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    基于經(jīng)驗正交函數(shù)的剖面重構(gòu)及其物理意義分析

    2022-04-25 08:37:04鐘瑋琪
    海洋技術(shù)學報 2022年1期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)波聲速二階

    鐘瑋琪,屈 科,梁 羿

    (廣東海洋大學電子與信息工程學院,廣東 湛江 524088)

    聲速剖面是重要的海洋水聲環(huán)境參數(shù)之一,是評估海域穩(wěn)定性的基礎(chǔ)指標,也是海洋聲場分析的必要先驗信息。獲取精確的聲速剖面,對海洋環(huán)境監(jiān)測、聲源定位和軍事方面的應(yīng)用都具有重大意義。聲速剖面是有關(guān)深度和聲速的函數(shù),也可以用時間或空間隨深度變化的矩陣形式來描述,聲速剖面的矩陣越大,精度越高。然而,使用深度和聲速的數(shù)值關(guān)系模擬實際聲速剖面需要大量的參數(shù),參數(shù)增加的同時也增大了逆問題求解的難度,因此需要采用一定的降維技術(shù)盡可能使用較少的模態(tài)更為簡單、有效地重構(gòu)聲速剖面。經(jīng)驗正交函數(shù)方法(Empirical Orthogonal Function,EOF) 就被證實是十分有效的途徑之一。為了降低聲速剖面在水聲學逆問題中未知參數(shù)的維度,通常將海洋聲速剖面表示為恒定的背景剖面與擾動項的疊加,通過經(jīng)驗正交函數(shù)方法提取樣本擾動的主成分,然后可以通過若干階EOF 和投影系數(shù)描述聲速剖面。

    經(jīng)驗正交函數(shù)分析方法也稱為特征向量分析或主成分分析,是分析矩陣數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特性、提取主要數(shù)據(jù)特征的一種方法,能夠?qū)㈦S時間變化的變量場分解為僅依賴時間變化的時間函數(shù)和不隨時間變化的空間函數(shù)。DAVIS R E[1]證明了EOF 是描述聲速剖面最有效的基函數(shù)。沈遠海等[2-3]、張鎮(zhèn)邁等[4]研究表明在淺海使用經(jīng)驗正交函數(shù)描述和重構(gòu)聲速剖面的可行性和有效性。在實際中聲速剖面難以使用連續(xù)函數(shù)表示,傳統(tǒng)聲速剖面重構(gòu)方法對樣本數(shù)量有一定要求,因此,通過正交分解一定數(shù)量聲速剖面樣本序列的時間向量和空間向量,可以有效地描述聲速剖面,通常情況僅需要前幾階就可以獲得足夠的精度[5-7],并且此方法可以避免描述聲速垂直結(jié)構(gòu)多參數(shù)的問題,在反演海水聲速剖面算法執(zhí)行過程中具有較高的時效性[8]。以上研究都表明了即便是在淺海聲速剖面變化劇烈的情況下,采用經(jīng)驗正交函數(shù)表示聲速剖面仍然具有較高的實用性。孫文舟等[9]解析了聲速剖面EOF 第一模態(tài)時間系數(shù)和空間函數(shù)的變化規(guī)律,分析了引起聲速剖面變化的主要因素;蘇林等[10]分析了經(jīng)驗正交函數(shù)系數(shù)分布特點,實現(xiàn)內(nèi)波環(huán)境下對聲速剖面的實時預(yù)測。從上述研究工作可以總結(jié)出,經(jīng)驗正交函數(shù)可以有效地應(yīng)用于聲速剖面時空變化分析[11]、聲速場模型構(gòu)建[12-13]和海洋活動監(jiān)測[14-15]等領(lǐng)域。

    EOF 方法作為一種數(shù)值統(tǒng)計方法,可將復(fù)雜的參考模型方程投影到少數(shù)主成分上來降低問題的維度。由于EOF 模態(tài)是樣本矩陣的主成分,并沒有物理表達式,其物理意義不直觀,難以從中獲取海洋動力學信息[16-18]。為了提升對EOF 方法反演結(jié)果的解析,本文采用經(jīng)驗正交分解法,對2001 年中美聯(lián)合實驗(The Asian Seas International Experiment,ASIAEX)在南海北部測量的溫度鏈數(shù)據(jù)進行處理,對第一、二階投影系數(shù)的物理意義進行發(fā)掘分析。結(jié)果表明前兩階主要模態(tài)與海洋動力學參數(shù)密切相關(guān),通過第一、二階投影系數(shù)的變化可以對海洋動力活動進行有效監(jiān)測。

    1 基于EOF 的聲速重構(gòu)

