看透“簡(jiǎn)單”背后的道理
———關(guān)于《整十整百數(shù)乘一位數(shù)的口算和估算》同課異構(gòu)帶來(lái)的思考

蔣守成（特級(jí)教師）

《整十整百數(shù)乘一位數(shù)的口算和估算》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)第一單元第一課時(shí)的內(nèi)容，這個(gè)課時(shí)中既有整十整百數(shù)乘一位數(shù)的口算，又有接近整十整百數(shù)乘一位數(shù)的估算。這樣既能使學(xué)生已經(jīng)掌握的表內(nèi)乘法得以自然延伸，又能使整十整百數(shù)乘一位數(shù)的口算與相應(yīng)的估算有機(jī)融合，為學(xué)生自主探索并理解兩三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法打下基礎(chǔ)，鋪設(shè)臺(tái)階。因此教材十分重視通過(guò)問(wèn)題情境、動(dòng)手操作、交流討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生達(dá)成兩個(gè)方面的目標(biāo)：一是明晰算理掌握算法，并能正確計(jì)算；二是在運(yùn)用口算和估算解決問(wèn)題的過(guò)程中提升口算和估算的思維價(jià)值，全面提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

我們都知道運(yùn)算能力不僅僅是會(huì)算和算正確，還包括運(yùn)算本身的理解，如運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算的意義、算理等。而運(yùn)算的形式和方法包括口算、計(jì)算、估算和驗(yàn)算?？谒阍诿魑憷淼倪^(guò)程中提升了學(xué)生的思維水平，估算在對(duì)運(yùn)算過(guò)程的加工改造和對(duì)運(yùn)算結(jié)果的預(yù)測(cè)估計(jì)過(guò)程中蘊(yùn)含著復(fù)雜的思維活動(dòng)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力具有不可忽視的作用。那么如何通過(guò)看似“簡(jiǎn)單”的口算和估算教學(xué)，實(shí)現(xiàn)形成計(jì)算技能提高運(yùn)算能力和發(fā)展數(shù)學(xué)思維兩個(gè)目標(biāo)，全面提升口算和估算的思維價(jià)值？金壇區(qū)華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校的朱敏和金壇區(qū)西城實(shí)驗(yàn)小學(xué)的蔣菊妹兩位老師基于不同學(xué)情，對(duì)于不同側(cè)重點(diǎn)的關(guān)注，進(jìn)行同課異構(gòu)，他們通過(guò)有價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在理解口算算理的基礎(chǔ)上探究算法；在估算過(guò)程中理解估算的意義、發(fā)展估算能力和估算意識(shí)，從而提升其思維價(jià)值，他們的設(shè)計(jì)從不同角度給我們以啟發(fā)與思考。

一、基于算理探究算法，看透簡(jiǎn)單算法背后的道理

學(xué)習(xí)一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，既要掌握其算法，更要理解其算理，盡管歸結(jié)于具體步驟與程序的算法，在執(zhí)行運(yùn)算時(shí)并不一定還要考慮其算理，但得出算法的過(guò)程卻離不開(kāi)算理。對(duì)于整十整百數(shù)乘一位數(shù)的口算教學(xué)，我們都有這樣的教學(xué)經(jīng)驗(yàn):讓學(xué)生得出20×3和200×3的正確答案，難度并不大。20×3，直接算2× 3=6，再在 6后面加一個(gè) 0；200×3，直接算2×3=6，再在6后面加兩個(gè)0……如此操作性的方法，簡(jiǎn)單易記，學(xué)生也喜歡。課堂上只要一個(gè)學(xué)生提到這一種方法，全班學(xué)生基本都會(huì)認(rèn)同。于是學(xué)生對(duì)整十整百數(shù)乘一位數(shù)的口算的技能也突飛猛進(jìn)，有了良好的成功體驗(yàn)。這樣的教學(xué)看起來(lái)似乎沒(méi)什么問(wèn)題，但大家也都清晰地意識(shí)到學(xué)生很快接受這種操作技能性的方法，而真正能體現(xiàn)算理的方法“2個(gè)十乘3，得6個(gè)十是60；2個(gè)百乘3，得6個(gè)百是600”的方法被學(xué)生拋棄了。這樣的教學(xué)少了算理的理解和體驗(yàn)過(guò)程，只關(guān)注口算的技能就背離了本節(jié)課的目標(biāo)和價(jià)值，我們?nèi)绾慰赐钢苯铀?×3=6，再在6后面加一個(gè)0這樣“簡(jiǎn)單”背后的道理，讓簡(jiǎn)單算法和算理相融合呢？基于學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)緊扣算理展開(kāi)和算法的探究，朱老師和蔣老師為我們展示了不同的一面。

