連續(xù)波強激光武器的動態(tài)毀傷概率數(shù)學(xué)模型*

王向民，王　軍，郭　治

（南京理工大學(xué)自動化學(xué)院，南京　290014）

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連續(xù)波強激光武器的動態(tài)毀傷概率數(shù)學(xué)模型*

王向民，王軍，郭治

（南京理工大學(xué)自動化學(xué)院，南京290014）

摘要：在強激光武器的跟蹤誤差為均方可導(dǎo)、各態(tài)歷經(jīng)、零均值的正態(tài)過程的條件下，通過明晰的物理概念與嚴謹?shù)臄?shù)理演繹，導(dǎo)出了它的動態(tài)毀傷概率的級數(shù)表達式。通過算例探討了動態(tài)毀傷概率的性質(zhì)：它存在兩個極大值所對應(yīng)的隨機穿越的自然頻率，當(dāng)跟蹤系統(tǒng)工作在其中的非零頻率上時，更具有快速反應(yīng)能力；展現(xiàn)了跟蹤誤差的傳遞函數(shù)與動態(tài)毀傷概率間的定量關(guān)系。為論證、設(shè)計、檢驗強激光武器系統(tǒng)的動態(tài)毀傷概率提供了理論依據(jù)與技術(shù)支持。

關(guān)鍵詞：強激光武器，跟蹤誤差，隨機穿越特性，毀傷概率

0　引言

連續(xù)波強激光武器作為精確、高效定點殺傷武器，已成為戰(zhàn)術(shù)武器系統(tǒng)的發(fā)展前沿而受到極大的重視。裝載在運載體上的連續(xù)波強激光武器在對運動目標(biāo)實施射擊時，在相同的毀傷定義下，只有它的毀傷概率優(yōu)于現(xiàn)有擔(dān)負同類任務(wù)的其他類型的武器，才有成為列裝武器的可能。如果將強激光載體與其射擊的目標(biāo)存在相對運動時的毀傷概率稱為強激光武器的動態(tài)毀傷概率，顯然，建立這種動態(tài)毀傷概率的數(shù)學(xué)模型，對論證、設(shè)計、檢驗強激光武器都是一項基礎(chǔ)性重要任務(wù)。文獻［1-3］對動態(tài)毀傷概率進行了仿真研究，其中也提到了對它的數(shù)學(xué)模型的急切需求，但至今未見這一數(shù)學(xué)模型的相關(guān)文獻。

當(dāng)用靜止強激光對準一個固定目標(biāo)直接照射時，不同特性的強激光在不同的環(huán)境下，對不同材質(zhì)目標(biāo)毀傷能力的特性，謂之強激光的靜態(tài)毀傷特性。有關(guān)這種特性的研究文獻頗多，其中文獻［4］以可信的理論分析和大量的試驗成果概括出了一條具有普適性的、有關(guān)連續(xù)波強激光的靜態(tài)毀傷特性：在確定的環(huán)境中對特定材質(zhì)的目標(biāo)直接照射一確定的時間（致毀時間）Th后，即可導(dǎo)致該目標(biāo)毀傷；倘若上述條件發(fā)生確定性改變，只是致毀時間發(fā)生相應(yīng)的變化；強激光致毀目標(biāo)的時間很短，目標(biāo)由于溫升而致毀的過程可近似一個絕熱過程，即在一個允許的時間內(nèi)，致毀時間可以分解為多個時段依次輻照，只要總的輻照時間不變，毀傷效果亦不變。本文在上述靜態(tài)毀傷特性的支持下，推導(dǎo)出了動態(tài)毀傷概率并通過算例分析了它的性質(zhì)。

1　致毀條件

為達到動態(tài)毀傷，本文提出了3個武器系統(tǒng)必須滿足的致毀條件：

條件1：連續(xù)波強激光光束覆蓋目標(biāo)上一個固定的待毀中心O的總時間超過致毀時間Th，目標(biāo)將被毀傷。

條件2：強激光束的跟蹤誤差，即激光束中軸相對待毀中心O的方向角誤差Z（t）=（x（t），y（t））T為相互獨立的二維、均方可導(dǎo)、各態(tài)歷經(jīng)、零均值的正態(tài)過程。

當(dāng)強激光武器載體的穩(wěn)定系統(tǒng)與目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)均采用無偏估計與無偏控制策略，且射擊過程在過渡過程結(jié)束后實施時，上述條件是完全可以接受的。又由隨機過程理論可知，各態(tài)歷經(jīng)、均方可導(dǎo)、零均值的正態(tài)過程的導(dǎo)數(shù)依然是各態(tài)歷經(jīng)、零均值的正態(tài)過程，且與原函數(shù)相互獨立，故x（t），y（t），（t），（t）都是相互獨立的的，其聯(lián)合密度函數(shù)

