“四知”引領(lǐng)二輪復(fù)習(xí)　“任務(wù)驅(qū)動(dòng)法”激活教學(xué)*——以一節(jié)高三二輪復(fù)習(xí)課為例

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“四知”引領(lǐng)二輪復(fù)習(xí)“任務(wù)驅(qū)動(dòng)法”激活教學(xué)*
——以一節(jié)高三二輪復(fù)習(xí)課為例

黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)(163000)伊波

1背景

本節(jié)課是本組承擔(dān)的黑龍江省教育科學(xué)“十·二五”規(guī)劃課題：任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)法在數(shù)學(xué)探究課教學(xué)中的應(yīng)用研究(省重點(diǎn)課題，編號(hào)JJB1211003)階段性研究成果.這里提到的“四知”教學(xué)法是在黑龍江名師、特級(jí)教師楊春堂老師所提出的“三知”教學(xué)法上發(fā)展和提升而來的.筆者在二輪復(fù)習(xí)中結(jié)合“四知教學(xué)法“、“任務(wù)驅(qū)動(dòng)法”進(jìn)行教學(xué)，教學(xué)成效顯著，較大的激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興致和學(xué)習(xí)效率，初步形成了自身的教學(xué)特色.本節(jié)課是筆者在校內(nèi)的青年教師匯報(bào)課上向校內(nèi)外老師們展示的一節(jié)二輪復(fù)習(xí)課，課后的討論中評(píng)論員給予了很高的評(píng)價(jià)，并且本節(jié)課被推薦到市里做了相應(yīng)的說課，也收到了不錯(cuò)的交流效果.

2教學(xué)內(nèi)容解析

一元不等式恒成立問題及其簡單應(yīng)用，內(nèi)容在教材上雖然沒有直接的顯現(xiàn)出來，但是該內(nèi)容是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，是函數(shù)與不等式的交叉內(nèi)容，無論是簡單題、中等題還是較難題都可能涉及到，并且在高中數(shù)學(xué)各個(gè)章節(jié)中都能體現(xiàn)出來，如數(shù)列、圓錐曲線、立體幾何等.

一元不等式恒成立問題是一個(gè)綜合性較強(qiáng)、考查學(xué)生綜合能力的問題.看似為不等式問題，實(shí)則為函數(shù)最值問題，然而又不完全等同于函數(shù)最值問題，而是需要學(xué)生有選擇性的進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，從而避重就輕，使問題簡易化.而且很多“隱形問題”最終都可以轉(zhuǎn)化成一元不等式恒成立問題，也就是其有比較廣泛的應(yīng)用.

從數(shù)學(xué)思想上來看，其著重突出了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)基本思想.所以本節(jié)課在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的能力方面有舉足輕重的作用，更能培養(yǎng)學(xué)生解決綜合問題的能力.

3教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

在整個(gè)教學(xué)過程中，教師以“憶知”、“驅(qū)知”、“用知”、“感知”組成教學(xué)環(huán)節(jié)，提前給學(xué)生分發(fā)導(dǎo)學(xué)案，用問題驅(qū)動(dòng)法帶動(dòng)學(xué)生回憶、梳理已學(xué)知識(shí)、總結(jié)方法與規(guī)律、并且能用所學(xué)知識(shí)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.在教師引導(dǎo)下，課堂上突出學(xué)生的主體地位，在小組合作討論下解決問題(課堂上每個(gè)環(huán)節(jié)都采取小組搶答的方式來解決問題)，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的有效達(dá)成，形成高效的課堂.

(1)憶知：教師提出問題，以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的直接梳理與回憶.

通過一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)較熟練地掌握了一元不等式恒成立問題及其簡單應(yīng)用的基本理論知識(shí)，所以這里直接以問題驅(qū)動(dòng)的方法，讓學(xué)生直接總結(jié)出相關(guān)的理論知識(shí)，這樣既能讓老師了解學(xué)生的掌握情況，又能讓學(xué)生參與到課堂中來，一舉兩得.

