可以用尺規(guī)法作橢圓嗎？

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可以用尺規(guī)法作橢圓嗎？

江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué)(212300)史建軍

1.方法滋生想法：方法讓想法油然而生

在學(xué)習(xí)《圓錐曲線》第一節(jié)(蘇教版選修2-1，2.1)時(shí)，課本介紹用兩種方法得到了橢圓：

方法一：用平面截圓錐面；

方法二：利用橢圓的定義：因?yàn)闄E圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)且大于F1F2(F1,F2為焦點(diǎn))，故可選一根長度大于F1F2的細(xì)繩，將其兩端分別固定在F1,F2點(diǎn)，用筆尖把細(xì)繩拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，即得一橢圓.

課堂上，我用方法二演示了橢圓的畫法，請(qǐng)了兩位學(xué)生，三人合作完成，實(shí)在不易.于是心中陡生一念：能否棄繁從簡，僅用尺規(guī)法畫出橢圓？

2.想法催生方法：想法讓方法絕處逢生

起初連自己都對(duì)這個(gè)“想法”感到驚訝：此前聞所未聞！問之于同事,皆搖頭笑我異想天開.冥思苦想多日，毫無頭緒.也許這是天方夜譚，根本不可能？就在我快要放棄時(shí),一道習(xí)題讓我眼前一亮.

習(xí)題1已知⊙C:(x+1)2+y2=25及點(diǎn)A(1,0)，M為圓上一點(diǎn)，AM中垂線交CM于Q，求Q的軌跡方程.

不難求得上述問題的軌跡為橢圓，這個(gè)結(jié)果使我豁然開朗：既然直接“畫”出橢圓很困難，那么是否可以先描出橢圓上的若干個(gè)點(diǎn)，用“軌跡法”來“畫”出橢圓呢？這個(gè)想法讓我歡欣鼓舞，經(jīng)過探索，得到以下結(jié)論：

圖1

上述結(jié)論說明，對(duì)于⊙F1上任意的點(diǎn)M，線段MF2的中垂線與MF1的交點(diǎn)Q必在一橢圓上.因此，只要在⊙F1上取足夠多的點(diǎn)Mi(i=1,2,…)，就能得到足夠多的相應(yīng)點(diǎn)Qi(i=1,2,…)，順次連接這些點(diǎn)，就能“畫”出橢圓.這個(gè)過程雖然只是用點(diǎn)“描”出了橢圓，但僅用到了直尺和圓規(guī)，符合“尺規(guī)法”要求，更令人驚喜的是，將條件稍作改變，還能用類似的方法“畫”出雙曲線和拋物線.

定理2若⊙F1:(x-c)2+y2=4a2(c>a>0),點(diǎn)F2(-c,0)，M為⊙F1上任一點(diǎn)，MF2的中垂線與F1M交于Q，則Q的軌跡為雙曲線，且方程為

圖2

圖3

證明：如圖3,∵l為MF的中垂線,∴|QM|=|QF|,故Q的軌跡為拋物線，方程為y2=2px.

我把我的方法和同事交流，經(jīng)過眾人反復(fù)思考與探討，一致認(rèn)為：橢圓作為一種圓錐曲線，已經(jīng)超出了“尺規(guī)法”的能力范圍，不可能像直線、三角形、圓那樣“一蹴而就”，但可以通過尋求一些可行的、易于操作的“軌跡法”來“描”出橢圓.

如果說油然而生的想法是一種探究，那么對(duì)方法的上下求索就是一場探尋，由方法滋生想法，而想法又催生方法，方法讓想法絕處逢生，這是一番執(zhí)著的探求，一次思維的旅行.

3.方法衍生方法：方法讓方法妙趣橫生

初戰(zhàn)告捷，盡管并不完美，但令人振奮的是畢竟找到了“解惑”的思路：即尋求“點(diǎn)的軌跡”，僅用尺規(guī)，關(guān)鍵要便于操作.題海茫茫，還能找到這樣的“軌跡”，繼續(xù)探索之旅嗎？

問題2已知⊙C1:(x+1)2+y2=4,⊙C2:(x-1)2+y2=4,直線l過原點(diǎn)且與⊙C1交于M1,M2,與⊙C2交于N1,N2,若直線C1M2與C2N1交于點(diǎn)Q,求Q的軌跡方程.

