基于分形理論的多孔介質(zhì)滲透破壞研究

王 宇，王士軍，谷艷昌(1.南京水利科學(xué)研究院，南京 210029；2.水利部大壩安全管理中心，南京 210029；3.河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，南京 210029)

Mandelbrot創(chuàng)建并發(fā)展的分形(fractal)是研究一些具有自相似性的不規(guī)則曲線或位形，提出了分維是定量描述這種自相似性的參數(shù)[1]。Hausdorff認(rèn)為維數(shù)可以是分?jǐn)?shù)即分?jǐn)?shù)維，并定義了Hausdorff測度[2]。Mandelbrot為模擬分形推廣了Hausdorff維數(shù)定義，提出分形是一個(gè)集合，分形集具有3個(gè)特征：①具有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)或精細(xì)結(jié)構(gòu)；②具有某種自相似形式，可以是近似自相似或統(tǒng)計(jì)自相似；③分形集的分形維數(shù)嚴(yán)格大于它相應(yīng)的拓?fù)渚S數(shù)。目前分形幾何理論已廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、化學(xué)、地學(xué)、生物學(xué)、材料學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及書法藝術(shù)等眾多領(lǐng)域。

土石壩是由散體粒子、膠結(jié)物質(zhì)和大量各種不同階次、不規(guī)則分布的孔隙、薄弱夾層等構(gòu)成，是一種結(jié)構(gòu)高度復(fù)雜的孔隙體。組成上，土體具有非連續(xù)、非均質(zhì)和不規(guī)則性；空間結(jié)構(gòu)上，具有隨機(jī)分布的多孔隙性；物理力學(xué)性質(zhì)上，呈現(xiàn)非彈性、隨機(jī)性、各向異性、時(shí)間效應(yīng)和地質(zhì)環(huán)境依賴性[3]。巖土介質(zhì)的孔隙幾何從原子尺度到晶粒尺寸范圍內(nèi)均表現(xiàn)出分形特征，作為一個(gè)顆粒群或系統(tǒng)，巖土介質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的滲透破壞具有規(guī)律性。因此可以在分形空間中考慮并建立滲透破壞行為的物理指標(biāo)和運(yùn)算法則。

目前關(guān)于土體滲透變形的理論研究多集中于單個(gè)顆粒或者顆粒組的力學(xué)平衡上，缺乏對(duì)土體顆粒系統(tǒng)性的認(rèn)識(shí)[4]?？紤]到分形可以較為準(zhǔn)確的揭示非線性動(dòng)力系統(tǒng)的規(guī)律性，將分形理論引入滲透變形的研究中來，試探性地開展了多孔介質(zhì)滲透破壞的分形特征研究。

1 多孔介質(zhì)分形幾何理論

1.1 多孔介質(zhì)分形模型

多孔介質(zhì)可看成更精細(xì)粒子的破碎，也用表面積和粒子尺寸分布來表征。謝和平等(1992年)研究了在不同磨碎機(jī)理下精細(xì)粒子的分形特征，發(fā)現(xiàn)粒子尺寸分布的分維D和粒子表面分維Ds都與磨碎機(jī)理及樣本材料性質(zhì)相關(guān)[5]。根據(jù)數(shù)目分布函數(shù)Yn(x)的定義，尺度在x和x+dx之間的粒子數(shù)目dN為：

dN=NtdYn(x)

(1)

式中：Nt為系統(tǒng)總粒子數(shù)；Yn(x)為小于尺寸 的粒子總數(shù)與系統(tǒng)總粒子數(shù)的比值。在這個(gè)尺寸區(qū)間粒子體積dV可由dN與單一粒子體積的乘積來求得：

dV=Kvx3NtdYn(x)

(2)

式中：Kv為體積形狀因子，dV也可由體積分布函數(shù)Yv(x)來表示：

dV=VtdYv(x)

(3)

式中：Vt為系統(tǒng)粒子總體積，由式(2)和(3)得：

dYv(x)=Nt(Kv/Vt)x3dYn(x)

(4)

根據(jù)數(shù)目分布函數(shù)的基本定義，Yn(x)可表達(dá)為：

Yn(x)=(Nt-N)/Nt%=(1-N/Nt)%

(5)

式中：N定義為尺寸大于x的粒子數(shù)目，由于粒子尺寸分布是分形，則有：

Yn(x)∝-x-DdYn(x)∝x-1-D

(6)

代入式(4)，再積分，即可得到：

Yv(x)∝x3-D

(7)

式(7)兩邊乘以密度即可得到質(zhì)量分布函數(shù)的分形表示。應(yīng)當(dāng)注意，物體分形往往具有一定的范圍，也稱無標(biāo)度區(qū)，即當(dāng)x∈[x1,x2]，x1和x2為自相似性存在范圍的上下限，上式分形規(guī)律成立。