教學(xué)片段1

問題1一元不等式恒成立問題的本質(zhì)

第五小組搶答：最值問題.我們小組的回答完畢！

問題2解決一元不等式恒成立問題的常見方法

第六小組搶答：分離法，單調(diào)性法，轉(zhuǎn)換變元，判別式法，根的分布法，換元法、導(dǎo)數(shù)法，分類討論，數(shù)形結(jié)合，求必要條件等.我們小組的回答完畢！

問題3解決一元不等式恒成立問題的解題原則

第一小組搶答：分清變元與參數(shù)，搞清不等式與函數(shù)類型，選擇適當(dāng)方法，盡量避免討論，轉(zhuǎn)化成最值問題.我們小組的回答完畢！

問題4一元不等式恒成立問題的常見應(yīng)用

第四小組搶答：定義域逆向題，單調(diào)性逆向題，不等式有解問題，兩個(gè)函數(shù)比較大小問題、在圓錐曲線、數(shù)列等其他內(nèi)容的應(yīng)用，等等.我們小組的回答完畢！

教師：同學(xué)們利用導(dǎo)學(xué)案，在課下查閱筆記和資料較好的完成了上面四個(gè)問題，各個(gè)小組表現(xiàn)都很出色，希望在下面的問題中你們能更好的展示自己.你們已經(jīng)總體上把握了一元不等式恒成立問題及其簡單應(yīng)用的基本理論知識(shí)，但是記得這些東西，循規(guī)蹈矩的去解決問題，我們反而會(huì)被束縛住，所以同學(xué)們要把“功夫”化為無形，能夠“潤物細(xì)無聲”，自如地去解決這類問題.各小組，下面才是見真招的時(shí)候.

設(shè)計(jì)目的：通過問題的驅(qū)動(dòng)、學(xué)生的課下任務(wù)完成、學(xué)生課上問題的解決能夠讓學(xué)生自主的掌握理論知識(shí)，通過老師的總結(jié)和激勵(lì)，為接下來的課堂氣氛打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

(2)驅(qū)知：設(shè)計(jì)經(jīng)典問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生去解決問題，并且歸納總結(jié)出解決問題的規(guī)律、方法和數(shù)學(xué)思想.

這里我設(shè)計(jì)的問題是由淺入深，學(xué)生通過小組合作，課堂上以學(xué)生的“主體活動(dòng)”為主，讓他們自主再建立和回憶知識(shí)與方法體系.學(xué)生可以通過討論、板演、多媒體設(shè)備等豐富自己的討論結(jié)果.

教學(xué)片段2

問題1對(duì)于滿足|a|≤2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式ax2+7>x-2a恒成立的x的取值范圍.

教師：同學(xué)們，第三小組的回答怎么樣？(掌聲)難不成你們都是這么做的？

教師：謝謝第一組和第三組的精彩表現(xiàn)，誰能幫我總結(jié)一下你們都學(xué)到了什么？可以從解題方法、規(guī)律、數(shù)學(xué)思想等方面入手.

第一小組搶答：第三組用到的方法是“轉(zhuǎn)換變元法”、“一次型函數(shù)的單調(diào)性求最值法”，這里所用到的數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)思想.我們組所用方法是“參變量分離法”，所用到的數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化與化歸思想.我們小組的回答完畢！(掌聲)

教師：通過同學(xué)們的掌聲可以看出第一小組的總結(jié)還是比較恰當(dāng)?shù)?，這里我想強(qiáng)調(diào)的是：本題雖然較為簡單，但是用到的方法、思想都很重要，尤其是一元一次型不等式恒成立問題(在有限區(qū)間上)的解決方法是直接代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)解不等式即可(注意端點(diǎn)值是否包含).而“參數(shù)變量分離法”要注意參數(shù)變量容不容易分離，分離過程要不要討論，分離完的函數(shù)容不容易求最值等，也就是我們要評(píng)估用此方法的繁雜程度(下課了同學(xué)們可以研究一下“觸摸高考”欄目的第1題).在本題中，兩種方法都是比較簡單的，但實(shí)際上遇到別的問題未必是這樣的，選擇簡單的方法是上策，例如本題中你要是搞清楚了不等式類型為一元一次型不等式恒成立問題(在有限區(qū)間上)，我們即可按照所總結(jié)的結(jié)論直接解決即可，而參數(shù)變量分離法是需要簡單探索一下的！這里我提到了不等式類型為一元一次型不等式恒成立問題(在有限區(qū)間上)，我們再看一個(gè)相似的問題.

