一道經(jīng)典高考數(shù)列壓軸題的教學(xué)分析

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一道經(jīng)典高考數(shù)列壓軸題的教學(xué)分析

江蘇省沛縣中學(xué)(221600)崔道永

高考試題中的壓軸題是命題者凝神聚力的成果，它或依靠命題者深厚的解題經(jīng)驗(yàn)或來源于他們生活中的靈感而具有豐富的解題思想方法與能力考查功能，并對我們的數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是高三的復(fù)習(xí)教學(xué)提出明確的指向性；數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，因其涉及的知識面廣而成為高考壓軸題的重要來源之一.下面是筆者的一次課堂經(jīng)歷，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生自主探究了2005年江蘇高考試題數(shù)學(xué)卷數(shù)列壓軸題的解法與思想，以說明筆者對高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的一些看法，不當(dāng)之處敬請老師們批評指正.

1.試題呈現(xiàn)

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1,a2=6,a3=11，且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B，n=1,2,3，…，其中A、B為常數(shù)．

(1)求A與B的值；

(2)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

(3)略．

2.教學(xué)過程

師：觀察試題結(jié)構(gòu)，如何解決第1小題？

生1：對遞推關(guān)系式賦值，分別令n=1,2可聯(lián)立關(guān)于參數(shù)A,B的方程組，不難解得A=-20，B=-8.

師：很好，這里利用了特殊化的解題思想，第2小題呢？

(小組合作交流、討論5分鐘)

生2：解決遞推式問題經(jīng)常用“逐差法”，即，將n變?yōu)閚+1后所得的式子與原式作差尋求數(shù)列兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系，進(jìn)而找到數(shù)列的項(xiàng)所呈現(xiàn)的規(guī)律.

師：說的不錯(cuò)，我們經(jīng)常用“復(fù)制作差”的方法解決該類問題，你們小組作差后的情況如何？展示一下.

生2：將①式(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8中的n變?yōu)閚+1復(fù)制后可得②式(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28，由②-①可得③式(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20.

師：越來越復(fù)雜??！

生2：是啊，越逐差越亂了啊，是不是我們小組采用的方法錯(cuò)了啊？

師：常用逐差法探究數(shù)列遞推式問題本身并沒有錯(cuò)，可得有信心??！

生3：老師我知道了，在把③式中的n再變?yōu)閚+1后再作差，看看情況.

生2：對啊，將③式中的n再變?yōu)閚+1后可得④式(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20，④-③可得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0,(5n+2)(Sn+3-Sn)-3(5n+2)(Sn+2-Sn+1)=0,即(5n+2)(an+1+an+2+an+3-3an+2)=0，化簡可得an+1+an+3=2an+2，且a1，a2，a3也滿足，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

點(diǎn)評:用“逐差法”處理相關(guān)的數(shù)列遞推式問題在教學(xué)中很常見，尤其是遞推式中隱含的數(shù)列的特定性質(zhì)不明顯時(shí)，可把n變?yōu)閚+1后作差尋求解決問題的突破口.高考壓軸題往往具有一定的區(qū)分度以起到選拔優(yōu)秀人才的作用，而許多壓軸題的解題思路離不開學(xué)生扎實(shí)的基本功和過硬的心理素質(zhì)，對于本題通過一次作差得到③式，在高考寸秒寸金的考場上很多學(xué)生就因恐懼失去了信心，更放棄了距離答案只有一步之遙的正確結(jié)果，因此我們在日常教學(xué)解決一些復(fù)雜的常規(guī)問題時(shí)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生增強(qiáng)自信，例如這里的二次逐差，再如利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題經(jīng)常碰到的二次求導(dǎo)問題都應(yīng)該有堅(jiān)持運(yùn)用解決問題的通性通法的意識.

壓軸題、難題如此，中低檔題也需要過硬的心理素質(zhì)，高考試題中容易題、中檔題及難題的占比為4∶4∶2，容易題設(shè)計(jì)思路單一，難度相對較小，對大部分學(xué)生都應(yīng)該做到不失分而不是少失分，而現(xiàn)實(shí)并不像我們期待的那樣，因此加強(qiáng)應(yīng)試的解題心理疏導(dǎo)應(yīng)成為二輪復(fù)習(xí)教學(xué)的常態(tài).

師：運(yùn)用“逐差法”還能否簡化過程？請觀察遞推式中的系數(shù).

生4：結(jié)合①式(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8，有兩個(gè)5n，展開后合并有5n(Sn+1-Sn)-8Sn+1-2Sn=-20n-8 ，即得⑤式5nan+1-8Sn+1-2Sn=-20n-8，將⑤式中n變?yōu)閚+1得⑥式5(n+1)an+2-8Sn+2-2Sn+1=-20n-28，⑥-⑤有5(n+1)an+2-5nan+1-8an+2-2an+1=-20,即⑦式(5n-3)an+2-(5n+2)an+1=-20.