不難求得上述軌跡為橢圓，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)，即得雙曲線和拋物線.

圖4

證明：如圖4,∵ΔOF1M2?△OF2N2，∴∠F1M2O=∠F2N2O，即∠F1M2M1=∠F2N2O，又|F1M1|=|F1M2|=a，∴∠F1M1M2=∠F1M2M1,∠F1M1M2

=∠F2N2O,因此有：|QM1|=|QN2|.從而|QF1|+|QF2|=|M1F1|+|M1Q|+|QF2|=|M1F1|+|N2Q|+|QF2|=|M1F1|+|F2N2|=2a.

圖5(1) 圖5(2)

證明：如圖5(1),∵ΔM1F1O?ΔN1F2O,∴∠F1M1O=∠F2N1O,又∠F2N1O=∠F2N2N1=∠M1N2Q,∴∠F1M1O=∠M1N2Q,∴|QM1|=

|QN2|,∴|QF2|-|QF1|=|QN2|+|N2F2|-|QF1|=|QM1|+|N2F2|-|QF1|=|QF1|+|F1M1|+|N2F2|-|QF1|=|F1M1|+|N2F2|=2a.

y2=2px.

圖6

證明：如圖6，∵M(jìn)Q∥FC,∴∠QMN=∠FCN=∠FNC=∠MNQ,∴|QM|=|QN|,∴|QF|=|QN|+|NF|=|QM|+|MK|,故Q的軌跡為拋物線，方程為y2=2px.

方法源于想法，想法是開啟方法大門的金鑰匙；方法衍生方法，方法是開啟方法之門的一串鑰匙.隨著方法之門的逐漸開啟，思維的逐步深入，探索不再是絞盡腦汁的困頓苦旅，而是妙趣橫生的繼續(xù)遠(yuǎn)行.

4.幾點(diǎn)感悟

可以用尺規(guī)法作橢圓嗎？當(dāng)我把我的“想法”與相當(dāng)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的同事分享時(shí)，他們大多意興闌珊，甚至毫無念及；當(dāng)我把我的“方法”與他們探討時(shí)，他們卻不約而同地興致盎然，并且樂此不疲地提出了一些有價(jià)值的意見.這使我意識(shí)到，所謂“經(jīng)驗(yàn)”，只是教學(xué)年歲的增長、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式的重復(fù)，這在很大程度上已經(jīng)成為阻礙教師專業(yè)發(fā)展的瓶頸.教師缺乏的不是解決問題的“方法”，而是提出問題的“想法”，即缺乏問題意識(shí).

4.1即使有方法，未必有想法

教師在長期的教育教學(xué)過程中，積累了豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和精湛的解題方法和技巧，對(duì)常見問題總能從容面對(duì)，應(yīng)付自如.但并非每位教師都能提出問題，更不是都善于提出問題，只是一味地“占有”和“貯存”知識(shí)和方法.教師問題意識(shí)的缺乏主要有兩方面的原因：

一是教師在已經(jīng)形成的教學(xué)習(xí)慣中對(duì)于日常的問題視而不見.教師工作環(huán)境的封閉性、教學(xué)內(nèi)容的重復(fù)性以及對(duì)象的相似性等都有可能導(dǎo)致教師的慣性思維和習(xí)慣行為.這使得教師在教學(xué)過程中往往盲從于經(jīng)驗(yàn)，很難對(duì)自己的教學(xué)取得進(jìn)一步的提升，也在一定程度上限制了教師問題意識(shí)的養(yǎng)成.

二是教師在教學(xué)中，可能會(huì)遇到一些問題和困惑，但是由于教師本人會(huì)認(rèn)為這些疑問和問題不重要或者難以解決，而沒有對(duì)這些疑問或問題作進(jìn)一步思考.因此，提不出問題，并不說明教師對(duì)知識(shí)已徹底理解并駕馭自如，久而久之，就難以形成教師對(duì)問題的敏感性和自覺性程度，難以培養(yǎng)出教師的問題意識(shí).