變式已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3-a，對(duì)?a∈R，f(x)≥2恒成立，求x的取值范圍.

第六小組搶答：將原式整理成(x-1)a+x2+1≥0，a∈R恒成立，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)在定義域R上的值域也為R，所以不合題意，則g(a)=(x-1)a+x2+1不能為一次函數(shù)，只能為常值函數(shù)，所以x=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=1符合題意，所以x的取值范圍為{1}.我們小組的回答完畢！(熱烈掌聲)

教師：很好！注意一元一次型不等式恒成立問題(變量范圍為R)的特殊性！我們把上面的變式變一下，下面我們研究第二個(gè)問題.

設(shè)計(jì)目的：通過簡單的問題，進(jìn)一步讓學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化變元和參數(shù)變量分離這兩種常用方法，感受數(shù)學(xué)思想，并且能夠掌握一次函數(shù)型恒成立問題的解題策略以及如何選擇最優(yōu)方法.通過問題的巧妙設(shè)計(jì)，順利的引入下個(gè)問題，使課堂的過渡更加自然.

問題2已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3-a，在R上f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.

教師：回答的很好，剛才第三小組說可以通過討論，參數(shù)變量分離解答此題，雖然麻煩，但是換別的一個(gè)題，可能這樣做就是唯一的出路，這里我們可以分x>1、x=1、x<1三種情況討論，因?yàn)槭菍?duì)自變量的討論，所以把最后求得的a的范圍求交集即可，同學(xué)們下課可以操作一下.這里的一元二次型不等式恒成立自變量沒有限制，我們主要采取判別式法(強(qiáng)調(diào)要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào))，也可以直接求最值(下課了同學(xué)們可以研究一下“觸摸高考”欄目的第2題).對(duì)于自變量范圍有限制的一元二次型不等式恒成立怎么辦呢？

變式已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3-a，若x∈[-1,1]時(shí)，f(x)≥a+10恒成立，求a的取值范圍.

教師：厲害！參變量分離法在這里依然簡潔實(shí)用，也是我們的首選方法，但我感興趣的是后兩種方法.討論法是解決不等式恒成立問題的一個(gè)很重要的方法，但是麻煩，討論的原因是參數(shù)的范圍比較大，能不討論或者減少討論次數(shù)嗎？

教師：精彩，精彩！在高考較難的小題和解答題中，經(jīng)常要用討論法求解不等式恒成立問題，但是為了減少討論，求條件成立的必要條件，縮小參數(shù)范圍，減少討論是很重要的(下課了同學(xué)們可以研究一下“觸摸高考”欄目的第3題).下面請同學(xué)們來總結(jié)一下問題2及其變式.

第四小組搶答：這里遇到的不等式類型是一元二次型不等式恒成立問題，如果自變量沒有限制，可以采取判別式法或者直接求最值，如果自變量被約束了，可以采取參數(shù)變量分離法、討論求最值、根的分布法、求必要條件法，當(dāng)然在選擇方法上，要避繁就簡，求必要條件法可能能幫我們簡化問題.在這里主要的數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)思想、分類討論思想.我們小組的回答完畢！

教師：第四組的總結(jié)已經(jīng)很精辟了，我想說的是一元二次型不等式恒成立問題雖然較為普通，但是這里所涉及到的數(shù)學(xué)方法和思想是很重要的，既有針對(duì)一元二次型的特殊方法，如判別式法、一元二次根的分布法，又有針對(duì)普通問題的通法，如參數(shù)變量分離法、討論法、求必要條件法等.希望同學(xué)在這里體會(huì)其中的變化與不變，能夠輕松的解決問題.進(jìn)一步，對(duì)于一元三次型不等式恒成立問題(或者次數(shù)更高的)、分式型不等式恒成立問題、混合函數(shù)型不等式恒成立問題，除了用到參數(shù)變量分離法、討論法、求必要條件法，還有一個(gè)很重要的方法是導(dǎo)數(shù)法(必要時(shí)需結(jié)合換元法)，我們下一節(jié)課研究導(dǎo)數(shù)解答題(一元不等式恒成立問題)再詳細(xì)研究，當(dāng)然處理小題時(shí)，相對(duì)要靈活一點(diǎn)了，我們看問題3.

