“課例研究”的一個實例：數(shù)學(xué)思維的教學(xué)
——“‘課例研究’之思考與實踐”系列之二（上）

◇鄭毓信

“課例研究”的一個實例：數(shù)學(xué)思維的教學(xué)
——“‘課例研究’之思考與實踐”系列之二（上）

◇鄭毓信

就小學(xué)的數(shù)學(xué)思維教學(xué)而言，有兩個最為基本的問題：（1）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)突出哪些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想方法？（2）我們應(yīng)如何開展數(shù)學(xué)思維的教學(xué)？（關(guān)于“數(shù)學(xué)思維”“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)思想方法”的具體含義或用法可見參考文獻(xiàn)[1]）

就第一個問題而言，我們應(yīng)特別提及當(dāng)前較為流行的一種觀念，即認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)突出“基本數(shù)學(xué)思想”。其中“基本數(shù)學(xué)思想”主要是指“數(shù)學(xué)抽象的思想”“數(shù)學(xué)推理的思想”和“數(shù)學(xué)模型的思想”。對此我們可作出進(jìn)一步的層次區(qū)分，如：“由‘?dāng)?shù)學(xué)抽象的思想’派生出來的有：分類的思想，集合的思想，‘變中有不變’的思想，符號表示的思想，對應(yīng)的思想，有限與無限的思想，等等。 ”[2]

當(dāng)然，對于上述問題也有很大的討論空間。例如，從教學(xué)的角度看，重要的不是無一遺漏地列舉出各種數(shù)學(xué)思想，包括所謂的“基本數(shù)學(xué)思想”和“一般數(shù)學(xué)思想”，而是應(yīng)當(dāng)更加重視我們?nèi)绾文茚槍唧w的教學(xué)內(nèi)容揭示出其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想。另外，相對于嚴(yán)格的層次區(qū)分而言，我們應(yīng)更加重視自己的獨立思考，注意特殊與一般的辯證關(guān)系。

事實上，“內(nèi)容相關(guān)性”可被看成數(shù)學(xué)思想最為重要的特征之一，因此，“數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求用”。我們還應(yīng)高度重視如何能通過具體與抽象、特殊與一般的辯證運動不斷深化自己在這方面的認(rèn)識——顯然，這事實上就為上述第二個問題提供了直接解答的依據(jù)，也就是說，相對于數(shù)學(xué)思想和思想方法的專門教學(xué)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加重視如何能以思想方法的分析帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué)，因為只有這樣，我們才能使學(xué)生深切地感受到數(shù)學(xué)思維的力量，并逐步學(xué)會數(shù)學(xué)地思維。（對此可見參考文獻(xiàn)[3]）

以下就以小學(xué)數(shù)學(xué)的若干課例為背景具體地指明幾種數(shù)學(xué)思想，包括它們?yōu)楹尉哂刑貏e的重要性。

一、“比較”與“一一對應(yīng)思想”

提到“比較”與“一一對應(yīng)思想”，恐怕有不少人就會立即想到“植樹問題”的教學(xué)，因為自新一輪課改實施以來，這一教學(xué)內(nèi)容在各類教學(xué)觀摩活動中始終具有較高的 “出鏡率”，而且人們逐漸達(dá)成了這樣的共識：相對于所謂的“兩端都種”“只在一端種”“兩端都不種”這三種情況的區(qū)分而言，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)更加突出“一一對應(yīng)”的思想。（這方面的一個最新實例可見參考文獻(xiàn)[4]）

然而，事實上“比較”與“一一對應(yīng)思想”從小學(xué)數(shù)學(xué)的開端，即自然數(shù)的認(rèn)識開始，就有特別的重要性；我們甚至可以斷言：各種數(shù)學(xué)概念，特別是“數(shù)”概念的生成，都離不開“比較”與“一一對應(yīng)思想”。

