位兩期曲線段的豪斯多夫距離，以各部位曲線段的整體變形信息來反映斷面變形。同時根據(jù)地鐵隧道斷面掃描數(shù)據(jù)的特點，提出了B樣條曲線擬合的主點選取方法以及非斷面信息的剔除方法。最后以某地鐵隧道斷面掃描數(shù)據(jù)為例，通過加入模擬變形信息擬合分析，驗證了該方法的有效性。

關鍵詞：隧道變形監(jiān)測；B樣條曲線擬合；豪斯多夫距離

傳統(tǒng)的地鐵隧道結構變形監(jiān)測主要是在隧道斷面上布設監(jiān)測點，通過單點的變形值來反映隧道斷面變形[1-3]，但單點并不能準確地反映隧道斷面。采用測量機器人或掃描儀采集相對密集的隧道斷面數(shù)據(jù)，擬合斷面曲線進行分析比較，可有效掌握斷面的整體變形信息。文獻[4—5]利用三維點云數(shù)據(jù)擬合橢圓形斷面進行收斂變形分析，但在長期不均勻荷載影響下的隧道斷面并不是標準的圓(橢圓)，采用橢圓擬合會平滑掉斷面的局部變形信息。樣條曲線是用來描述自由曲線的常用手段，對于局部偏轉角度小于π/6的點集，可以采用三次樣條曲線來擬合插值[6]。其中B樣條曲線具有局部支承性質，能夠描述隧道斷面變形的局部特性。因此對于設計為光滑曲線(馬蹄形、圓形)的隧道斷面，可采用B樣條曲線來擬合隧道斷面并進行斷面變形分析。

一、B樣條曲線擬合

B樣條曲線的參數(shù)方程定義為[5]

(1)

鑒于隧道斷面掃描數(shù)據(jù)點是有序的，本章內容僅限于有序數(shù)據(jù)點的擬合問題。B樣條曲線擬合包括3個步驟：參數(shù)化、節(jié)點矢量的確定以及最優(yōu)化擬合。數(shù)據(jù)點的參數(shù)化方法很多，本文采用累積弦長參數(shù)化法[7]。

1. 確定節(jié)點矢量

Park給出了基于主點的節(jié)點矢量確定方法[8]：假設在給定點集pi(i=1,2，…,m)中確定了主點domj(j=1,2，…，n)，其中n≤m，節(jié)點矢量的計算公式為

(2)

本文根據(jù)隧道斷面數(shù)據(jù)的特點，對主點選取方法進行了改進。對于較為光滑的隧道斷面，曲率變化相對均勻，局部最大曲率點除包含曲線形狀信息外還有部分噪聲的存在。為盡量減小噪聲的影響，在選取主點的時候以曲率和弧長兩個指標作為依據(jù)，保證節(jié)點分布在顧及曲線形狀信息的同時又相對均勻。節(jié)點矢量確定的具體過程為：

1) 計算離散點曲率值。通過連續(xù)的3個點Pi-1、Pi、Pi+1的曲線在Pi點處的離散曲率為Ki。Ki可由圓曲率來表達[9]

(3)

3) 計算節(jié)點矢量。采用式(2)計算節(jié)點矢量。

4) 曲線擬合，重新確定節(jié)點矢量。根據(jù)給定已知點集P的參數(shù)集T、節(jié)點矢量序列U，通過線性最小二乘求解各控制點，以得到初始曲線信息。由于離散點計算的曲率受噪聲影響較大，在得到初始曲線后重新計算各點曲率信息，重復步驟2)—3)確定節(jié)點矢量。當給定曲線C(t)后，pi點曲率的計算公式為

(4)

2. 最優(yōu)化曲線擬合

(5)

