知識內(nèi)在邏輯應(yīng)向?qū)W生認(rèn)知適當(dāng)妥協(xié)
——“用字母表示數(shù)”案例研究

◇王昌勝 劉玉華

知識內(nèi)在邏輯應(yīng)向?qū)W生認(rèn)知適當(dāng)妥協(xié)
——“用字母表示數(shù)”案例研究

◇王昌勝 劉玉華

第一次案例嘗試

第一次是按照北師大版第三版教材（當(dāng)時沒有第四版教材，下同）教學(xué)“用字母表示數(shù)”的。上過課之后，大家覺得課堂難以把握：一會兒表示青蛙（規(guī)律），一會兒跳到年齡關(guān)系（變量），一會兒又回到表示運算律 （規(guī)律），感覺層次不清晰，隨意性較大……

雖然第一次試教是以促進學(xué)生對字母表示數(shù)的理解為主線，但由于情境轉(zhuǎn)換多，且對各個情境之間的目的和邏輯難以把握，老師們總覺得別扭。

但從第一次不太成功的嘗試中，我們進行反思和分析，有以下思考。

（一）前測中的啟示。

為了解學(xué)生情況，我們進行了前測，有分析價值的案例如下所示：

前測題目是填寫青蛙歌并嘗試用一句話表示出來。

學(xué)生作品：前面的具體數(shù)值都能填寫正確，但最后的概括五花八門。有代表性的作品是：

①（無數(shù)）只青蛙（無數(shù)）張嘴，（無數(shù)）只眼睛（無數(shù)）條腿。

②（多少）只青蛙（多少）張嘴，（很多）只眼睛（很多）條腿。

作品分析：因為不知道如何用簡潔的方式表達，60%以上的學(xué)生采取文字表達的方式。文字表達不便于表示出數(shù)量間的關(guān)系，如“（多少）只青蛙（多少）張嘴，（很多）只眼睛（很多）條腿”的答案，但可以看出中間有關(guān)于數(shù)量關(guān)系的思考。我們對該生進行訪談并追問，他說：“我心里清楚，但不知道怎么寫出來?！笨磥韺W(xué)生有懵懂的要表達數(shù)量關(guān)系的意識，苦于找不到合適的表達方式。此時，有必要讓學(xué)生嘗試用字母表示，盡量減少表達方式的干擾。

在此基礎(chǔ)上，我們做了提醒，鼓勵學(xué)生嘗試用字母來表示一些數(shù)，部分學(xué)生做了改進，如下所示：

①（a）只青蛙（a）張嘴，（a）只眼睛（a）條腿。

②（a）只青蛙（b）張嘴，（a）只眼睛（a）條腿。

③（n）只青蛙（n）張嘴，（n+n）只眼睛（n×4）條腿。

作品分析：即使在必要的提示之后，能準(zhǔn)確表達出數(shù)量關(guān)系的僅占18.6%。不過對于還沒有接觸字母表示數(shù)的學(xué)生來說，情況是正常的。學(xué)生頭腦中的干擾因素很多，如：用字母怎么表示？a真的是一個數(shù)嗎？n×4怎么是一個數(shù)？以前都是確定的一個數(shù)，現(xiàn)在這個不確定，心里很不踏實。

教學(xué)改進：在實際教學(xué)中，我們嘗試讓學(xué)生多說一會兒兒歌。

看似這樣的兒歌沒有多大作用，但實際上在說這些“繞口令”的時候，其實是在強化他們對數(shù)量關(guān)系的理解。每說一句，理解就加深一次。隨著對數(shù)量關(guān)系理解的加深，對用字母表示數(shù)量關(guān)系也是有幫助的。

（二）教學(xué)后的反思與啟示。

北師大版、人教版、蘇教版三個版本的教材，均采用了多樣化的素材來教學(xué)，有的用年齡關(guān)系，有的用運算公式，有的用面積公式等，其內(nèi)在的邏輯順序是什么？

北師大版教材在學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”時用到了“青蛙歌”（人教版和蘇教版沒用），并發(fā)問：“你能用一句話將這首兒歌說完嗎？”在實際的教學(xué)中，部分孩子對呈現(xiàn)出來的答案心存疑慮：“a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a條腿”真的就說完了嗎？為什么要說完？a只還是不知道有多少只，這不等于沒有說嗎？字母表示數(shù)有什么用？