1.基于算法追尋算理。

教學(xué)研究表明，學(xué)生通過(guò)自身活動(dòng)所獲得的知識(shí)遠(yuǎn)比被動(dòng)接受教師的傳授理解的透徹，朱敏老師根據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)主題化問(wèn)題情境，在基于問(wèn)題解決的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)建構(gòu)算法。經(jīng)歷有方法到方法簡(jiǎn)，從算理明到方法通的過(guò)程，形成了良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

活動(dòng)一“寫(xiě)算法”。朱老師在學(xué)生解決植樹(shù)多少棵時(shí)，讓學(xué)生獨(dú)立思考，自己想辦法，把自己解決問(wèn)題的方法寫(xiě)在作業(yè)單上，然后進(jìn)行交流。在交流中呈現(xiàn)出了兩種不同的方法。第一種算法，20×3就是3個(gè)20相加，20+20+20=60（棵）學(xué)生用學(xué)過(guò)的加法來(lái)解決乘法，問(wèn)題解決了，但口算乘法的目標(biāo)沒(méi)達(dá)到；第二種算法，20×3先算2×3=6，再在6的后面填上一個(gè)零就是60，算法有了但算理不清，學(xué)生不清楚為什么要這樣算。

活動(dòng)二“擺小棒”。朱老師追問(wèn)學(xué)生為什么添一個(gè)零就行了呢，讓學(xué)生擺一擺小棒，說(shuō)一說(shuō)其中的道理。學(xué)生通過(guò)擺小棒，明白植一行要2捆，3行就要3個(gè)2捆，是6捆，所以是60棵；進(jìn)一步思考得到20×3是2個(gè)十乘3，得6個(gè)十，就是2×3得6后面加一個(gè)0是60。這樣不僅知其然而且還知其所以然，實(shí)現(xiàn)了有意義的知識(shí)內(nèi)化。

活動(dòng)三“題組練習(xí)”。在學(xué)生明晰算理的基礎(chǔ)上朱老師精心設(shè)計(jì)三個(gè)題組的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地遷移之前的“整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，嘗試類推到“整百數(shù)乘一位數(shù)”的口算。師生之間兩次分層次的交流活動(dòng)各有側(cè)重，一是進(jìn)一步明確了整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)與整百數(shù)乘一位數(shù)口算方法內(nèi)在的一致性，并對(duì)易錯(cuò)的習(xí)題從算理上進(jìn)行了點(diǎn)撥；二是通過(guò)縱向的比較和聯(lián)系，水到渠成地歸納出這一類口算的算法，促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的思維方式。

2.明晰算理優(yōu)化算法。

我們知道，算理為計(jì)算提供了正確的思維方式，保證了計(jì)算的合理性和正確性，算法為計(jì)算提供了快捷的操作方法，提高了計(jì)算的速度。算理往往是隱性的，算法往往是顯性的，它們相輔相成，算理的探討有助于學(xué)生掌握算法。蔣菊妹老師創(chuàng)設(shè)購(gòu)物情境，列出數(shù)量關(guān)系。通過(guò)擺小棒活動(dòng)幫助學(xué)生理清算理。活動(dòng)呈現(xiàn)三個(gè)層次。

第一個(gè)層次，根據(jù)數(shù)量關(guān)系和已有經(jīng)驗(yàn)擺。在擺的方法中體會(huì)數(shù)量關(guān)系，為理解口算算理提供經(jīng)驗(yàn)。

第二個(gè)層次，為什么這樣擺（3個(gè)20），根據(jù)像這樣“每堆2個(gè)十，擺了3堆”來(lái)說(shuō)說(shuō)是怎樣算的嗎？學(xué)生基于操作明晰2個(gè)（十）×3=6個(gè)（十）也就是60，所以2×3=6，20×3=60。

第三個(gè)層次，基于算理掌握算法。蔣老師在學(xué)生明晰算理的基礎(chǔ)上安排了兩道整百數(shù)乘一位數(shù)的變式練習(xí)，讓學(xué)生在比較中自主發(fā)現(xiàn)并總結(jié)整十、整百數(shù)乘一位數(shù)計(jì)算方法的共同特點(diǎn)，主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)化算法。