師：雖然很麻煩，但比③式看著舒服多了，經(jīng)過一次作差所得的結(jié)果形式上簡單了，但還是沒有完成任務(wù).

生4：將⑦式中n變?yōu)閚+1得⑧式(5n+2)an+3-(5n+7)an+2=-20，⑧-⑦有(5n+2)an+3-(5n+7)an+2-[(5n-3)an+2-(5n+2)an+1]=0，即an+1+an+3=2an+2.且a1，a2，a3也滿足，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

生5：觀察⑦式(5n-3)an+2-(5n+2)an+1=-20刻畫了連續(xù)兩項(xiàng)之間的關(guān)系，可構(gòu)造與{an}相關(guān)的新數(shù)列從而間接的求其通項(xiàng)，待定系數(shù)可設(shè)：

化簡得an+2=5n+6，從而an=5n-4.

且a1，a2，a3也滿足，因?yàn)閿?shù)列{an}的通項(xiàng)是關(guān)于n的一次結(jié)構(gòu)，且an-an-1=5.

由定義可知數(shù)列{an}為公差為5的等差數(shù)列.

點(diǎn)評:問題的解決應(yīng)遵循求簡、求快速的原則，這樣可以節(jié)省時(shí)間、提高信心.這里結(jié)合①式中的兩個(gè)“5n”通過一次作差得到較③式更為簡潔的⑦式，避免了③式給學(xué)生感官上帶來的茫然，并且在⑦式的基礎(chǔ)上可多角度的審視問題，最后生5還發(fā)現(xiàn)利用迭乘法解決問題.

師：很好，看來大家對等差數(shù)列的判定問題很熟悉了.

師：看起來不錯(cuò)，大家考慮一下有問題嗎？

生7：用待證的結(jié)論作為條件來證明結(jié)論，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

師：有道理，根據(jù)遞推式導(dǎo)致數(shù)列的確定性，有沒有避免循環(huán)論證錯(cuò)誤的方法呢？

生7：生6證明了數(shù)列{an}的存在性，只要補(bǔ)充證明其唯一性即可，原因是5n-8，5n+2均不為0，故{Sn}唯一確定，從而{an}也唯一確定.

生8：受生7的數(shù)列唯一確定的啟發(fā)，結(jié)合命題是關(guān)于正整數(shù)n的命題，可根據(jù)數(shù)列{an}的前三項(xiàng)先猜測其通項(xiàng)公式再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

師：很好！數(shù)學(xué)歸納法是解決與正整數(shù)n相關(guān)的命題的常用方法，但也要證明其唯一性.

(生8板演，集中交流展示)

生8：由a1=1,a2=6,a3=11可猜測an=5n-4，證明如下：

當(dāng)n=1,2,3均成立；

所以猜測成立，結(jié)合數(shù)列的唯一確定性易知an-an-1=5，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

點(diǎn)評:首先，運(yùn)用逆向思維解決問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中要求層次較高，生6、7、8在環(huán)環(huán)相扣的條件下從結(jié)論入手，即先假設(shè)或先猜測{an}為等差數(shù)列，再結(jié)合①式化簡，但容易犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤，即一般問題將結(jié)論當(dāng)條件進(jìn)行證明結(jié)論，顯然邏輯上講不通；但本題鑒于5n-8，5n+2均不為0，得出{Sn}與{an}具有存在性與唯一性，因此用辯證的觀點(diǎn)去思考可培養(yǎng)學(xué)生看待問題的理性精神，在處理問題時(shí)能使他們不斷地通過自我檢測并改進(jìn)、優(yōu)化方法并梳理事物間的變化關(guān)系，也能在一定程度上培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

其次，從特殊探究一般問題是基于普遍性存在于特殊之中的普遍規(guī)律，而解決數(shù)列的通項(xiàng)問題其中一種重要方法就是歸納，但需要科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程，本題通過歸納出的首項(xiàng)、公差在證明時(shí)容易對號入座.

第三，利用類比的方法思考問題學(xué)生能不斷的積累基于問題解決的思想方法與解題能力，通過對條件、結(jié)論信息的不斷加工并不斷地發(fā)散思維、尋求類似的相關(guān)的數(shù)學(xué)模型及思想方法進(jìn)而提升了學(xué)生對問題的表征能力與遷移能力，更重要的是學(xué)生優(yōu)秀的思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)一起得到加強(qiáng)與升華，這里雖然看似生6的驗(yàn)證法與生7的數(shù)學(xué)歸納法風(fēng)馬牛不相及，但在解決該問題時(shí)又都是基于先猜再證的思想，因此類比教學(xué)的重要之處在于尋求兩類或多類問題之間的可類比點(diǎn)，并發(fā)現(xiàn)問題解決的入口.

