熱沖擊下Euler-Bernoulli梁的動力屈曲

趙幸幸,張靖華

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院,甘肅 蘭州　730050)

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熱沖擊下Euler-Bernoulli梁的動力屈曲

趙幸幸,張靖華

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院,甘肅 蘭州730050)

摘要基于Euler-Bernoulli梁理論,在Hamilton體系中研究了一端固定一端不可移簡支梁在熱沖擊載荷作用下的動態(tài)屈曲。在辛空間中,將梁的屈曲問題歸結(jié)為系統(tǒng)的零本征值問題,而梁的屈曲模態(tài)對應(yīng)Hamilton體系的辛本征解,求解得到了Euler-Bernoulli梁在橫向熱沖擊下發(fā)生屈曲的臨界載荷與屈曲模態(tài),并分析了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和熱沖擊載荷參數(shù)對臨界升溫的影響。結(jié)果表明:梁的長細(xì)比和載荷作用時間都對屈曲升溫有較大影響,但載荷參數(shù)a對梁的屈曲升溫影響很小。

關(guān)鍵詞Euler-Bernoulli梁;Hamilton體系;動力屈曲;臨界載荷

梁作為工程中廣泛使用的結(jié)構(gòu)元件,它的熱彈性穩(wěn)定性具有諸多實際工程背景,例如熱輸送管道、火車路軌、海底輸油管道、剛性和半剛性路面、光纖光纜等結(jié)構(gòu),如果其面內(nèi)位移被限制,都將會因升溫而產(chǎn)生超出原直線平衡狀態(tài)的熱彈性失穩(wěn)。另外,在利用智能材料對結(jié)構(gòu)變形和振動實行智能控制時,熱彈性穩(wěn)定性的概念和相關(guān)分析也十分必要[1-4]。

目前,大多關(guān)于梁的屈曲或過屈曲的研究僅限于靜態(tài)問題[1,2,5-8]。Vaz等[5]研究了一端不可移簡支另一端橫向簡支軸向有彈性約束梁的熱過屈曲問題。Coffin等[6]在精確考慮軸線伸長的情況下,給出了兩端不可移簡支彈性桿濕熱過屈曲問題的橢圓積分形式解。Sapountzakis等[7]用邊界元方法分析了復(fù)合材料經(jīng)典梁的屈曲問題,并討論了邊界條件對屈曲載荷的影響。劉松華等[8]利用解析法和有限單元法,研究兩端簡支工字型變截面梁的整體穩(wěn)定性。然而,梁的動力屈曲的研究成果相比靜態(tài)屈曲要少得多。陳國勝等[9]針對含初始缺陷和脫層損傷的復(fù)合材料層合梁的軸向沖擊動力屈曲問題進(jìn)行了分析。

以上研究都采用了傳統(tǒng)的彈性力學(xué)求解方法,對于靜態(tài)熱屈曲問題容易實現(xiàn)。但對于熱沖擊屈曲問題,由于需要考慮結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性、載荷與時間特性等重要影響因素,若仍采用傳統(tǒng)方法,求解難度大。研究將Hamilton體系及辛方法[10]引入梁的熱沖擊屈曲問題中,求得臨界載荷和屈曲模態(tài)并分析其影響因素。

1基本方程

,

(1)

其中:εx和κ分別為梁軸線上各點的應(yīng)變和曲率,表示為

。

(2)

考慮線性熱彈性梁,則梁的軸向應(yīng)力σx表示為

,

(3)

為溫度的變化,簡稱升溫(單位:K);t為時間(單位:s)。將式(1)和式(2)代入式(3),可以得到軸向應(yīng)力σx的表達(dá)式為

。

(4)

一端固定一端不可移簡支梁的邊界條件為

(5)

在梁的變形中,彎曲變形在變形能中起主導(dǎo)作用,則表示能量的Lagrange函數(shù)采用式(1)~式(4)可寫為

(6)

其中:T和∏分別表示系統(tǒng)的動能和勢能;D=EI為梁的彎曲剛度;I為慣性矩;NT為熱軸力,定義為

NT=EAαT。

(7)

(8)

其中:δ表示變分;對偶變量p代表系統(tǒng)的動量。

將方程(6)和式(8)代入可得系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)H為

(9)