式中，tk為點pk到曲線上的最近點參數(shù)；d為點到曲線距離；ρ為tk處的曲率半徑；Nk、Tk分別為tk處的單位法向量和單位切向量。

本文采用的最優(yōu)化線性擬合的主要步驟為：

1) 確定初始B樣條曲線。采用已知點集P的參數(shù)化結果以及節(jié)點矢量作為已知值，線性最小二乘求解的控制點，以此作為初始B樣條曲線。

二、非斷面信息的剔除和斷面變形分析

1. 非斷面信息的剔除

隧道斷面總體為較光滑的曲線，但是由于光纜、管道等附件遮擋，掃描數(shù)據(jù)不可避免地存在非斷面信息。這些錯誤信息的存在會影響曲線擬合的精度，同時會影響變形量的計算。本文利用曲率及點間距信息作為非斷面信息的判定標準，采取迭代運算對其進行剔除。具體方法步驟如下：

1) 逐點計算離散點曲率值Ki、曲率變化值ΔKi=Ki-0.5×(Ki-1+Ki+1)以及各點與前、后掃描點的間距，將曲率值、曲率變化值的絕對值或間距值大于給定閾值的點作為初判非斷面點，并予以剔除，存入非斷面信息。

2) 對剩余點進行孤立點探測，剔除孤立點，并存入非斷面信息。

3) 采用曲線擬合方法對剩余點進行曲線擬合。

4) 計算初判的非斷面點至擬合曲線的最近距離，將小于給定閾值的點重新加入到曲線擬合點集中。

5) 重復步驟3)—4)，直至擬合點集中沒有新增點。

2. 斷面變形分析

通常情況下這個距離并不是對稱的，也就是說d(C,C′)≠d(C′,C)。因此兩條曲線C和C′之間的豪斯多夫距離定義為

(6)

可以采用兩期擬合曲線的豪斯多夫距離來進行斷面曲線的變形分析。

三、應用實例

以徠卡TCRP1201自動全站儀無合作目標模式掃描采集的某地鐵隧道斷面數(shù)據(jù)為例，采用前述B樣條曲線擬合方法進行斷面曲線擬合。通過加入兩組模擬變形數(shù)據(jù)的擬合結果與原始擬合結果計算豪斯多夫距離來驗證本文方法的可行性及有效性。

1. 隧道斷面的B樣條曲線擬合

圖1、圖2為掃描數(shù)據(jù)以及掃描斷面的實景圖，可以看出原始掃描數(shù)據(jù)在斷面信息中夾雜著很多其他附件的信息。

圖1　某隧道斷面掃描數(shù)據(jù)

圖2　隧道斷面實景

圖3、圖4分別為第一次和最終對斷面掃描數(shù)據(jù)進行非斷面信息分離的結果，圖中實心點為斷面信息，十字點為分離出來的非斷面信息。試驗選取的曲率絕對值閾值為2，曲率變化值閾值為4，點間距閾值取掃描間距的3倍，點至曲線的最近距離閾值取3倍的曲線擬合中誤差和1 cm中較大的值。從圖3中可以看到，由于離散點的局部曲率受鄰近點的影響，一些非斷面信息附近的斷面點被誤判為非斷面點，圖4顯示這些誤判點在迭代過程中被修正?？紤]到掃描數(shù)據(jù)較為密集，非斷面點的漏判比斷面信息的誤判對擬合結果的影響更大，同時斷面信息的誤判可在隨后的迭代過程中獲得修正，因此在基于曲率以及點間距信息的非斷面數(shù)據(jù)判斷中可設定較為嚴格的閾值。

圖3　第一次分離結果

圖4　最終分離結果

對已剔除非斷面信息的斷面掃描數(shù)據(jù)采用前述方法進行三次B樣條曲線擬合。曲線擬合結果如圖5所示，曲線上圈形點為斷面擬合點，曲線外的星號點為所求的控制點。圖6為擬合殘差直方圖，3組統(tǒng)計數(shù)據(jù)依次為擬合點到曲線的最近距離及其在X、Y方向上分量在指定范圍內的點數(shù)，曲線擬合中誤差為1.6 mm。

圖6　曲線擬合殘差直方圖

2. 斷面曲線的變形分析

根據(jù)全站儀的觀測精度，掃描數(shù)據(jù)的點位精度為1.5 mm左右。試驗1隨機生成一組X、Y方向方差均為1 mm的零均值噪聲加入掃描數(shù)據(jù)。加入隨機噪聲的掃描數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)可視為斷面變形為0的兩期掃描數(shù)據(jù)，分別計算其斷面曲線C1、C2。選取如圖7所示的斷面左上和右下兩個曲線段為例，計算兩組數(shù)據(jù)擬合曲線的豪斯多夫距離。