教師：“導(dǎo)數(shù)法”好使不？(學(xué)生在下面嘀咕“不好使”)很好，解答題我們一般用導(dǎo)數(shù)法，小題的方法靈巧多變，盡量減少“硬拼”，“快、準(zhǔn)”才是王道，所以方法一很好.不過在這里我還是要強(qiáng)調(diào)一下方法二，對(duì)于混合函數(shù)型不等式恒成立問題，很多同學(xué)都不多想，上來就求導(dǎo)，這是要不得的，整理變形是很必要的.解決小題，整理變形后“數(shù)形結(jié)合法”往往比較好使(下課了同學(xué)們可以研究一下“觸摸高考”欄目的第4題).請同學(xué)們總結(jié)一下.

第五小組搶答：這里遇到的是混合函數(shù)型不等式恒成立問題，如果是解答題，一般采取“導(dǎo)數(shù)法”分析和解決問題；作為小題，方法就多樣了，排除法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法等等都可能好使.不管是解答題還是小題，根據(jù)題意看要不要做適當(dāng)?shù)淖冃魏突?本題用到的數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合和函數(shù)思想.我們小組的回答完畢！

教師：總結(jié)的不錯(cuò)，我再次強(qiáng)調(diào)一下，“導(dǎo)數(shù)法”是我們解決一元不等式恒成立問題的一個(gè)很重要的方法，今天時(shí)間有限，我們明天要著重研究.這樣我們通過較簡單問題再次回憶和學(xué)習(xí)了解決一元不等式恒成立問題的方法、規(guī)律和數(shù)學(xué)思想，下面我們要用“一元不等式恒成立問題”去解決一些數(shù)學(xué)問題，也就是我們的“用知”環(huán)節(jié).

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于混合函數(shù)型恒成立問題，常用的代數(shù)方法失效情況下，轉(zhuǎn)化成圖像問題是個(gè)不錯(cuò)的選擇.

(3)用知：應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容，去解決別的數(shù)學(xué)問題，并通過解決問題的過程來體會(huì)目標(biāo)任務(wù)是怎么達(dá)成的.

這里我設(shè)計(jì)四個(gè)不同的問題，也是較常見的四個(gè)問題，代表了“一元不等式恒成立問題“的四個(gè)不同方向的應(yīng)用，依然采取”任務(wù)驅(qū)動(dòng)法“，在教師指導(dǎo)下，讓學(xué)生成為課堂的主體，自主解決數(shù)學(xué)問題,老師在所有問題結(jié)束后做總的點(diǎn)評(píng).因?yàn)檎n堂時(shí)間問題，這里的問題各小組都將在課下討論好并書寫在紙上，課堂上用實(shí)物展臺(tái)展示給大家，并作簡單的解釋即可，這樣既能展示大家的討論成果，又能高效的完成教學(xué)任務(wù)，使得學(xué)與教很好的融為一體，課堂也顯得更加高效.

教學(xué)片段3

問題1若函數(shù)f(x)=

問題2已知a>0，函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)·ex在[0,1]上單調(diào)遞減且滿足f(0)=1,f(1)=0，求a的取值范圍.

第六小組展示并總結(jié)：本題是單調(diào)性逆向題，通過f(0)=1,f(1)=0消元，將問題轉(zhuǎn)化為f′(x)≤0，x∈[0,1]恒成立，從而解得a的取值范圍為(0,1].我們小組的回答完畢(展示圖片略)

問題3若關(guān)于x的不等式2x2-8x-4-a>0在1

第二小組展示并總結(jié)：結(jié)果是a的取值范圍為{a|a<-4}.本題是不等式有解問題，解答方法不唯一，可直接計(jì)算，也可以考慮其對(duì)立情況，將問題轉(zhuǎn)化為2x2-8x-4-a≤0,x∈(1,4)恒成立，解得結(jié)果并取其補(bǔ)集.我們小組的回答完畢！(展示圖片略)

問題4已知函數(shù)f(x)=

第四小組展示并總結(jié)：求得f(x)最小值0，將問題轉(zhuǎn)化為g(x)>0,x∈[0,1]恒成立，求得a的取值范圍為{a|a≤1}.我們小組的回答完畢！(展示圖片略)

教師：各小組的準(zhǔn)備都比較充分，課堂上的回答也很精彩，請同學(xué)們給總結(jié)一下這四個(gè)問題.