式中：σx，σy為x（t），y（t）的均方差；σx，σy為（t），（t）的均方差。

強激光束的束散角記為2ρ，以待毀點O為中心，半徑等于ρ的圓稱為射擊門，顯然，跟蹤誤差Z（t）可能以不同的隨機軌跡穿越射擊門，如圖1所示。

圖1射擊門與跟蹤誤差的示意圖

圖中φ為ρ與x方向的張角。而tin，i={t2i-1-t2i-2；i=1，2，…}為輻照時間，一般文獻上稱為滯留時間。而tout，i={t2i-t2i-1；i=1，2，…}為失照時間，一般文獻稱為待機時間，又tch，i=tin，i+tout，i={t2i+1-t2i-1；i=1，2，3，…}為隨機周期。很明顯，tch，i，tin，i和tout，i都是隨機變量。

條件3：強激光在t=t0瞬時發(fā)射，在t-t0=Ts＞Th＞0時結(jié)束。

欲保證在t=t0瞬時發(fā)射強激光，必須設(shè)置一個能檢測到跟蹤誤差Z（t）穿入射擊門瞬時的裝置，例如一直跟蹤目標(biāo)的弱激光跟蹤裝置。

在滿足上述條件下，如果在t∈［0，Ts）的時間內(nèi)，存在一個n，使

則目標(biāo)必然毀傷。推導(dǎo)此公式在3個致毀條件下的概率即是本文的中心命題。

2　對射擊門隨機穿越的自然頻率

單位時間內(nèi)，跟蹤誤差對射擊門的隨機穿越周期的平均個數(shù)稱為跟蹤誤差對射擊門隨機穿越的自然頻率，它是表征隨機穿越快慢的一個特征參數(shù)。僅有（（t）（t））T在射擊門半徑方向上的分量與φ的分布特性才影響隨機穿越的次數(shù)，而與無關(guān)，故記

顯然

又由于（x，y）在φ方向上的密度函數(shù)為瑞利分布，即

因而，在所有φ∈［0，2π）上隨機周期在單位時間內(nèi)出現(xiàn)的平均個數(shù)

式中

為虛自變量第一類貝塞爾函數(shù)的展開式，它收斂極快。

若σx=σy時，有

3　 n個隨機穿越周期的密度函數(shù)

設(shè)α0為跟蹤誤差覆蓋射擊門區(qū)域的概率，則有

為跟蹤誤差在射擊門內(nèi)的概率。當(dāng)σx=σy時，有

對均方可導(dǎo)、且各態(tài)歷經(jīng)的零均值的二維正態(tài)過程，當(dāng)已知α0與λ，由文獻［5-6］可知，其單個輻照時間的密度函數(shù)服從指數(shù)分布

n個輻照時間的密度函數(shù)服從Γ分布

若將上述兩式中的α0置換為α1，則得到對應(yīng)的失照時間的密度函數(shù)。單個隨機周期的密度函數(shù)

考慮到n個獨立隨機周期的密度函數(shù)等于一個隨機周期的密度函數(shù)的n-1次卷積，又由于一個隨機周期的密度函數(shù)存在拉普拉斯變換，依據(jù)拉普拉斯變換的卷積定理，有n≥1個隨即周期的密度函數(shù)

由于致毀條件3要求強激光發(fā)射從Z（t）穿入射擊門開始，因而，必然有一個服從指數(shù)分布的輻照時間tin，1，當(dāng)發(fā)射時間Ts＜tin，1時，Z（t）不存在隨即周期，故有零隨機周期的密度函數(shù)

式（14）、式（15）共同構(gòu)成了n個隨機周期的密度函數(shù)，如下頁圖2所示。

顯然，不論n≥0為多少，n個隨機周期的長度的取值范圍都是［0，∞）。

圖2隨機周期的密度函數(shù)

強激光武器的動態(tài)毀傷概率指的是在發(fā)射前對射擊過程中所存在的輻照時間之和不小于致毀時間的概率的預(yù)測值。根據(jù)致毀條件3，強激光的發(fā)射瞬時應(yīng)處于Z（t）對射擊門的穿越點，因而，必然進入一個由輻照時間構(gòu)成的零隨機周期，之后繼之以失照時間與輻照時間交替更新的非零隨機周期。由于每個周期的歷時都是隨機的，因而任何隨機周期都有可能結(jié)束于停止發(fā)射的瞬時。圖3給出了n=0，1，2的示意圖：

圖3隨機穿越周期示意圖

由于強激光發(fā)射后，首先進入一個服從指數(shù)分布的零隨機周期，若隨機的tin，1不小于致毀時間，即tin，1≥Th（16）則目標(biāo)必毀，此時的毀傷概率

當(dāng)?shù)谝粋€輻照時間未達到毀傷閾值時，若要在激光一次發(fā)射時間內(nèi)使累積輻照時間大于毀傷閾值Th，則至少會出現(xiàn)一個完整的隨機周期。而強激光的一次射擊過程可以認為是由輻照時間和失照時間兩種狀態(tài)（狀態(tài)0和狀態(tài)1）構(gòu)成的齊次馬爾可夫鏈，且開始于輻照時間狀態(tài)，若令P（t）為轉(zhuǎn)移概率陣