基于多孔介質(zhì)自相似特點(diǎn)，試驗(yàn)中可利用土樣顆分來反映整個(gè)土層的級(jí)配情況，以及少數(shù)土樣的物理性質(zhì)代表整個(gè)土層的物理性質(zhì)，研究多孔介質(zhì)的質(zhì)量分維數(shù)。土體粒徑組成是以小于某一粒徑x的土體質(zhì)量百分含量M(

M(

(8)

如圖1為砂礫石的顆分結(jié)果和冪律擬合曲線，其相關(guān)系數(shù)大于0.99，而且當(dāng)粒徑越小時(shí)，擬合程度越高，這正體現(xiàn)了分形存在無標(biāo)度區(qū)。

圖1 砂卵礫石的顆分及冪曲線擬合成果Fig.1 Sandy gravels size fitted curve

上述分形模型理論上適用于確定型的分形模型，對(duì)于自然條件下統(tǒng)計(jì)意義上的自相似分形，因其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)存在空間差異性，確定型分形模型也有一定的適用性。因此，在巖土介質(zhì)均勻的情況下，確定型的分形模型能較好的描述土體固相顆粒系統(tǒng)具有冪函數(shù)累積數(shù)量-尺寸分布關(guān)系的分形結(jié)構(gòu)。

1.2 質(zhì)量分維數(shù)的計(jì)算

在進(jìn)行分維數(shù)計(jì)算時(shí)，對(duì)式(8)兩邊取對(duì)數(shù)，對(duì)于典型分形而言，小于某粒徑的百分含量M(

LnM(

(9)

其中直線斜率Slope=3-D，則D=3-Slope。根據(jù)式(9)可以計(jì)算土體的質(zhì)量分維數(shù)，即在已知土體顆分情況下，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸下繪制質(zhì)量百分含量和粒徑的線性相關(guān)曲線，即粒度分布曲線，根據(jù)曲線斜率推算分維數(shù)。

某砂卵礫石粒度分布曲線如圖2所示，相關(guān)系數(shù)大于0.99，線性關(guān)系較好，直線斜率Slope=0.315 6，則D=3-0.315 6=2.684 4。

圖2 某砂卵礫石粒度分布曲線Fig.2 Sandy gravels size distribution curve

由于土體結(jié)構(gòu)的不均勻性，可采用多重分形理論來描述具有統(tǒng)計(jì)意義的土體質(zhì)量分形。某土粒度分布曲線如圖3所示。若不進(jìn)行分段統(tǒng)計(jì)時(shí)，相關(guān)系數(shù)只有0.666 9，分維數(shù)D=2.134 8，可靠性較差。分段統(tǒng)計(jì)時(shí)，各段擬合度較好，相關(guān)系數(shù)均大于0.9。此時(shí)土體具有兩個(gè)分維數(shù)，需進(jìn)行分段統(tǒng)計(jì)才能準(zhǔn)確、完整的描述土體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。對(duì)粒徑小于0.1 mm進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，則D1=3-3.186 6<0，可見土體均勻程度很高，已經(jīng)不具備分形規(guī)律；對(duì)粒徑大于0.1 mm的土體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，則D2=2.734 6，相關(guān)系數(shù)大于0.9，可靠性較高。需要指出的是，該土大于0.1 mm的顆粒含量約96%，對(duì)土體的穩(wěn)定性起主控作用，取D=D2=2.734 6是合理的，但此時(shí)的質(zhì)量分維數(shù)只能代表大部分土體性質(zhì)。

圖3 某土的粒度分布曲線Fig.3 Soil sizes distribution curve

基于質(zhì)量分維數(shù)的計(jì)算方法，理論上對(duì)于確定型分形模型質(zhì)量分維數(shù)D∈(2，3)，但實(shí)際應(yīng)用中，具有統(tǒng)計(jì)意義的分形模型質(zhì)量分維數(shù)D∈(1，2)也是有意義的，這在砂性土、黏性土等比較均勻的細(xì)粒料中較常見。

簡言之，質(zhì)量分維數(shù)是揭示小于某粒徑顆粒累積含量變化規(guī)律的重要參數(shù)，體現(xiàn)了土體內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征以及與顆粒級(jí)配、密實(shí)度、滲透性的關(guān)系，對(duì)土體滲透變形規(guī)律有一定的影響。

2 土體滲透破壞分形特征分析

開展典型級(jí)配下多組天然的砂性土、粉質(zhì)黏土土等主要土石壩材料的滲透破壞物理模擬試驗(yàn)，采用測壓管、傳感器及電子數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)進(jìn)行量測，研究土體物理性質(zhì)、滲透變形及破壞的分形特征。

2.1 物理性質(zhì)分形特征

土體孔隙度隨分維數(shù)變化情況如圖4所示?？紫抖扰c分維數(shù)相關(guān)性較好，相關(guān)系數(shù)R接近0.7；分維數(shù)與孔隙度呈反比關(guān)系，當(dāng)D>2時(shí)，孔隙度隨著分維數(shù)增大而減小的規(guī)律更明顯。分維數(shù)表征單位體積下逐級(jí)顆粒的積累情況，分維數(shù)越大，孔隙度一般越小。