對于“用字母表示數(shù)”的內(nèi)在邏輯順序，查閱文獻后得知：用文字代表數(shù)的思想內(nèi)涵，可以分為兩大類：一類是常識意義下的使用符號、文字來代表事物。如代表名字（如中文名、英文名），代表某人（如“甲”），代表一部分事物（如老師），代表某一規(guī)律 （如運算規(guī)律），泛指自然數(shù)（如用b表示青蛙只數(shù)）。這一類描述對象是已知的對象或規(guī)律，目的是為了使表示更加簡單、方便、好用。另一類是代表一個特定的未知數(shù)。這是一種特殊的思維方式，即為了尋求未知數(shù)的值，我們稱之為方程思想方法。這一過程中，對象是未知的、特定的數(shù)。

于是，我們將第二次的教學(xué)流程設(shè)計為：用字母表示任意數(shù)、一類數(shù)、自然數(shù)，最后用字母表示特定的未知數(shù)。盡量減少情境轉(zhuǎn)換，而是發(fā)揮每個情境的作用，將其價值用足。

第二次案例嘗試

根據(jù)以上的認(rèn)識，并參考張奠宙、劉加霞老師的研究和李培芳、李維中、畢波等老師的教學(xué)設(shè)計，我們重新設(shè)計了以下教學(xué)活動。

（一）體會代數(shù)思維。

師：老師心中想了一個數(shù)，這個數(shù)可以怎么表示？

生：老師，是哪個數(shù)？

師：我不作任何提示，請把我心中想的這個數(shù)表示出來。

生：可以用任何一個字母表示，如字母a。

生：很多公式也可以這樣表示，如加法結(jié)合律、乘法分配律、乘法結(jié)合律等。

……

師：我們不知道的數(shù)，可以用字母來表示，如用字母x等。這個x可以表示多少呢？

生 ：100、1000、10000、0都可以。

生：可以表示任意數(shù)。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會用字母可以表示任意數(shù)。

師：現(xiàn)在老師心中想到了一個人的年齡，用字母x表示。這個x可以表示任意數(shù)嗎？

生：不行。要根據(jù)實際情況表示年齡，年齡不是無限大的，應(yīng)該有一定的范圍，如1000歲、10000歲就不可能。

生：人的年齡一般在100歲以內(nèi)。

生：年齡每年都是變化的，今年11歲，明年就是12歲了。

師：如果x代表我們班某個同學(xué)的年齡，x的范圍是什么呢？

生：四年級的年齡一般是9歲或者10歲。

師：（小結(jié)）一般來說，字母可以表示任意的數(shù)，但在具體問題中，可能有不同限制，是一定范圍內(nèi)的數(shù)或特定的數(shù)。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生體會由任意數(shù)發(fā)展到范圍數(shù)和特定數(shù)的過程，體會用字母表示數(shù)的必要性。

師：小明x歲，再來一個小紅，怎么表示小紅的年齡？

生：用 y。

師：如果知道小紅比小明大3歲，如何表示小紅的年齡？

生：（x+3）歲。

師：你認(rèn)為用（x+3）與 y 表示小紅年齡，哪個好？

生1：用 y比較好，可以代表任何數(shù)。（x+3）不知道到底是x還是3。

生 2：用 y 比較好，（x+3）比較復(fù)雜。

生 3：我覺得用（x+3）好一些。因為如果知道小明的年齡了，而只需要“+3”就可以知道小紅的年齡了。

生4：我同意生3的意見，因為如果用y，就不知道誰大誰小，更不可能知道小紅比小明大3歲，（x+3）就可以知道他們之間的年齡關(guān)系了。

師：（x+3）可以表示多少？是任意一個數(shù)嗎？

生1：不是，因為前面是 x，“+3”后就是比x大3了。

生2：我覺得是任意的，因為x是任意一個數(shù)，所以（x+3）也可以表示任意一個數(shù)。例如如果 x 是 9，那么（x+3）就是 12；如果 x 是 10，那么（x+3）就是 13了。

設(shè)計意圖：嘗試表示數(shù)量關(guān)系的過程，其實也是讓學(xué)生經(jīng)歷用含有字母的式子表示數(shù)的抽象過程。

師：想一想，什么在變？什么不變？

生：年齡在變，但他們的年齡差距不變。

師：不變的是歲數(shù)之間的關(guān)系。

設(shè)計意圖：進一步體會數(shù)量關(guān)系。

師：又來了一個人小華，他的歲數(shù)是2x。誰明白2x表示什么意思？

生：就是 2個 x，表示小華的年齡是小明年齡的2倍。

師：2x 確實表示“2×x”。 數(shù)字和字母相乘，一般將數(shù)字寫在前面，中間的乘號去掉。

師：（板書：x x+3 2x）判斷一下，三人中誰的年齡最大？

小組交流后匯報，不同范疇有不同情況：小明最小，小紅和小華都比小明大；當(dāng)x<3時，x+3最大；當(dāng)x=3時，x+3和2x一樣大；當(dāng)x>3時，2x最大。