依連續(xù)時間馬爾可夫鏈的定義及性質(zhì)可得若隨機的tin，1小于致毀時間，可求得［7］

和

式（18）和式（19）分別表示激光束在Ts時刻時，處于射擊門內(nèi)和射擊門外的概率。考慮到以隨機周期的計數(shù)過程作為更新過程，利用更新過程的性質(zhì)，可以求的在t∈［0，Ts］時間內(nèi)，隨機周期可能出現(xiàn)的個數(shù)概率為

運用全概率公式，則強激光武器的動態(tài)毀傷概率表達式為

式中

和

以及

在利用式（21）計算動態(tài)毀傷概率時，當(dāng)α0=α1=0.5時，由于輻照時間與失照時間的密度函數(shù)相等應(yīng)以代替式（24）實施運算，以避免分母出現(xiàn)零值。

4　示例

示例1設(shè)Ts=4，Th=2.5，α0=0.6，當(dāng)λ∈［0.1，4］時，利用式（21）計算動態(tài)毀傷概率如圖4所示。

圖4動態(tài)毀傷概率H隨自然頻率λ變化圖

此示例表明，動態(tài)毀傷概率是自然頻率λ的函數(shù)，且存在兩個極大值。其中λ=0對應(yīng)于跟蹤誤差為強相關(guān)誤差，盡管可以在零值附近設(shè)置λ，但Z（t）當(dāng)在射擊門外時，卻難以盡快地進入射擊門實施射擊，而另一個非零自然頻率所對應(yīng)的極大值卻可以避免上述缺憾。

示例2設(shè)圓形射擊門半徑ρ=1，Ts=4 Th=2.5；wx（s）=wy（s）=為跟蹤誤差的白化后的整形濾波器，Φx（s）=Φy（s）=為跟蹤系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)；以其輸出的不相關(guān)的各態(tài)歷經(jīng)函數(shù)x（t），y（t）作為在兩個方向上的跟蹤誤差的模擬量，當(dāng)T1=0.1時，選取T2∈［0.1，6］時，利用式（5）即可得到動態(tài)毀傷概率隨T2的變化，如圖5所示。

圖5動態(tài)毀傷概率隨T2的變化

從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)T2=2.126時，動態(tài)毀傷概率取得局部極大值。由于它對應(yīng)的λ=1.561，因而具有快速進入射擊門的能力。

此示例表明，動態(tài)毀傷概率在靜態(tài)毀傷特性一定時，還直接決定于武器跟蹤系統(tǒng)的動態(tài)特性及目標(biāo)的機動特性。因而，該公式可以用以論證與設(shè)計連續(xù)波強激光武器系統(tǒng)的估計與控制策略，對動態(tài)毀傷概率進行優(yōu)化。

5　結(jié)論

由于在公式演繹過程中所引用的物理概念均有確切隨機理論支持，其間未引用經(jīng)驗數(shù)據(jù)與近似公式，因而只要強激光武器在運行中滿足本文給出的3個致毀條件，所得結(jié)論是無誤的；由于本文導(dǎo)出的動態(tài)毀傷概率所需的原始數(shù)據(jù)包含有武器系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)的方差，因而，它不僅可以作為動態(tài)毀傷概率論證的依據(jù)，而且可以直接與強激光武器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或狀態(tài)方程結(jié)合在一起，以動態(tài)毀傷概率為目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化控制策略。

當(dāng)武器系統(tǒng)的運行環(huán)境相對本文給出的致毀條件發(fā)生變化，例如，目標(biāo)與武器的距離發(fā)生變化時，目標(biāo)散熱現(xiàn)象明顯時，多個強激光束同時發(fā)射時，則應(yīng)依具體變化狀態(tài)，對本文給出的動態(tài)毀傷概率公式作必要修正。

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Mathematical Model for Dynamic Damage Probability of the CW High- energy Laser Devices

WANG Xiang-min，WANG Jun，GUO Zhi
（School of Automation，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

Abstract：Aimed at the CW high-energy laser devices，under the assumption that the tracking error is the normal stochastic process of mean square differentiability and ergodicity，the Series Expression of the dynamic damage probability was given. The examples demonstrate some characteristics of the dynamic damage probability as follow. First there exists natural frequencies of stochastic passage relevant to two different maximums. Second，the tracking system has a more rapidly response to non-zero frequencies. At last，the system proposed indicates the quantitative relationship between dynamic damage probability and transfer function of the tracking error system，which offers theoretical and technological support on proofing，designing and testing the dynamic damage probability of CW high-energy laser devices.

Key words：CW high power laser，tracking error，stochastic passage characteristic，damage probability

作者簡介：王向民（1975-），男，湖南華客人，博士生，助理研究員。研究方向：火力控制。

*基金項目：國家自然科學(xué)基金（61104197）；國家部委預(yù)先研究基金資助項目（40405070103）

收稿日期：2015-01-09

文章編號：1002-0640（2016）02-0055-05

中圖分類號：TP273，TJ95

文獻標(biāo)識碼：A

修回日期：2015-03-11