一種新的四階二次自治系統(tǒng)的動力學行為及數(shù)值仿真

尹社會,郭洪林,皮小力

(河南工業(yè)職業(yè)技術學院,河南 南陽　473000)

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一種新的四階二次自治系統(tǒng)的動力學行為及數(shù)值仿真

尹社會,郭洪林,皮小力

(河南工業(yè)職業(yè)技術學院,河南 南陽473000)

摘要通過理論和數(shù)值模擬分析了一種新的四階二次自治系統(tǒng)的非線性特性和動力學行為。主要從對稱性、耗散性、平衡點的穩(wěn)定性、空間相圖、時序波形圖、分岔圖、Poincare映射、功率譜等幾個方面展示了系統(tǒng)具有豐富的動力學行為。

關鍵詞二次自治系統(tǒng);分岔;耗散性;Poincare映射

自從Lorenz[1]在一個簡單的三維自治系統(tǒng)中首先發(fā)現(xiàn)了蝴蝶混沌吸引子之后,又有新的混沌吸引子不斷被發(fā)現(xiàn),這些混沌系統(tǒng)的動力學行為和分岔機理被許多研究者所認識和研究[2-10]。隨著人們對混沌現(xiàn)象的深入研究,不僅豐富和完善了混沌學的研究內(nèi)容,也提高了混沌理論在保密通信、圖像加密、故障診斷和信號檢測等方面的應用能力。

Liu等[11]在2004年提出了著名的Liu混沌系統(tǒng),隨后在2009年提出了一個含有y2項的混沌系統(tǒng)[12],其動力學行為及其混沌吸引子的形成機理已經(jīng)被研究。2014年,孫德成等[13]基于這個含有y2項的混沌系統(tǒng)提出了一個新的四階二次自治超混沌系統(tǒng),但并沒有進行系統(tǒng)的分析,尤其是其豐富的動力學行為沒有被研究。我們進一步考慮該混沌系統(tǒng),不僅從理論上給出對稱性、耗散性、平衡點的穩(wěn)定性等全局動力學行為,并通過數(shù)值仿真給出了系統(tǒng)的相圖、時序波形圖、分岔圖、Poincare映射、功率譜等豐富的動力學特征。數(shù)值仿真結(jié)果表明該系統(tǒng)的典型混沌特性,驗證了該系統(tǒng)在較寬的參數(shù)區(qū)間內(nèi)能產(chǎn)生混沌信號,為實際工程應用提供了理論基礎。

1新四階二次自治系統(tǒng)數(shù)學模型

為了進一步分析系統(tǒng)的動力學特性,我們采取系統(tǒng)的一般形式

,

(1)

其中:(x,y,z,w)T∈R4為狀態(tài)變量;a=0.5,b=5,c=2.5,d=2,f=4, e=g=h=1,系統(tǒng)有唯一平衡點O=(0,0,0,0)。當初值取(0.1,0.4,0.1,0.1),系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)為LE1=0.059 1,LE2=0.055 5,LE3=-0.019 4,LE4=-2.095,進而可以得到該混沌系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為

LEi=2+

。

(2)

此時系統(tǒng)呈現(xiàn)出超混沌行為,在MATLAB8.0(R2012B)環(huán)境下,采用四階Runge-Kutta算法得出超混沌吸引子的數(shù)值仿真結(jié)果,如圖1所示?？梢钥闯雒黠@與王震等[9]、Lorenz[1]、Liu等[11]的混沌系統(tǒng)吸引子的結(jié)構(gòu)不同。

圖1　吸引子相圖Fig.1　Chaos attractor

2新四階二次自治系統(tǒng)基本特性

2.1對稱性、耗散性和吸引子的存在性

系統(tǒng)(1)在坐標變換(x,-y,-z,-w)下不變,說明系統(tǒng)具有關于x軸的對稱性。

對于系統(tǒng)(1)在上述參數(shù)下有

(3)

吸引子是相空間中的一個點集,隨著運動時間的增加,所有軌線都趨向于它。由式(3)知,系統(tǒng)(1)為耗散系統(tǒng),且以指數(shù)形式e-2t收斂。意味著當t→+∞時,包含系統(tǒng)軌線的每個小體積元以指數(shù)率-2收縮到0,系統(tǒng)的所有軌線最終會被限制在體積為0的一個集合上,并且漸進地被固定在一個吸引子上,由此從一個方面表明了吸引子的存在性。

如果初值發(fā)生細微的變化,隨著時間的推移系統(tǒng)的行為會發(fā)生明顯的變化。圖2為初值取(0.099 99,0.4,0.1,0.1)和(0.1,0.4,0.1,0.1)的初值敏感性時序波形圖。

圖2　初值敏感性時序波形Fig.2　Sequential waveforms of sensitivedependence on initial conditions