    本文所采用的數(shù)據(jù)選自2001 年ASIAEX 于南海北部進行聲學實驗中的溫度鏈數(shù)據(jù)。ASIAEX 是中國、美國、俄羅斯、日本、韓國、新加坡之間的綜合科學合作,其主要實驗在2001 年4—8 月進行。實驗包括兩項內(nèi)容,第一個是在東海的海底相互作用實驗,第二個是在南海的體積相互作用實驗。本次數(shù)據(jù)取自2001 年5 月3 日至2001 年5 月17 日的南海實驗,該實驗在浮標投放點(21°55.285′N,117°35.088′E)進行采樣時間為1 min 的測量。浮標的每根繩子放置11 個溫度傳感器,傳感器之間的間隔約為10 m。溫度剖面的深度范圍為21.7~135.1 m。圖1 顯示了72 h(5 月7 日00∶00 至5 月10 日00∶00)溫度剖面的變化,可以觀察到頻繁強烈的線性和非線性內(nèi)波活動,觀測到的內(nèi)孤立波振幅約為70 m。

    圖1 5 月7 日00 ∶00 至5 月10 日00 ∶00 溫度數(shù)據(jù)

    由于影響淺海聲速的主要因素是淺海海水溫度,因此聲速的計算采用Chen-Millero-Li 聲速經(jīng)驗公式[19]。由于實際采樣過程中存在實驗條件的限制,導(dǎo)致每條聲速剖面的采樣并不能完全保持在等深度處,所以利用三次樣條插值法[20]將聲速內(nèi)插到垂直標準層后得到聲速剖面。

    假設(shè)已獲得N 條聲速剖面,每條剖面有M 層垂直標準層,聲速剖面矩陣為C。計算聲速剖面矩陣C 中每層的平均聲速值,聲速剖面矩陣還可以表示成平均聲速剖面與聲速擾動X 的和。通常先將聲速剖面矩陣進行預(yù)處理,即標準化處理或轉(zhuǎn)化為聲速剖面的殘差形式。若對聲速剖面矩陣C 進行標準化處理,那么R 被稱為相關(guān)系數(shù)矩陣;若將C 進行聲速剖面殘差處理,那么R 被稱為協(xié)方差矩陣。然后計算X 與其轉(zhuǎn)置矩陣的交叉積,則X 的協(xié)方差矩陣如下。

    對協(xié)方差矩陣求解特征值向量,將R 分解如下。

    式中,E 是R 的特征值矩陣,將E 按從大到小的順序進行排列。每個非0 的特征值都對應(yīng)一個特征向量,得到F= [f1f2… fn],F(xiàn) 是特征值對應(yīng)的特征向量矩陣,即EOF 的空間函數(shù)。取前q 個EOF 系數(shù),則聲速剖面可以表示如下。

    1.1 重構(gòu)結(jié)果及誤差分析

    對獲得的所有樣本組成的聲速剖面矩陣進行經(jīng)驗正交分解,可得出各階EOF 函數(shù)和方差貢獻率。圖2 為分解得到的前五階歸一化EOF 函數(shù)。表1中第一階EOF 重構(gòu)聲速剖面的方差貢獻率為70.06%,前三階EOF 的方差累計貢獻率達到93.46%,前五階可以達到97.45%。在南海北部海內(nèi)波波動劇烈的條件下,前三階累計貢獻率也已經(jīng)達到96%以上[21],足夠較好地重構(gòu)聲速剖面。因此,從EOF 重構(gòu)聲速剖面方差貢獻率的角度考慮,本文使用前五階足夠反映聲速剖面的主要特征。

    圖2 前五階歸一化EOF

    表1 EOF 的方差貢獻率及累計方差貢獻率

    僅僅使用前幾階擬合聲速剖面和實際所測聲速剖面必然存在誤差,因此,為分析重構(gòu)剖面的準確性,將重構(gòu)的均方根誤差定義如下。

    式中,Czi為實測聲速;Ci為擬合聲速;M 為深度上的采樣點個數(shù)。

    式中,RMSEi為單個剖面均方根誤差;N 為剖面?zhèn)€數(shù)。

    圖3 為重構(gòu)聲速剖面的均方根誤差,清晰地顯示了應(yīng)用EOF 重構(gòu)聲速剖面的均方根誤差均在2.50 m/s 以下,誤差的最大值是2.19 m/s;在統(tǒng)計結(jié)果后,平均均方根誤差為0.83 m/s,42%的重構(gòu)均方根誤差在平均均方根誤差以下,即聲速剖面的重構(gòu)可以達到較好的精度。

