雙參數(shù)有界算子C群與雙參數(shù)C半群的關(guān)系

薛　雙,趙華新,薛風(fēng)風(fēng)

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 延安　716000)

?

雙參數(shù)有界算子C群與雙參數(shù)C半群的關(guān)系

薛雙,趙華新,薛風(fēng)風(fēng)

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 延安716000)

摘要在Banach空間上,根據(jù)雙參數(shù)有界算子C群及它的無窮小生成元的概念,與雙參數(shù)C半群及它的無窮小生成元的概念,利用概念之間的關(guān)系,證明了雙參數(shù)有界算子C群與雙參數(shù)C半群的關(guān)系。

關(guān)鍵詞雙參數(shù);有界算子C群;C半群

根據(jù)文獻[1-4]中雙參數(shù)C半群及它的無窮小生成元的概念,定義了雙參數(shù)有界算子C群及它的無窮小生成元的概念,利用概念之間的關(guān)系,證明了雙參數(shù)有界算子C群與雙參數(shù)C半群的關(guān)系。

研究中的空間X是Banach空間,所有算子是有界線性算子,C表示X上有界單射算子,B(X)表示X上所有的有界線性算子,D表示A1A2在X上的定義域。

(1)T(0,0)=C;

(2)CT((s1,t1)+(s2,t2))=T(s1,t1)T(s2,t2),?s1,s2,t1,t2∈R;

(3)映射(s,t)→T(s,t)x 強連續(xù),?s,t∈R;?x∈X,

下面證明雙參數(shù)有界算子C群與雙參數(shù)C半群的關(guān)系。

當(dāng)s,t≥0時,我們把T(s,t)記作T1(s,t),下面驗證T1(s,t)是雙參數(shù)C半群,其無窮小生成元是(A1,A2)。

(1)T1(0,0)=T(0,0)=C;

(2)T1((s1,t1)+(s2,t2))=T((s1,t1)+(s2,t2))=CT(s1,t1)T(s2,t2)=CT1(s1,t1)T1(s2,t2);

所以T1(s,t)是雙參數(shù)C半群,其無窮小生成元是(A1,A2)。

當(dāng)s,t≤0時,我們把T(s,t)記作T2(s,t)。設(shè)T2(s,t)=T(-s,-t) ,同理可證T2(s,t)是雙參數(shù)C半群,其無窮小生成元是(-A1,-A2),證畢。

證明對于?s,t≥0,都有

T2(s1,t1)T2(s2,t2),?s1,t1,s2,t2≥0

從而驗證T2(s,t)是雙參數(shù)C半群。又因為對?x∈D,有

故T2(s,0)滿足雙參數(shù)C半群的定義,且其無窮小生成元是-A1。另有

故T2(0,t)滿足雙參數(shù)C半群的定義,且其無窮小生成元是-A2。

從而T2(s,t)滿足雙參數(shù)C半群的定義,其無窮小生成元是(-A1,-A2)。

綜上所述,T1(s,t),T2(s,t)是雙參數(shù)C半群,其無窮小生成元分別是(A1,A2),(-A1,-A2)。

(1)T(0,0)=T1(0,0)=T2(0,0)=C;

(2) 當(dāng)?s1,t1,s2,t2≥0時,有

T((s1,t1)+(s2,t2))=T1((s1,t1)+(s2,t2))=CT1(s1,t1)T1(s2,t2)=CT(s1,t1)T(s2,t2),

當(dāng)?s1,t1,s2,t2≤0時,有

T((s1,t1)+(s2,t2))=T2((s1,t1)+(s2,t2))=CT2(s1,t1)T2(s2,t2)=CT(s1,t1)T(s2,t2),

得

T((s1,t1)+(s2,t2))=C(s1,t1)T(s2,t2),?s1,t1,s2,t2∈R;

得出

同理可證

綜上所述,T(s,t)是雙參數(shù)有界算子C群,其無窮小生成元是(A1,A2),證畢。

參考文獻:

[1]徐敏,趙華新,趙拓.雙參數(shù)C半群的一些結(jié)果[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,31(3):363-366.

[2]趙拓,趙華新,徐敏.C半群和雙參數(shù)C半群的指數(shù)公式[J].天津師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,33(4):13-15.

[3]趙華新,李曉愛.C-半群的可逆性與C-群[J].延安大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1997,16(2):10-13.

[4]黃翠,王彩俠,張明翠,等.雙參數(shù)C-半群[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,29(3):299-305.

[5]劉瑞,趙華新,馬強強,等.廣義C0算子群[J].延安大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,28(4):3-5.

[6]徐敏,趙華新,趙拓.雙參數(shù)C半群Yosida逼近的應(yīng)用[J].江西科學(xué),2013,31(5):580-582.

[7]蔡亮,宋曉秋,李玉霞.雙參數(shù)C0有界算子群[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報,2011,21(1):77-80.

[8]陳文忠.C-無窮小生成元的表示式[J].廈門大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1993,32(2):135-140.

Relationship of Biparameter Bounded Operator GroupCand Biparameter SemigroupC

Xue Shuang,Zhao Huaxin,Xue Fengfeng

(CollegeofMathematicsandComputerScience,Yan’anUniversity,Yan’an716000,China)

AbstractThe relationship of biparameter bounded operator groupCand biparameter semigroupCwas proved by using the relationship among the concepts in the Banach space according to the concepts of biparameter bounded operator groupCand infinitesimal generator thereof,as well as the concepts of biparameter bounded operator semigroupCand infinitesimal generator thereof.

Key wordsBiparameter;Bounded operator groupC;SemigroupC

中圖分類號:O177.2

文獻標志碼:A

文章編號:1004-0366(2016)01-0029-03

作者簡介:薛雙(1990-),女,陜西清澗人,碩士研究生,研究方向為應(yīng)用泛函分析.E-mail:602539891@qq.com.

基金項目:陜西省教育廳專項科研計劃項目(2013JK0570);延安大學(xué)自然基金項目(YDZ2013-03).

收稿日期:2015-04-07;修回日期:2015-07-11.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.01.007.

引用格式:Xue Shuang,Zhao Huaxin,Xue Fengfeng.Relationship of Biparameter Bounded Operator GroupCand Biparameter SemigroupC[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(1):29-31.[薛雙,趙華新,薛風(fēng)風(fēng).雙參數(shù)有界算子C群與雙參數(shù)C半群的關(guān)系[J].甘肅科學(xué)學(xué)報,2016,28(1):29-31.]