Hamilton體系下的對偶正則方程為

(10)

將方程(8)和式(9)代入對偶正則方程(10)可得

(11)

同時,將邊界條件(5)轉(zhuǎn)換為Hamilton體系下梁的端部邊界條件:

(12)

(13)

T(z,0)=0,T(-h/2,t)=ΔT·f(t),

(14)

(15)

具體計算時考慮指數(shù)函數(shù)型的突加升溫載荷,即f(t)=1-e-at,其中a為載荷參數(shù)。采用Laplace變換,可以將方程(13)和初邊值條件轉(zhuǎn)換為拉氏域中的常微分方程,其利用級數(shù)解法求解。然后再進(jìn)行Laplace反變換可得時間域內(nèi)的動態(tài)溫度場,將其代入式(7),可得含有參數(shù)ΔT的熱軸力。我們在求解中首先按照分叉條件求得臨界熱軸力,然后由已知的熱軸力反解得熱載荷幅值ΔT。

2正則方程的求解

先進(jìn)行無量綱化,選取以下無量綱量

(16)

在Hamilton體系下,零本征值本征解滿足

(17)

將方程(11)代入方程(17),化簡并進(jìn)行無量綱化,得到無量綱形式的正則方程

(18)

方程(18)為線性齊次方程,其通解為

(19)

(20)

分析方程(20)可知:若只有零解時,說明梁只有均勻壓縮,不發(fā)生屈曲；反之梁發(fā)生屈曲的條件就是有非零解,此時系數(shù)行列式為零:

(21)

化簡式(21)可得分叉條件,表示為

(22)

為了求得屈曲模態(tài),采用歸一化方法,令C4=1,由方程(20)可解得

然后將系數(shù)C1、C2、C3和C4代入方程(19)中,可以得到梁的第n階屈曲模態(tài)

(23)

3數(shù)值結(jié)果與討論

3.1屈曲模態(tài)

由梁屈曲的分叉條件式(22),采用Newton-Raphson法求解可得無量綱特征值:

θ1=20.19,θ2=59.67,θ3=118.90,

θ4=197.85,θ5=296.55,…

將所得無量綱特征值θn,依次代入式(23)可得屈曲模態(tài)。在熱沖擊作用下,梁的前四階熱沖擊屈曲模態(tài)如圖1~圖4所示。由圖1~圖4可見,梁的屈曲特征值不同時所對應(yīng)的屈曲模態(tài)不同,且隨著無量綱特征值的增大對應(yīng)的屈曲模態(tài)的階數(shù)在增高。由此可知,在不同的熱沖擊載荷作用下,梁的失穩(wěn)變形形態(tài)是不同的。梁的臨界屈曲升溫不同時,對應(yīng)著一階屈曲模態(tài)也就是臨界屈曲模態(tài)。

圖1　第一階屈曲模態(tài)Fig.1　First-order buckling mode

圖2　第二階屈曲模態(tài)Fig.2　Second-order buckling mode

圖3　第三階屈曲模態(tài)Fig.3 Third order buckling mode

圖4　第四階屈曲模態(tài)Fig.4　Fourth order buckling mode

3.2屈曲升溫載荷

研究以銅質(zhì)梁作為算例來討論。材料的物性參數(shù)見表1。若無特別說明,梁的幾何尺寸給定為h=1cm,l=40cm；熱沖擊載荷參數(shù)為a=10,作用時間Δt=5s,換熱系數(shù)hr=100。表2列出了梁在受熱沖擊時的前三階屈曲升溫。由表2可見,隨著Euler-Bernoulli梁的屈曲模態(tài)階數(shù)的增高,屈曲升溫載荷顯著增大。表3~表7分別給出了長細(xì)比λ變化時梁的屈曲臨界升溫ΔTcr、載荷參數(shù)a變化時梁的屈曲臨界升溫ΔTcr、沖擊時間t變化時梁的臨界屈曲升溫ΔTcr、長細(xì)比λ變化時梁的第二階屈曲升溫ΔT、沖擊時間t變化時梁的第二階屈曲升溫ΔT。

表1　金屬材料Cu的物性參數(shù)

