感悟“不變量”的魅力

◇王 兵

感悟“不變量”的魅力

◇王 兵

有些應(yīng)用問題，數(shù)量變化多，看起來很復(fù)雜,無從入手，變來變?nèi)?，但若仔?xì)分析，往往總有一個(gè)量是不變的，這就是我們所說的“不變量”。如果能引導(dǎo)學(xué)生抓住“不變量”這個(gè)關(guān)鍵，就有助于學(xué)生很快找到最佳解題思路，提高解題能力。

例1：甲、乙兩人分別從相距50千米的A、B兩地同時(shí)相對(duì)出發(fā)。與此同時(shí)，獵狗以每小時(shí)6千米的速度從A地出發(fā)，遇到乙后立即返回向甲奔去，在遇甲后，又向乙奔去……就這樣，獵狗不停地來回奔跑于甲、乙之間，直到甲、乙相遇時(shí)，獵狗才停下。如果甲每小時(shí)行3千米，乙每小時(shí)行2千米，這只獵狗一共跑了多少千米？

【分析】這道題最讓人迷惑不解的是甲身邊的那條狗。如果把狗跑的路程相加，這樣很煩瑣且不易計(jì)算。根據(jù)甲、乙兩人相遇經(jīng)過的時(shí)間與狗跑的總時(shí)間“不變”，即 50÷(3＋2)＝10(小時(shí))，這樣就很巧妙地求出狗一共跑的路程是 6×10＝60(千米)。

例2：山上有群羊，山下有群羊。若山上的羊跑到山下1只，則山上的羊與山下的相等；若山下的羊跑到山上1只，則山上的羊是山下的羊的2倍。山上和山下的羊各有幾只？

【分析】山上的羊跑到山下，山下的羊跑到山上，山上的羊和山下的羊數(shù)量都在變化，如果從變量的角度去思考，問題愈加復(fù)雜，難以答解。仔細(xì)分析，羊的總只數(shù)“不變”。若山上的羊跑到山下1只，這時(shí)山上的羊占總只數(shù)的一半；若山下的羊跑到山上1只，這時(shí)山上的羊占總只數(shù)的三分之二。把羊的總只數(shù)看作單位“1”，又未知。山上的羊前后兩次差2只，因此羊的總只數(shù)是2÷＝12，所以山上的羊有12÷2＋1＝7（只），山下的羊有 12－7＝5（只）。

例3：森林動(dòng)物運(yùn)動(dòng)會(huì)開始了，一共有120個(gè)動(dòng)物參加，有狗、馬、兔、羊4個(gè)代表隊(duì)，已知狗的數(shù)量占其他動(dòng)物的，馬的數(shù)量占其他動(dòng)物的，兔的數(shù)量占其他動(dòng)物的，羊有多少只？

【分析】題中單位“1”都是其他動(dòng)物，但每一個(gè)條件中“其他動(dòng)物”是不一樣的。單位“1”在變，但全部運(yùn)動(dòng)員的數(shù)量是不變的。如果把全部運(yùn)動(dòng)員的數(shù)量看作單位“1”，就要先求出每種動(dòng)物占總數(shù)的幾分之幾。狗的數(shù)量占總數(shù)的分率是，馬、兔的數(shù)量占總數(shù)的分率分別是。那么羊的數(shù)量占總數(shù)的分率是，這樣羊的只數(shù)就迎刃而解：120×＝26（只）。

“不變量”在許多面積公式推導(dǎo)中具有不可替代的作用。如用“割補(bǔ)法”推導(dǎo)平行四邊形的面積，用“剪拼法”推導(dǎo)圓的面積等。

（作者單位：河南南召縣紅陽小學(xué)）