當(dāng)然，從一般思維的角度分析，這兩者又可被看成“聯(lián)系的觀點”的具體運用，也就是說，我們應(yīng)當(dāng)善于將事物和對象聯(lián)系起來加以考察。它們的特殊性則在于：相對于一般意義上的“比較”而言，“數(shù)學(xué)視角”最為重要的一個特征是，數(shù)學(xué)中我們僅僅著眼于事物和對象的量性特征（就“數(shù)”概念的生成而言，這主要是指對象的“多與少”），而完全不考慮它們的質(zhì)的內(nèi)容。另外，只有通過“一一對應(yīng)思想”的具體應(yīng)用以及數(shù)量上的“相等”（這就是所謂的“等數(shù)性”）與“不相等”的明確區(qū)分，我們才能幫助學(xué)生順利地抽象出各種數(shù)的概念，并正確地認(rèn)識數(shù)與數(shù)之間的大小和運算關(guān)系。

更進(jìn)一步說，上述思維過程也可被看成“數(shù)學(xué)化思想”的具體應(yīng)用，特別是，由較為模糊的“多”與“少”的概念逐步過渡到精確的定量：這究竟是多少？與其他對象相比究竟大（?。┝硕嗌?？

還應(yīng)強調(diào)的是，盡管以上所說的“比較”與“一一對應(yīng)”就其原始意義而言主要是指實物間的對照比較，但這恰恰又可以被看成學(xué)生數(shù)學(xué)水平或數(shù)學(xué)能力不斷提高的一個重要表現(xiàn)，即他們逐步學(xué)會了在實物與抽象物（“數(shù)”）以及抽象物與抽象物之間作出比較或?qū)?yīng)。例如，前者顯然就是“計數(shù)”這一活動的直接基礎(chǔ)，后者則標(biāo)志著我們已經(jīng)能夠超出具體情境并從更高的抽象水平上去從事純粹的數(shù)量關(guān)系的研究。

從上述角度分析，我們也可以更好地理解鄭大明老師的課例“○與□玩數(shù)學(xué)”以及如下評論：“學(xué)生在進(jìn)行計算意義歸類時，對基于合并關(guān)系建立的加、減、乘、除的理解非常到位，出錯很少；而對基于對應(yīng)關(guān)系的加、減、乘、除意義的理解非常差，出錯率高。”[5]因此，我們在教學(xué)中應(yīng)特別注意引導(dǎo)學(xué)生“用‘一對一’的思路研究大小、多少和倍數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系”[5]。進(jìn)而，其中所提到的“倍數(shù)關(guān)系”，不僅可以看成“比較”思想的進(jìn)一步發(fā)展，而且代表了“一一對應(yīng)思想”在更高層次上的應(yīng)用。后者是指，如果說“相同的計數(shù)單位”可以被看成為我們具體判斷數(shù)的大?。òㄗ匀粩?shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)等）提供了必要的基礎(chǔ)（對此可見賁友林老師的課例“小數(shù)的大小比較”[5]），那么，“倍數(shù)關(guān)系”的引入事實上就是將兩個數(shù)中的一個看成新的“比較單位”，即將原始意義上的“多”看成新的“一”（這涉及“集合思想”，對此我們將在后面作進(jìn)一步的論述），而這事實上就為“一一對應(yīng)思想”在更大范圍內(nèi)的應(yīng)用提供了可能性。

例如，從后一角度分析，以下的評課顯然就十分到位，特別是這清楚地表明“比較”與“對應(yīng)”思想對于小學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)活動的特殊重要性：“倍的本質(zhì)是兩個量之間的關(guān)系，那么我們就認(rèn)為應(yīng)該將‘比較’貫穿于整個教學(xué)中，在‘倍’的教學(xué)過程中，我們……先復(fù)習(xí)多與少的關(guān)系，再教學(xué)倍的關(guān)系。讓學(xué)生在幾個幾的基礎(chǔ)上初步認(rèn)識倍的意義，首先明確怎樣定標(biāo)準(zhǔn)——‘以什么為 1份’，接著，讓學(xué)生學(xué)會用擺一擺、圈一圈的方法找出倍數(shù)關(guān)系。在整個教學(xué)過程中，教師始終關(guān)注個體對概念的理解。適時放慢，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考‘怎么比’‘比的結(jié)果怎樣’，讓學(xué)生盡可能主動思維以展開‘深加工’的過程。 ”[6]