4.2如果沒想法，必然沒方法

問題是思考的對(duì)象，是思維發(fā)展的產(chǎn)物，沒有問題就無法展開思維.提出問題的本質(zhì)就是創(chuàng)新，創(chuàng)新過程就是創(chuàng)造性思維活動(dòng)和優(yōu)化思維品質(zhì)的過程. “問題意識(shí)”指的是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)意識(shí)到一些不易解決或疑惑不解的實(shí)際問題及理論問題，并產(chǎn)生一系列如:疑惑、煩躁、焦慮、探索等的一種心理狀態(tài)，這種心理狀態(tài)又可以促使個(gè)體不斷思考，不斷提出“問題”和解決“問題”.問題意識(shí)不僅僅體現(xiàn)了個(gè)體思維能力的活躍性和深刻性，也反映了個(gè)體思維能力的獨(dú)立性和創(chuàng)造性.

一位教師如果沒有強(qiáng)烈的問題意識(shí)，就失去了思維的源動(dòng)力，無法促使他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)問題，必然喪失了解決問題的過程，也就不可能將自己“貯存”的方法“牛刀小試”，更不可能在方法上有新的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新.因此，問題是數(shù)學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)，是開啟思維動(dòng)力的鑰匙，是孕育數(shù)學(xué)方法的溫床.沒有問題意識(shí)就不會(huì)有發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思想方法.

4.3研究新想法，活用好方法

每位教師在教學(xué)過程中都會(huì)遇到一些問題，有的問題解決了，有的問題可能會(huì)在一段時(shí)間內(nèi)困擾著教師.不斷總結(jié)提出的問題，可以理清對(duì)教學(xué)研究的思路，明確對(duì)教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)，既有利于對(duì)于已經(jīng)提出的問題的解決，也有助于新的問題的發(fā)現(xiàn)和提出.善于提出新問題，并且堅(jiān)持不懈地思考和探究這些問題，運(yùn)用“貯存”的方法不斷嘗試、研究，不僅能讓這些“舊方法”活力四射,從更深的層次理解和掌握解題規(guī)律和方法，從數(shù)學(xué)思想方法的高度上融會(huì)貫通，掌握數(shù)學(xué)的精髓，更能及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己在知識(shí)和方法上的局限,突破瓶頸,拓展視野,博采眾長,獲得解決問題的“新方法”,不斷發(fā)展與完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)和專業(yè)素質(zhì),獲得不斷的進(jìn)步和成長.

數(shù)學(xué)在不斷的提出問題、不斷的解決問題的過程中得到發(fā)展.18世紀(jì)初，從哥尼斯堡問題的提出到解決,使歐拉和他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家開始認(rèn)識(shí)到，存在著某種新的幾何性質(zhì)，它們和歐氏幾何中研究的幾何性質(zhì)完全不同,這種認(rèn)識(shí)是拓?fù)鋵W(xué)產(chǎn)生的背景.在探尋五次和五次以上方程的一般公式解法的過程中，伽羅瓦另辟蹊徑，開創(chuàng)性地提出了群論.可見“提出問題”是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的要求.

教師作為教學(xué)研究者，不能只停留在知識(shí)和方法的“占有者”和“貯存者”的層面上，被動(dòng)地思考，而要做一個(gè)教育教學(xué)的主動(dòng)探索者.而要想做一個(gè)探索者首先必須要有強(qiáng)烈的“問題意識(shí)”，主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)問題，要帶著問題去研究教學(xué)，做思考的實(shí)踐者.用科學(xué)的精神去探究，用教育科研的方法去研究，力求找到解決問題的方法和途徑.提出問題比解決問題更重要，解決問題也許僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上的方法和技巧而已，而提出問題，從新的角度去看待舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想像力.因此，教師在教學(xué)實(shí)踐過程中應(yīng)努力培養(yǎng)自己的“問題意識(shí)”，做一個(gè)有“想法”的教師.