表2　梁的前三階屈曲升溫ΔT

表3　長細(xì)比λ變化時梁的屈曲臨界升溫ΔTcr

表4　載荷參數(shù)a變化時梁的屈曲臨界升溫ΔTcr

表5　沖擊時間t變化時梁的臨界屈曲升溫ΔTcr

為了分析結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和熱沖擊載荷參數(shù)對臨界升溫的影響,表3~表5列出了不同參數(shù)變化時屈曲臨界升溫載荷。由表3可知,隨著梁的長細(xì)比λ的增大,梁的彎曲剛度減小,受熱沖擊時臨界屈曲升溫載荷明顯減小。由表4可知,隨著載荷參數(shù)a值的增大,屈曲臨界升溫載荷緩慢減小。當(dāng)參數(shù)a<5時,其值增大對屈曲臨界升溫稍有影響；參數(shù)a>5時,其變化對屈曲臨界升溫基本無影響。由表5可知,隨著載荷作用時間的增加,梁的屈曲臨界升溫減小。t<5時,屈曲臨界升溫隨熱沖擊作用時間的延長而急劇減小;t>5時變化不大,最終隨作用時間的增大而趨于一固定值。由表6和表7可知,結(jié)構(gòu)參數(shù)和幾何參數(shù)變化時對梁的二階屈曲升溫的影響與cf 屈曲臨界升溫的影響基本一致。

表6　長細(xì)比λ變化時梁的第二階屈曲升溫ΔT

表7　沖擊時間t變化時梁的第二階屈曲升溫ΔT

4結(jié)論

研究了熱沖擊載荷作用下Euler-Bernoulli梁的動力屈曲特性。將問題歸結(jié)為Hamilton體系下的零本征值問題,在辛空間中建立正則方程,解析求解得到屈曲模態(tài)和分叉條件。由分叉條件求得臨界熱軸力后,反解得到Euler-Bernoulli梁的屈曲溫度。結(jié)果表明:

(1)采用Hamilton體系下的辛方法可有效求解梁的沖擊屈曲問題,繞開了經(jīng)典彈性力學(xué)解偏微分方程的瓶頸;

(2)梁的長細(xì)比和載荷作用時間都對臨界屈曲升溫和二階屈曲升溫有較大影響,但載荷參數(shù)a對梁的臨界屈曲升溫和二階屈曲升溫影響很小。

參考文獻(xiàn):

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Dynamic Buckling of Euler-Bernoulli Beam under Thermal Shock

Zhao Xingxing,Zhang Jinghua

(SchoolofScience,LanzhouUniversityofTechnology,Lanzhou730050,China)

AbstractThe dynamic buckling of the beam with simply supported end under the action of thermal shock load was researched in the Hamilton system based on the Euler-Bernoulli beam,wherein one end of the beam with simply supported end was fixed,and the other end of the same was immovable.The buckling problem of the beam was boiled down to the problem of zero eigenvalue of the system in the symplectic space,while the buckling modal of the beam was corresponding to symplectic eigensolution of the Hamilton system;and the critical load and the buckling modal of buckling of the Euler-Bernoulli beam generated under the transverse thermal shock were acquired by means of solving.Further,the influence of the structural geometrical parameters and the parameters of the thermal shock load to the critical heating was analyzed and discussed at the same time.Moreover,the analysis showed that ratio of slenderness of the beam and the acting time of the load influenced heating of buckling greatly;however,load parameter had small impact on heating of buckling of the beam.

Key wordsEuler-Bernoulli girder;Hamilton system;Dnamic buckling;Critical load

中圖分類號:O347

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1004-0366(2016)01-0016-05

作者簡介:趙幸幸(1990-),男,山西霍州人,碩士研究生,研究方向為新型材料與結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為.E-mail:zhaoxx0810@126.com.

基金項目:國家自然科學(xué)基金項目(11262010).

收稿日期:2015-03-23;修回日期:2015-06-17.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.01.004.

引用格式:Zhao Xingxing,Zhang Jinghua.Dynamic Buckling of Euler-Bernoulli Beam under Thermal Shock[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(1):16-20.[趙幸幸,張靖華.熱沖擊下Euler-Bernoulli梁的動力屈曲[J].甘肅科學(xué)學(xué)報,2016,28(1):16-20.]