    圖3 不同剖面序號重構(gòu)效果的均方根誤差

    海水擾動主要是由內(nèi)波、湍流等動力活動所引起的,對剖面有一定影響。如圖4 所示,選取3 種特殊情況中的3 個具有代表性的剖面進行誤差分析。當海水具有較大擾動時,海水向上運動的重構(gòu)剖面的均方根誤差為0.29 m/s,其余兩個剖面誤差略大于平均誤差。選取的3 個剖面的均方根誤差均接近平均均方根誤差,表明了在海水有較小和較大擾動的情況下,EOF 重構(gòu)聲速剖面仍有較好的效果。

    圖4 振幅最小、振幅向下最大和振幅向上最大的實測剖面(紅色線)與重構(gòu)剖面(藍色線)效果圖

    2 EOF 物理意義的分析

    前二階EOF 模態(tài)的累計方差貢獻率是86.11%,其中第一階模態(tài)占70.06%,在所有模態(tài)中所占權(quán)重最高,在重構(gòu)聲速剖面中起主導(dǎo)作用。從圖5 可見,第一階模態(tài)幅值最大值是在水深為69 m 處,在第一階模態(tài)幅值最大值時,第二階模態(tài)幅值為零,且第一階模態(tài)只有1 個極值,符號都為正值,此時表明了水質(zhì)子運動方向相同。最大振幅出現(xiàn)的位置,在海水躍層中代表著等聲速線,且等聲速線都往同一個方向振蕩。第二階模態(tài)有兩個極值,且在第一階模態(tài)幅值最大水深處附近改變符號,可以解釋為等聲速線在躍層上方和下方運動方向相反,代表了躍層內(nèi)聲速梯度的變化。

    圖5 第一、二階模態(tài)歸一化幅值

    將歸一化后的值A(chǔ) 定義如下。

    式中,an為投影系數(shù);amin為投影系數(shù)的最小值;amax為投影系數(shù)的最大值。

    在忽略第二階以上模態(tài)影響的情況下,第一階投影系數(shù)可近似描述重構(gòu)剖面中1 522 m/s 的等聲速線。根據(jù)物態(tài)方程,鹽度穩(wěn)定時可認為聲速和溫度變化成正比,等聲速線和等溫度線近似一致。如圖6 所示,將第一階投影系數(shù)和等聲速線的振幅進行歸一化,可以注意到第一階投影系數(shù)與一階模態(tài)幅值最大深度等聲速線的變化趨勢相似,并且相關(guān)系數(shù)達到0.96,這說明了第一階投影系數(shù)與該等聲速線具有很強的相關(guān)性。第一階投影系數(shù)與海水水層溫度的變化趨勢相近,因此還可以解釋為,第一階投影系數(shù)可以近似反映出海水水層的變化趨勢。

    圖6 歸一化第一階投影系數(shù)及等聲速線變化

    第二階模態(tài)具有兩個極值,通過求解得到兩個極值(39~95 m)的聲速梯度,將第二階投影系數(shù)和聲速梯度的振幅進行歸一化處理,如圖7 所示。將聲速梯度與第二階投影系數(shù)進行對比,可以明顯觀察到兩條曲線非常相似,變化規(guī)律基本一致。兩條曲線相關(guān)系數(shù)高達0.99,具有十分強的相關(guān)性。因此,第二階投影系數(shù)可以描述二階模態(tài)兩個極值間的聲速梯度,從第二階投影系數(shù)可以得到等聲速線變化的方向和聲速隨深度變化的快慢。由于聲速梯度影響聲線折射的方向,在淺海中導(dǎo)致傳播損失變大,影響水下探測,使得聲吶系統(tǒng)探測距離變短。

    圖7 歸一化第二階投影系數(shù)及聲速梯度變化

    由圖8 可以看到內(nèi)波中聲速隨時間的變化及雙振蕩結(jié)構(gòu)。如圖8(a)所示,該時段出現(xiàn)了5 個顯著連續(xù)的內(nèi)孤立波,并且在出現(xiàn)內(nèi)孤立波的情況下,該時段還產(chǎn)生了類似正余弦變化、符號相反的雙振蕩結(jié)構(gòu),如圖8(b)所示。將相鄰兩個點的振幅除以采樣時間得到投影系數(shù)的時間變化率,可以觀察到雙振蕩結(jié)構(gòu)的兩條曲線分別對應(yīng)著第一階投影系數(shù)與第二階投影系數(shù)的時間變化率,在內(nèi)波活動下第一階投影系數(shù)的時間變化率振蕩峰均略高于第二階投影系數(shù),且隨著時間變化,內(nèi)波振幅深度減小,雙振蕩結(jié)構(gòu)的振幅也隨之減小。