綜上可見，就小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展而言，“比較”和“一一對應(yīng)思想”具有特別的重要性，這在很多情況下就構(gòu)成了數(shù)學(xué)抽象的直接基礎(chǔ)。因此，將“對應(yīng)”的思想簡單地歸屬于“數(shù)學(xué)抽象的思想”，即認(rèn)為在兩者之間存在明確的層次關(guān)系并不十分恰當(dāng)，從教學(xué)的角度看，我們應(yīng)將“對于‘對應(yīng)關(guān)系’與‘多少關(guān)系’的敏感性”看成數(shù)感最為基本的含義之一，并幫助學(xué)生在這方面很好地實現(xiàn)由模糊到精確、由具體到抽象的必要發(fā)展。

二、“集合思想”與數(shù)學(xué)想象

集合觀點的統(tǒng)治地位常常被說成數(shù)學(xué)現(xiàn)代發(fā)展的重要特點之一（亞歷山大洛夫語），但這主要是從邏輯角度進(jìn)行分析的，從而事實上也就意味著 “集合”是一個高度抽象的數(shù)學(xué)概念——因此，要幫助小學(xué)生很好地掌握這一概念是比較困難的。

為了清楚地說明問題，建議讀者嘗試著去回答這樣一個問題：“什么是集合？”對此集合論的創(chuàng)始者、德國著名數(shù)學(xué)家康托曾給出如下回答：“所謂‘集合’，是指把確定的、彼此可以區(qū)分的直覺或想象的對象看成一個整體?！钡?，我們?nèi)绾尾拍芮宄卣f明“將若干對象看成一個整體”的具體含義呢？

另外，這顯然也可以看成以下“真實故事”給予我們的直接啟示。這個故事發(fā)生在20世紀(jì)60年代，當(dāng)時“新數(shù)運動”作為風(fēng)靡全球的一次數(shù)學(xué)教育改革運動正處于高潮之中?！靶聰?shù)運動”的核心思想就是認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想對傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育作出改造。但是，由于“集合”的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占據(jù)特別重要的位置，下述情況的出現(xiàn)就不足為奇了。

一個數(shù)學(xué)家的女兒從幼兒園放學(xué)回到家中，父親問她“今天學(xué)到了什么”，女兒回答道：“我們今天學(xué)了‘集合’?！睌?shù)學(xué)家覺得對于這樣一個高度抽象的概念來說女兒的年齡實在太小了，因此就關(guān)切地問道：“你懂嗎？”女兒肯定地回答：“懂！一點兒也不難?！边@樣抽象的概念會這樣容易懂嗎？聽了女兒的回答，作為數(shù)學(xué)家的父親仍然放不下心，因此又追問道：“你們的老師是怎么教的？”女兒回答道：“老師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這是男孩子的集合；其次，又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合……最后，老師問：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答復(fù)?！?/p>

顯然，這個教師所采用的教學(xué)方法沒有什么問題，甚至可以說相當(dāng)不錯。因此，父親決定用以下問題作為最后的檢驗：“那么，我們是否可以將世界上所有的湯匙或土豆組成一個集合？”女兒遲疑了一會兒，最終作出了這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來！”

基于上面的論述，相信讀者可以較好地理解吳正憲老師以下的教學(xué)設(shè)計[5]：在“重疊問題”的教學(xué)中，通過有效地調(diào)動學(xué)生的生活經(jīng)驗，特別是讓學(xué)生實際動手去畫一畫、算一算，教師不僅幫助學(xué)生較好地掌握相關(guān)的知識 （如我們應(yīng)當(dāng)如何看待元素與集合之間的隸屬關(guān)系，以及不同集合之間的各種可能關(guān)系），更借助于“畫圈”這一形象的表征幫助學(xué)生較好地掌握“集合”概念的本質(zhì)，即“將對象看成一個整體”。（建議讀者回憶一下前面關(guān)于 “倍的認(rèn)識”教學(xué)的相關(guān)論述，特別是，其中在什么意義上也直接涉及“集合的思想”）