師：今天在同學(xué)們的共同努力下，我們用了多種方法研究了一道“十年純釀”：2005年的高考江蘇卷的數(shù)列壓軸題，你有何收獲？

生10：證明數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法：(1)定義法；(2)通項(xiàng)為關(guān)于n的一次結(jié)構(gòu)；(3)和式為關(guān)于n的二次結(jié)構(gòu)；(4)連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系an+an+2=2an+1，處理的策略主要有逐差(商)法、迭加(乘)法、公式法、構(gòu)造生成數(shù)列及先猜測后證明等.

3.幾點(diǎn)思考

3.1教學(xué)中師生要對教學(xué)素材多一點(diǎn)研究

低年級的新授課不應(yīng)是遵循教材機(jī)械的講解，更多要求教師在教材的研讀、素材的整合、問題的引入方式方法及知識的生成過程上多下功夫，這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲，相反按部就班的平鋪直敘只會使教學(xué)效果黯然失色；高三的復(fù)習(xí)課主要以試題為載體說明知識的來龍去脈與之間的相互關(guān)系，這就需要對試題的價(jià)值準(zhǔn)確定位，通過深入研究并剖析問題對貫通思想方法的功能，現(xiàn)實(shí)中大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為壓軸題對緊張有序的高三二輪復(fù)習(xí)沒有任何意義，不少一線教師在二輪復(fù)習(xí)的教學(xué)中對試題的評講也有這樣的誤區(qū)，即：不講也會的不講，講了不會的也不講，如此以來難度較大的試題包括經(jīng)典的高考壓軸題就失去了它本有的教學(xué)價(jià)值，本文說明部分壓軸題僅僅是簡單問題難度上的增強(qiáng)版，它對于掌握解決數(shù)列問題的常見方法的作用不言而喻，其它有的題目可能偏愛于這一種方法，而另一道題目卻偏愛于那一種方法，總之很多壓軸題不僅能幫助學(xué)生系統(tǒng)的認(rèn)識問題，更重要的是還可以揭示高考難度較大試題的面紗增強(qiáng)自信心，而不是對壓軸題敬而遠(yuǎn)之，試想學(xué)生從來沒有站在一定的高度上其眼光也不會長遠(yuǎn).

3.2二輪復(fù)習(xí)應(yīng)注重知識的宏觀結(jié)構(gòu)、問題的本質(zhì)與問題解決的通性通法

近年來高考經(jīng)歷了若干次大的改革，主要體現(xiàn)在考試的方案與試題命制的方向，但對核心知識及思想方法的考查并未隨之呈現(xiàn)大幅變化，例如本文呈現(xiàn)的數(shù)列的項(xiàng)、和及其之間的關(guān)系問題依舊出現(xiàn)在全國各省市的高考試題中，筆者所選取的試題雖然距今已有10年之久，但因?yàn)榫哂心芊从硵?shù)列一章宏觀結(jié)構(gòu)、體現(xiàn)問題本質(zhì)與思想方法的功能而精彩，所以二輪復(fù)習(xí)應(yīng)借助部分有價(jià)值的壓軸題的講解將實(shí)效落到實(shí)處.難度較大的高考試題經(jīng)常在知識的交匯處設(shè)計(jì)問題以突出其考查的綜合性、全面性，只有學(xué)生大腦中形成非常清晰的知識結(jié)構(gòu)與思想方法體系才能高屋建瓴的優(yōu)化解題方向；雖然本題難度較大，但辯證的思考通性通法與巧法它們又是矛盾的統(tǒng)一體，因?yàn)橛眠^兩次的巧法就可以認(rèn)為是一種通法，對于基礎(chǔ)較好的同學(xué)新事物、新方法是可行的、必要的.

3.3突出學(xué)生的主體地位，通過活動教學(xué)促進(jìn)“四基”相互作用并真正實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效

當(dāng)下不同的教學(xué)模式在全國各地應(yīng)運(yùn)而生，每種教學(xué)模式都不可避免的存在一些不足甚至是弊病，但它們中的很多依據(jù)建構(gòu)主義的理論通過學(xué)生自主活動克服了傳統(tǒng)的簡單傳授式教學(xué)的不深刻性，學(xué)生反映記的比以前更久了.本節(jié)課從開始的試題條件與結(jié)論的分析到思路方法的選取再到結(jié)尾知識與方法系統(tǒng)的總結(jié)都是在學(xué)生自主的情況下完成，教師僅僅扮演了引路人的角色，這與課改的方向一致，與教學(xué)的認(rèn)知規(guī)律相符，的確在探究的過程中學(xué)生收獲的是學(xué)習(xí)的快樂與能力的提升.

當(dāng)學(xué)生在不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程的操作過程中形成并積累著由感性向理性過度的基本活動經(jīng)驗(yàn)，而基本活動經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過形式化的演繹可準(zhǔn)確的幫助學(xué)生的表征能力，也可深化對數(shù)學(xué)模型的細(xì)化，另外通過對基礎(chǔ)知識的歸納形成了問題解決的內(nèi)核數(shù)學(xué)思想方法，最終提升了學(xué)生的思維水平.