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中蔣老師將單調(diào)的算式放到具體情境中，賦予每個(gè)算式“活”的生命；將抽象的算理融合到具體情境中，賦予計(jì)算“活”的靈魂。在理解算理時(shí)，通過(guò)簡(jiǎn)單易行的擺小棒活動(dòng)進(jìn)行自主探究，使學(xué)生在自主探究中感悟和理解算理，形成算法，真正在過(guò)程中提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

二、聚焦問(wèn)題激發(fā)需求，體驗(yàn)估算解決問(wèn)題的價(jià)值

估算主要指在計(jì)算或者測(cè)量中，無(wú)法或無(wú)需精確計(jì)算時(shí)所采用的一種數(shù)學(xué)方法。它不僅是日常生活中的一種常用的計(jì)算方法，它更是一種思維的方法。因此在教學(xué)中不能滿足于僅讓學(xué)生掌握估算的方法，而是要通過(guò)估算教學(xué)，理解估算的意義，體會(huì)估算的作用，從被動(dòng)估算過(guò)渡到自覺(jué)估算、自主估算，從而增強(qiáng)估算意識(shí)，提高估算能力。兩位老師都選擇學(xué)生身邊的實(shí)際問(wèn)題作為教學(xué)素材，以問(wèn)題解決為主要載體，從不同點(diǎn)切入，用不同的路徑，實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中增強(qiáng)估算意識(shí)，提升估算能力，體驗(yàn)估算的價(jià)值。

1.在問(wèn)題解決中培養(yǎng)估算意識(shí)。

所謂估算意識(shí)，就是當(dāng)人們面對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不急于計(jì)算準(zhǔn)確結(jié)果，先采用適當(dāng)?shù)姆椒ü烙?jì)得數(shù)的大致范圍，以及對(duì)他人的結(jié)果自覺(jué)地用估計(jì)的方法判斷是否正確，并逐步形成習(xí)慣。朱老師基于估算意識(shí)的培養(yǎng)，在估算教學(xué)這個(gè)板塊，以問(wèn)題為核心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，著力于讓學(xué)生經(jīng)歷估算方法的選擇過(guò)程以及用估算方法解決問(wèn)題的思考過(guò)程，實(shí)實(shí)在在地讓學(xué)生明白“為什么要估算”、“怎樣估算”以及“估算有什么好處”、“估算時(shí)要注意什么”等基本問(wèn)題，在問(wèn)題解決中培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)。

“為什么要估算”。朱老師設(shè)計(jì)了“帶200元買(mǎi)4箱西瓜夠不夠”的問(wèn)題，學(xué)生依據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考，卻發(fā)現(xiàn)還不會(huì)筆算“48×4”，只會(huì)口算“50× 4”。在這樣的認(rèn)知沖突之下，教師不失時(shí)機(jī)地提出“你能不計(jì)算就能解決問(wèn)題”的目標(biāo)驅(qū)動(dòng)，由此，學(xué)生產(chǎn)生估算需要，感受到估算的作用，回答了學(xué)生內(nèi)心“為什么要學(xué)估算”的問(wèn)題。

“怎樣估算”，學(xué)生在具體用估算解決這一問(wèn)題的過(guò)程中，遇到的最大困難是對(duì)估算結(jié)果的意義不理解，部分學(xué)生在分析推理“到底夠不夠”存在思維上的障礙。在這一環(huán)節(jié)中，朱老師先呈現(xiàn)資源，把48估成40和估成50結(jié)果判斷都?jí)虻?，讓學(xué)生比較這兩種估法，你們認(rèn)為誰(shuí)的估計(jì)更合理？在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論，為什么估成了50，正好得出了200元，卻能判斷“帶200元是夠的”呢？讓學(xué)生不僅知道估的方法，還能用自己合情合理地推理來(lái)說(shuō)明為什么要這樣估。

然后通過(guò)問(wèn)題解決，學(xué)生明白在生活中有時(shí)不需要計(jì)算出準(zhǔn)確結(jié)果，只要對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理地估算，就能快速地解決問(wèn)題，體會(huì)到“估算的好處”，同時(shí)也自我總結(jié)出“估算時(shí)我們要注意些什么”等問(wèn)題。

2.在系統(tǒng)整合中提升估算能力。

三年級(jí)的學(xué)生對(duì)估算并非一無(wú)所知，之前，在解決整數(shù)加減法的一些實(shí)際問(wèn)題中，他們已初步積累了一定的估算經(jīng)驗(yàn)。因此蔣老師從已有加法估算經(jīng)驗(yàn)入手，加大對(duì)估算教學(xué)的力度，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)系列活動(dòng)，經(jīng)歷了“調(diào)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，遷移方法，拓展思辨，完善策略”的過(guò)程，層層推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生靈活估算，讓估算教學(xué)不僅僅停留在生硬的模式化低層次上，學(xué)生的估算意識(shí)在逐層的“有意義的估算問(wèn)題”中潛移默化地得以增強(qiáng)。