當(dāng)然，如果將上述教學(xué)設(shè)計與先前提到的幼兒園教師的教學(xué)方法加以對照，我們?nèi)匀豢梢蕴岢鲞@樣的問題：吳正憲老師的設(shè)計之所以成功，應(yīng)主要歸功于將“站起來”改成了“畫圈”還是學(xué)生認(rèn)知水平的提高？

對于上述問題，相信讀者通過深入思考與必要的實踐即可獲得明確的解答。但在筆者看來，其主要價值則在于借此我們可以更為深入地認(rèn)識到這樣一點：無論是“站起來”還是“畫圈”這樣的實際活動，盡管其對于學(xué)生形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念有很大幫助，但同時都有一定的局限性，因為在大多數(shù)情況下數(shù)學(xué)概念的形成都離不開內(nèi)在的思維活動，特別是一定的抽象思維與想象能力。

由以下分析，相信讀者可以更好地理解后一論述的主要含義：正如我們無法讓湯匙或土豆“站起來”，在對象是無限（或數(shù)量很大）的情況下我們顯然也不可能實際地完成將所有對象都“圈起來”這樣一個動作，因此我們必須幫助學(xué)生很好地實現(xiàn)由實際操作向思維運作的必要過渡，包括由直觀圖形逐步過渡到相應(yīng)的心理圖像。因為任何經(jīng)驗都必定局限于有限的范圍，而只有依靠想象與理性思維，我們才能真正進(jìn)入無限的王國，如將所有的自然數(shù)看成一個整體，以及如何能夠很好地理解直線與射線等概念的性質(zhì)。（后者是指，如果我們始終停留于日常生活與直觀經(jīng)驗，那么，無論我們在教學(xué)中使用了什么樣的實例，如手電筒的光線、子彈的運行軌跡等，都不可能幫助學(xué)生很好地認(rèn)識射線和直線的無限性質(zhì)，甚至可能因此而造成一定的困惑。另外，我們顯然也只有從集合的觀點進(jìn)行分析，才能正確地認(rèn)識“射線是直線的一部分”“射線與直線誰長”等事實與問題）這事實上十分清楚地表明數(shù)學(xué)抽象的建構(gòu)性質(zhì)，對此我們將在后面做出進(jìn)一步的論述。

最后，還應(yīng)指出的是，如果說由“集合”的概念我們即可十分自然地引出元素與集合之間的隸屬關(guān)系、不同集合之間的包含關(guān)系以及集合的交、并、補等概念，這是不恰當(dāng)?shù)?，因為它們事實上并不能被看?“集合理論”的主要內(nèi)容，而“集合理論”嚴(yán)格地說是關(guān)于無限數(shù)量的研究，即主要是指我們?nèi)绾文軐ⅰ按笮　钡雀拍钔茝V到無限性對象——當(dāng)然，這在很大程度上超出了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)的范疇。

另外，從同一角度分析，我們也可清楚地看到在 “集合思想”與“分類思想”之間存在的重要區(qū)別：在現(xiàn)實中分類活動往往集中于概念的內(nèi)涵，即對象的特征性質(zhì)；而數(shù)學(xué)中關(guān)于集合的研究則唯一集中于概念的外延。例如，在數(shù)學(xué)中我們完全可以將一個茶杯、三個小孩兒與天上的一顆星星看成一個集合，而不用考慮這三者是否具有任何內(nèi)在的聯(lián)系或共同的特征。

[1]鄭毓信.莫讓理論研究拖了實際工作的后腿——聚焦數(shù)學(xué)思想的教學(xué)[J].湖南教育，2015（3）（4）.

[2]顧沛.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2012（1）.

[3]鄭毓信.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》的“另類解讀”[J].小學(xué)教學(xué)，2013（3）.

[4]王煒.《植樹問題》教學(xué)案例解讀[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計，2015（11）.

[5]方運加.品課·小學(xué)數(shù)學(xué)卷001[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013：147；160；23-41；3-21.

[6]張瑋，楊健輝.“倍的認(rèn)識”教學(xué)實錄與評析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（11）.

（作者系南京大學(xué)哲學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師，本刊顧問）