    圖8 內(nèi)波與雙震蕩圖

    海洋內(nèi)波是由海水溫差、鹽差造成密度穩(wěn)定分層現(xiàn)象產(chǎn)生的水下波浪,而內(nèi)波通常發(fā)生在水體的內(nèi)部,在海水表面難以觀察。形成海洋內(nèi)波需要兩個條件,第一是穩(wěn)定的密度分層,第二是擾動源。在海脊、大陸架邊緣等特殊地形條件下,海洋密度躍層中內(nèi)潮波之間的非線性相互作用會產(chǎn)生大振幅的內(nèi)孤立波。由于黑潮入侵和季風影響海洋環(huán)境,南海北部是內(nèi)孤立波活動的多發(fā)海域。內(nèi)孤立波在傳播過程中可以形成海水強烈的輻聚和突發(fā)性的波致流,嚴重威脅海洋工程活動與海洋石油工作。內(nèi)波活動還會影響聲速剖面,進而影響水下目標的探測與定位以及水聲通信。

    在海水深度較淺的情況下,溫度是聲速的主要影響因素,并且溫度和密度相互影響。EOF 模態(tài)在不同深度上的幅值代表深度擾動的大小,在有理想流體媒質(zhì)中有聲擾動的條件下,物態(tài)方程可以描述聲場中聲速與密度的變化之間的關(guān)系。

    式中,c0是聲速;P 是壓強;ρ 是密度,物態(tài)方程反映出海水受到聲擾動的壓縮特性。在理想流體媒質(zhì)中,壓強和密度的變化具有相同的方向。

    密度擾動是引起內(nèi)波的原因之一,假設(shè)海水為理想流體媒質(zhì),由于密度擾動層的密度分布是不穩(wěn)定的,擾動層中的海水密度比周圍的海水密度高,高密度海水必須向低密度海水混合,dρ <0,則dP<0,海水膨脹。此時水體朝下方運動,躍層上方幅度大于下方。水體運動速度與一階模態(tài)近似,對應(yīng)等聲速線向下運動,一階投影系數(shù)隨時間正向增大。躍層內(nèi)梯度變大,對應(yīng)二階投影系數(shù)隨時間負向增大。

    在高低密度海水混合的過程中,一階投影系數(shù)變化率向上增大到峰值則開始減小,二階投影系數(shù)變化率則是向下增大到最大后開始減小,減小到某一時刻的變化率都為0 時,表明了海水混合的速率是由快到慢地恢復(fù)到一個密度平衡的狀態(tài)。

    由于慣性的作用,平衡密度會出現(xiàn)繼續(xù)向下混合的現(xiàn)象。此時水體朝上運動,等聲速線向上運動,對應(yīng)一階投影系數(shù)隨時間負向増大。躍層內(nèi)梯度變小,二階投影系數(shù)隨時間正向增大。

    當海水停止混合時,海水密度已經(jīng)低于平衡密度,周圍高密度海水又開始向低密度海水混合,dρ>0,則dP >0,海水壓縮。與一階模態(tài)對應(yīng)的等聲速線依舊向上運動,躍層內(nèi)梯度繼續(xù)變小。一階投影系數(shù)變化率則向下增大到最大后開始減小,二階投影系數(shù)變化率向上增大到峰值后開始減小,直至某一時刻變化率再次都為0 時,海水重新恢復(fù)到平衡密度,則開始新的周期,形成內(nèi)波?;谏鲜龇治?,內(nèi)波的雙振蕩實質(zhì)為密度層擾動的一個周期。

    3 結(jié) 論

    從聲速剖面的重構(gòu)效果而言,使用EOF 方法對聲速剖面進行分解和重構(gòu)固然有效且重構(gòu)精度較高。然而,作為一種數(shù)值方法,EOF 并沒有實際的物理意義。本文應(yīng)用EOF 方法對聲速剖面進行重構(gòu),對第一、二階投影系數(shù)的物理意義進行探討和分析,得出EOF 系數(shù)擾動與海洋變化規(guī)律結(jié)果如下。

    (1) 一階EOF 模態(tài)與受溫度影響的聲速變化分布相關(guān),第一階投影系數(shù)變化趨勢與等聲速線高度相關(guān),實驗相關(guān)系數(shù)為0.96。

    (2) 二階EOF 模態(tài)主要控制二階躍層梯度,可以使用第二階投影系數(shù)描述二階模態(tài)兩個極值間深度的聲速梯段。

    (3) 內(nèi)孤立波存在時,一、二階EOF 模態(tài)具有相關(guān)性。在溫度和密度的影響下,等聲速線和梯度聯(lián)合擾動的過程可以用前兩階隨時間變化的投影系數(shù)表示成雙振蕩結(jié)構(gòu)。因此可以通過雙振蕩結(jié)構(gòu)作為內(nèi)孤立波的識別特征,進行監(jiān)測和預(yù)警。

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