師：誰的年齡最大呀？

生：不可能小明最大。有時候小紅最大，有時候小華最大。

設(shè)計意圖：體會意義的同時，也為解方程打下基礎(chǔ)。教學(xué)時，發(fā)現(xiàn)還是有一些難度，可以充分舉例后再概括。

（二）發(fā)展符號意識。

1.獨立創(chuàng)造。

師：請寫出連續(xù)的三個自然數(shù)。

生：很多，如 2、3、4。

生：可以是 a、b、c。

生：x+1、x+2、x+3。

2.交流辨析。

師：哪種表示方法比較好？

討論后學(xué)生達成共識：“x+1、x+2、x+3”這種方法比較好。因為能表示相互之間的關(guān)系。

設(shè)計意圖：在表示關(guān)系的同時，進一步體會用字母表示數(shù)的必要性。

3.能用一句話來表示這首兒歌嗎？

1只青蛙1張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。

2只青蛙2張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。

3只青蛙3張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。

4只青蛙4張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。

……

生：a只青蛙b張嘴，c只眼睛d條腿。

生：a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿。

師：想一想青蛙嘴的張數(shù)與眼睛、腿的數(shù)量有什么關(guān)系？

生：眼睛的只數(shù)是嘴的張數(shù)的2倍。

生：腿的條數(shù)是嘴的張數(shù)的4倍。

生：我想應(yīng)該是a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a條腿。

學(xué)生在同伴的相互提醒中調(diào)整，理解了青蛙嘴的張數(shù)與眼睛的只數(shù)、腿的條數(shù)之間的關(guān)系。接下來又讓學(xué)生嘗試填寫下面兩個兒歌，并進行交流。

①小狗歌：n只小狗（ ）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。

②同學(xué)歌：n個同學(xué)（ ）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。

設(shè)計意圖：體會用字母表示數(shù)必要性的同時，進一步加深對數(shù)量關(guān)系的理解。

（三）體會代數(shù)價值。

1.體會“字母可以表示計算公式”。

用字母表示長方形的周長、面積、運算律等。

設(shè)計意圖：豐富對用字母表示數(shù)的認(rèn)識。

2.體會同一符號的多重意義。

如果正方形的邊長是a，那么正方形的周長是4a。生活中還有哪些地方用到4a？

一個文具盒a元，4個文具盒多少元？

一張桌子4條腿，a張桌子多少條腿？

……

師：怎么都是4a？4a還可以表示什么？

設(shè)計意圖：進一步體會代數(shù)價值。

課后分析及反思

一方面，設(shè)計的任務(wù)基本完成，從課堂表現(xiàn)看，學(xué)生課堂上的分析、認(rèn)識較為到位。而且運用一個年齡的情境將之串聯(lián)起來，基本實現(xiàn)了引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象的過程，達到了體會用字母表示數(shù)的必要性的目的。

另一方面，基本遵循了用字母表示任意數(shù)、范圍數(shù)到特定數(shù)的歷程，老師們覺得順手了，不再為情境的頻繁轉(zhuǎn)換而感覺難以掌控了。

但也出現(xiàn)了我們未預(yù)料到的問題。

第二次的案例嘗試雖然老師覺得順手了，但學(xué)生掌握知識的結(jié)果沒有多大變化，甚至感覺學(xué)生練習(xí)中的表現(xiàn)還不如第一次教學(xué)。

如有個別學(xué)生對于轉(zhuǎn)換情境之后的用字母表示數(shù)表現(xiàn)得不堅定，這可能與案例過多依靠描述年齡這個素材，沒有為學(xué)生提供多樣化的素材促進理解有關(guān)。但學(xué)生經(jīng)提醒后馬上可以矯正，這說明雖然學(xué)生對用字母表示任意數(shù)、范圍數(shù)、特定數(shù)理解起來并不困難，但豐富的素材、多樣的情境對促進學(xué)生多角度理解用字母表示數(shù)非常關(guān)鍵。這也讓我們反思之前的設(shè)計：一味追求知識的內(nèi)在邏輯，忽略了學(xué)生的認(rèn)知特點。所以，當(dāng)我們深入分析北師大第四版教材后，覺得新教材在這方面的改進更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)。新教材分為兩個課時：第一課時是利用一個素材貫穿始終，以青蛙歌為線索，側(cè)重于用字母表示數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜程度，逐步由淺到深地安排活動，關(guān)照學(xué)生的認(rèn)知特點展開教學(xué)；第二課時引進面積和運算公式，豐富學(xué)生的感知。

（作者單位：北京師范大學(xué)中國教育創(chuàng)新研究院）