第五小組搶答：這四個(gè)問題都是“一元不等式恒成立問題”的重要應(yīng)用，前三個(gè)問題分別是定義域逆向題、單調(diào)性逆向題、不等式有解問題，最后一個(gè)問題不太好起名字，我們小組給起了個(gè)名字叫“一類兩個(gè)函數(shù)比較函數(shù)值大小問題”.這里用到的數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸思想.我們小組的回答完畢！

教師：總結(jié)的不錯(cuò).這里我要強(qiáng)調(diào)的是：問題1別忘了對(duì)最高次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行簡單的討論；問題2別忘了最后的結(jié)果需要檢驗(yàn)一下；問題3直接解答事實(shí)上更簡單，只不過我們這里要的是“一元不等式恒成立問題”的應(yīng)用；問題4叫什么名字不重要，我覺得第六小組起的名字就不錯(cuò)，這是一類問題，我們在一輪復(fù)習(xí)時(shí)都研究了，同學(xué)們回去翻一下資料給總結(jié)一下.我們這里的應(yīng)用還是沒繞開不等式和函數(shù)，事實(shí)上“一元不等式恒成立問題”可以滲透到數(shù)列、立體幾何、圓錐曲線等不同的領(lǐng)域中，在課后作業(yè)中我們將安排相應(yīng)的習(xí)題，大家到時(shí)候好好的研究一下(下課了同學(xué)們可以研究一下“觸摸高考”欄目的第5題).最后就讓同學(xué)們“觸摸高考”，走進(jìn)教學(xué)的最后一個(gè)環(huán)節(jié)——“感知”環(huán)節(jié)，也是同學(xué)們課下自主研究的環(huán)節(jié)，今天的課到此結(jié)束.

設(shè)計(jì)意圖：不等式恒成立問題不僅僅是以顯然的形式給出，有時(shí)問題隱藏的比較深，需要我們?nèi)ネ诰?，上面的四個(gè)問題就是我們常見的幾種隱形的恒成立問題.

(4)感知：通過設(shè)置典型的高考題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生去觸摸高考，感覺高考是怎么考的.通過所學(xué)的知識(shí)來解決高考題，讓學(xué)生找到自信，從而更好的適應(yīng)高考.

2.(2013重慶文)設(shè)0≤α≤π，不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0對(duì)x∈R恒成立，則α的取值范圍為．

3.(2008江蘇卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1，若x∈[-1,1]時(shí)，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2012浙江理)設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=．

設(shè)計(jì)目的：對(duì)于高考，同學(xué)們通常比較懼怕不等式恒成立問題，通過高考題的訓(xùn)練，讓學(xué)生明白遵從基本的解題原則、規(guī)律和方法才是王道，所以打牢基礎(chǔ)是關(guān)鍵，所有的問題都萬變不離其宗.

總之，以“四知”引領(lǐng)二輪復(fù)習(xí)，以“任務(wù)驅(qū)動(dòng)法”激活教學(xué)，將教師的“導(dǎo)學(xué)”與學(xué)生的小組“討論”相結(jié)合，課堂上以小組競爭的方式解決問題，既能突出學(xué)生的主體地位，又能帶動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，課堂氣氛也能有效提高，使得高效課堂順利的達(dá)成.

參考文獻(xiàn)

[1]董榮森.以目標(biāo)引領(lǐng)教學(xué)，以“三動(dòng)”激活課堂——以一節(jié)高三復(fù)習(xí)課“函數(shù)與方程為例”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2014(12)：48-51.

*本文是黑龍江省教育科學(xué)“十·二五”規(guī)劃課題：任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)法在數(shù)學(xué)探究課教學(xué)中的應(yīng)用研究(省重點(diǎn)課題，編號(hào)JJB1211003)的階段性成果.