2.2平衡點及其穩(wěn)定性

令系統(tǒng)(1)右邊等于0,易知系統(tǒng)只有唯一平衡點O(0,0,0,0)。在平衡點處線性化系統(tǒng)(1)可得其Jacobi矩陣:

(4)

由|λI-J|=0可得四個特征值為λ1=2.436 2,λ2=0.101 7,λ3=-0.5,λ4=-4.037 9。其中兩個負的實根表示在這兩個方向收縮,而另兩個正的實根表示在這兩個方向擴張,因此平衡點O=(0,0,0,0)為不穩(wěn)定的鞍點。

2.3連續(xù)功率譜與Poincare截面

以變量x為例給出系統(tǒng)(1)的功率譜,如圖3所示?？梢钥闯銎鋾r序波形是非周期的,且表現(xiàn)出連續(xù)的寬譜特征和峰值譜線,屬于典型的混沌態(tài)。

圖3　功率譜圖Fig.3　Diagram of power spectrum

選取y=0平面作為截面,圖4給出了系統(tǒng)(1)在此截面xz上的Poincare映射。由圖4可以看出截面上有一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點,且吸引子的葉片清晰可見,進一步說明了此時系統(tǒng)是處于混沌態(tài)的。

圖4　Poincare映射Fig.4　Poincare mapping

2.4系統(tǒng)參數(shù)的影響

通過分析,隨著參數(shù)的變化,系統(tǒng)的動力學行為相應變化。

在其他參數(shù)不變,即b=5,c=2.5, d=2,f=4,e=g=h=1時,改變參數(shù)a,在a∈[0,3]的參數(shù)區(qū)間內(nèi),系統(tǒng)的分岔圖如圖5所示。由圖5可知,當參數(shù)a變化時,系統(tǒng)表現(xiàn)出極限環(huán)(周期軌或擬周期軌)和奇怪吸引子等不同的非線性行為,即出現(xiàn)Hopf分岔和混沌現(xiàn)象。下面進一步通過數(shù)值模擬驗證圖5中的結(jié)論。

吸引子的平面投影如圖6所示。當a=0.5時,系統(tǒng)的平面相圖如圖6(a)所示,為典型的混沌吸引子。當a=1.8時,系統(tǒng)的平面相圖如圖6(b)所示,為復雜的周期軌或擬周期軌。當a=3時,系統(tǒng)的平面相圖如圖6(c)所示,為周期軌。

結(jié)合分岔圖5,通過功率譜圖分析,Poincare映射圖進一步分析,上述結(jié)論具有良好的一致性。

圖5　分岔圖Fig.5　Bifurcation diagram

圖6　吸引子平面投影Fig.6　Planar projection of attractor

3結(jié)論

研究了一種四階二次自治系統(tǒng),并對系統(tǒng)的基本動力學行為進行了深入研究,包括功率譜、Poincare截面、分岔圖等。分析表明該系統(tǒng)具有豐富的動力學行為,系統(tǒng)在參數(shù)變化時的動力學行為的演變呈現(xiàn)出周期、復雜周期(擬周期)、混沌以及超混沌運動,這些結(jié)論為系統(tǒng)電子振蕩電路的實現(xiàn)和通信工程設計等應用提供了理論依據(jù)。

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Dynamical Behavior and Numerical Simulation of New Fourth-order Quadratic Autonomous System

Yin Shehui,Guo Honglin,Pi Xiaoli

(HenanPolytechnicInstitute,Nanyang473000,China)

AbstractThe non-linear characteristics and the dynamical behaviors of the new fourth-order quadratic autonomous system were analyzed by using theory and numerical simulation,and the rich dynamical behaviors of the system were displayed mainly from several aspects,such as symmetry,dissipativeness,stability of equilibrium point,spatial phase portrait,sequential waveforms,bifurcation diagram,Poincare mapping,power spectrum,etc.

Key wordsQuadratic autonomous system;Bifurcation;Dissipativeness;Poincare mapping

中圖分類號:O357.1;O241.82

文獻標志碼:A

文章編號:1004-0366(2016)01-0051-04

作者簡介:尹社會(1979-),男，河南沈丘人，碩士，講師，研究方向為非線性動力系統(tǒng)和混沌控制與同步等.E-mail:hnzkny@126.com.

基金項目:南陽市科學技術發(fā)展規(guī)劃項目(2013GG035).

收稿日期:2014-12-01;修回日期:2015-03-13.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.01.012.

引用格式:Yin Shehui,Guo Honglin,Pi Xiaoli.Dynamical Behavior and Numerical Simulation of New Fourth-order Quadratic Autonomous System[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(1):51-54.[尹社會,郭洪林,皮小力.一種新的四階二次自治系統(tǒng)的動力學行為及數(shù)值仿真[J].甘肅科學學報,2016,28(1):51-54.]