蔣老師調(diào)用已有加法估算的核心經(jīng)驗(yàn)，為乘法估算服務(wù)。并抓住乘法和加法估算的共同特點(diǎn)，在估算中都要根據(jù)問(wèn)題的需要，靈活選擇整十?dāng)?shù)進(jìn)行估算，并進(jìn)行推理，從而做出準(zhǔn)確的判斷。所以“估大”還是“估小”的選擇成為加法到乘法的經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生正遷移，減少了學(xué)習(xí)的障礙。這個(gè)經(jīng)驗(yàn)隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)程學(xué)生逐步體會(huì)到估算過(guò)程要與估算結(jié)果兼顧。這就要求我們老師像蔣老師那樣，在估算中既重視估算過(guò)程中方法的選擇與指導(dǎo)，尊重估算方法的差異性，鼓勵(lì)估算方法的多樣化，又要承認(rèn)估算結(jié)果與精算結(jié)果的不一致，讓學(xué)生既體會(huì)到估算的簡(jiǎn)潔高效，又明白在某些特定問(wèn)題上估算的局限性。

例如：在綜合運(yùn)用，完善估算策略活動(dòng)中，蔣老師呈現(xiàn)了教材第3頁(yè)的第7題，并作了適度的延展。

甲城到乙城三種不同火車(chē)的票價(jià)如下表：

普通列車(chē)　特快列車(chē)　動(dòng)車(chē)組列車(chē)每張198元　每張312元　每張405元

蔣老師買(mǎi)3張同樣價(jià)格的火車(chē)票，付給售票員1000元。

問(wèn)題一老師買(mǎi)的是哪一種？學(xué)生通過(guò)估算很快選擇出特快列車(chē)票每張312元接近300元，3張比900元多一些；所以買(mǎi)的應(yīng)該是每張312元的特快列車(chē)票。

問(wèn)題二如果特快列車(chē)每張是340元，1000元買(mǎi)3張還夠嗎？學(xué)生通過(guò)估一估算一算發(fā)現(xiàn)，雖然這個(gè)問(wèn)題估算過(guò)程是一樣的，估算結(jié)果也是一樣的，但實(shí)際1000元不夠買(mǎi)3張。讓學(xué)生體會(huì)到在特定數(shù)據(jù)下估算的局限性，需要我們做出更精確的判斷。

由此蔣老師提出，同學(xué)們?cè)诠浪愠?00×3=900后，還要考慮12×3是不是小于100，才能確定1000元夠還是不夠買(mǎi)3張312元的票。所以在解決問(wèn)題的過(guò)程中需要對(duì)估算過(guò)程進(jìn)行比較，還要對(duì)估算結(jié)果進(jìn)行辨析，并能解釋估算的全過(guò)程，這一過(guò)程既是學(xué)生在總結(jié)估算策略的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是估算經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程。逐步發(fā)展了學(xué)生的估算意識(shí)和策略。

基于不同的思考、基于不同班級(jí)實(shí)際，我們?cè)诮虒W(xué)中就會(huì)有不同的切入點(diǎn)、不同的著重點(diǎn)和不同的課堂教學(xué)架構(gòu)，朱老師重在口算板塊的算理和算法的融合；蔣老師重在對(duì)估算教學(xué)的系統(tǒng)整合，兩節(jié)課都給我們思考和啟發(fā)。如果從重構(gòu)的角度來(lái)思考，本課有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，整十整百數(shù)乘一位數(shù)的口算和估算，如何把這兩個(gè)有聯(lián)系的內(nèi)容構(gòu)建一個(gè)整體，形成一個(gè)系統(tǒng)，從整體的視野下把握本質(zhì)。我們可以從“數(shù)”出發(fā)，借“數(shù)”助“算”、以“數(shù)”驗(yàn)“算”、用“算”促“估”，從數(shù)到算到估形成一個(gè)化零為整的新系統(tǒng)。也可以基于班級(jí)特點(diǎn)，將例題1、例題2和練習(xí)兩課時(shí)，進(jìn)行口算和估算專題教學(xué)，做到適度拓展，有機(jī)聯(lián)系，分中有合。當(dāng)然肯定還有更多更好的課堂架構(gòu)視角，期待更多的人一起來(lái)實(shí)踐、來(lái)探討。