圖7　變形分析曲線段示意圖

待分析曲線段的具體選取方式為：選定曲線C1上參數(shù)區(qū)間，計算曲線段兩端點至曲線C2的最近距離點，由此得到C2上的參數(shù)區(qū)間。離散化兩個曲線段以計算兩個曲線點集之間的豪斯多夫距離。圖8、圖9分別為兩段曲線d(p,C2)的統(tǒng)計直方圖，統(tǒng)計量為距離落在上一橫坐標與所在橫坐標值之間的點數(shù)。最后得到的左上曲線段的豪斯多夫距離為1.4 mm，右下曲線段的豪斯多夫距離為1.6 mm。對于點位精度和擬合精度為1.5 mm左右的情況，該計算結果可認為斷面無變形，基本與實際吻合。

圖8　試驗1左上曲線段d(p,C2)統(tǒng)計直方圖

圖9　試驗1右下曲段d(p,C2)統(tǒng)計直方圖

為進一步分析B樣條曲線擬合的斷面變形，試驗2在斷面左下方掃描數(shù)據(jù)(前40個掃描點)X方向加入方差為1 mm,均值為3 mm的噪聲，Y方向和其他部位掃描數(shù)據(jù)的X、Y方向加入方差為1 mm的零均值噪聲進行擬合，并計算與原始數(shù)據(jù)擬合曲線的豪斯多夫距離。分析曲線段仍選取如圖7所示兩處。計算得到左上曲線段的豪斯多夫距離為1.5 mm，右下曲線段為3.3 mm。

分別統(tǒng)計右下曲線段的d(p,C2)在X、Y方向的分量，結果為X方向的豪斯多夫距離3.2 mm，Y方向-1.7 mm，計算結果與實際數(shù)據(jù)吻合?；诒驹囼炈憷傻贸鋈缦陆Y論，對于隧道斷面掃描數(shù)據(jù)可采用兩期擬合曲線的豪斯多夫距離判斷斷面曲線的變形，變形方向由豪斯多夫距離的符號確定。

四、結束語

針對地鐵隧道斷面變形的需求，結合隧道斷面掃描數(shù)據(jù)的特點，本文提出了：①適用于隧道斷面數(shù)據(jù)的主點選取方法；②有效的非斷面數(shù)據(jù)剔除方法；③基于B樣條曲線擬合隧道斷面數(shù)據(jù)，并利用豪斯多夫距離進行隧道斷面變形分析的方法。最后以某隧道實際掃描數(shù)據(jù)為例，通過加入模擬變形數(shù)據(jù)對斷面進行擬合和變形分析。試驗表明，加入零均值噪聲的模擬數(shù)據(jù)擬合的斷面曲線與原始斷面擬合曲線的豪斯多夫距離在1.5 mm左右，在數(shù)據(jù)精度為1.5 mm的情況下可認為斷面未發(fā)生變形。在局部X方向加入均值為3 mm的噪聲，模擬數(shù)據(jù)擬合的斷面曲線與原始斷面擬合曲線的豪斯多夫距離在遠離變形區(qū)域為1.5 mm，局部變形區(qū)域為3.3 mm。計算結果與模擬變形吻合，由此驗證了本文方法的可行性及有效性。

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中圖分類號：P258

文獻標識碼：B

文章編號：0494-0911(2016)02-0103-04

作者簡介：劉冠蘭(1984—)，女，博士，講師，主要研究方向精密工程測量、工業(yè)測量。E-mail: glliu@sgg.whu.edu.cn

基金項目：湖北省自然科學基金(2015CFB501)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金青年教師資助項目(2042015k0058)

收稿日期：2015-03-27； 修回日期： 2015-10-31

引文格式： 劉冠蘭，徐亞明，柏文峰. 地鐵隧道斷面變形分析方法研究[J].測繪通報，2016(2)：103-106.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0061.