圖4 土體分維數(shù)和孔隙度的關(guān)系Fig.4 Relationship between dimension and porosity

土體不均勻系數(shù)隨分維數(shù)變化情況如圖5所示。不均勻系數(shù)與分維數(shù)之間存在較好的指數(shù)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)R大于0.7；分維數(shù)越大，單位體積土體逐級(jí)顆粒質(zhì)量積累越多，不均勻程度越高。

圖5 土體分維數(shù)和不均勻系數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between dimension and uneven coefficient

土體中值粒徑D50和分維數(shù)的關(guān)系如圖6所示。D50和分維數(shù)之間存在較好的二次關(guān)系，相關(guān)系數(shù)R接近0.6；隨著分維數(shù)的增大，土體D50有增大的趨勢。分維數(shù)越大，不均勻程度越高，一般顆粒越粗。

圖6 土體分維數(shù)和中值粒徑D50的關(guān)系Fig.6 Relationship between dimension and medium size D50

土體干密度和分維數(shù)的關(guān)系如圖7所示。干密度和分維數(shù)之間存在較好的二次關(guān)系，相關(guān)系數(shù)R接近0.7；隨著分維數(shù)的增大，土體干密度有增大的趨勢，但是處于同一分區(qū)內(nèi)的土體干密度隨分維數(shù)增大而增大的規(guī)律則不強(qiáng)，主要因?yàn)榉志S數(shù)越大，反映出單位體積土體逐級(jí)顆粒積累越多，不均勻程度越高，一般顆粒越粗，但對(duì)于級(jí)配接近的砂礫料或者砂性土而言，干密度的大小和粒徑的關(guān)系則較弱，干密度大小還受到顆粒排列方式密實(shí)情況等的影響。

圖7 土體分維數(shù)和干密度的關(guān)系Fig.7 Relationship between dimension and dry density

土體滲透系數(shù)和分維數(shù)的關(guān)系如圖8所示，由圖可知，隨著分維數(shù)D的增大，滲透系數(shù)有增大的趨勢，這是因?yàn)榉志S數(shù)較大，顆粒較粗，滲透性能越強(qiáng)。

圖8 土體分維數(shù)和滲透系數(shù)的關(guān)系Fig.8 Relationship between dimension and permeability

分維數(shù)D主要反映小于某粒徑顆粒累積含量變化規(guī)律的參數(shù)，和顆粒級(jí)配、密實(shí)度等都有關(guān)系。由分維數(shù)的計(jì)算方法可知，當(dāng)分維數(shù)較大時(shí)，表示小于某粒徑顆粒累積含量較少，顆分曲線越平緩，土體有粗化現(xiàn)象。不均勻系數(shù)及中值粒徑增大，孔隙度減小，干密度也增大，因此質(zhì)量分維數(shù)是表征土體結(jié)構(gòu)情況的參數(shù)，對(duì)土體滲透變形特性具有一定的影響。

2.2 滲透變形分形特征

各種典型級(jí)配下粉質(zhì)黏土、砂性土的滲透變形及分維計(jì)算結(jié)果匯總?cè)鐖D9所示，由圖可知，分維數(shù)主要為[1,3]；流土變形的臨界坡降均大于0.5，分維數(shù)小于2.35；管涌變形的臨界坡降均小于0.5，分維數(shù)皆大于2.5；隨著分維數(shù)增大，土體臨界坡降逐漸減小。這是因?yàn)榉志S數(shù)越大，土體粒徑和干密度較大，不均勻性較高，且滲透系數(shù)較大，綜合導(dǎo)致土體的臨界坡降減小。

圖9 土體分維數(shù)和臨界坡降匯總Fig.9 Soil dimensions and critical gradients

臨界坡降和分維數(shù)的關(guān)系如圖10所示，可以分為3個(gè)典型區(qū)域：1區(qū)(D≤2.35)、2區(qū)(2.352.65)。處于1區(qū)中土體皆為流土變形，D<1.5的土體為顆粒均勻的砂性土和黏性土；D>2的土體主要為砂礫石。處于2區(qū)中土體發(fā)生流土或管涌皆有可能；處于3區(qū)土體皆為管涌變形。

圖10 土體分維數(shù)和臨界坡降的關(guān)系Fig.10 Relationship between dimensions and critical gradient

2.3 滲透破壞過程分形特征

不同土體具有不同的分形特征，滲透破壞后的分形特征是否會(huì)發(fā)生變化以及如何變化也是值得研究的，這對(duì)預(yù)測堤壩土體是否存在滲流隱患具有重要意義。因此，試驗(yàn)采集各土體滲透破壞前后的顆分情況，開展土體滲透破壞前后分形規(guī)律的變化情況研究。

圖11為土樣滲透破壞前后的顆分情況，試驗(yàn)后分表層、中層、底層三層取樣，由圖可知，土體滲透破壞后出現(xiàn)了粗化現(xiàn)象；圖12為滲透破壞前的粒度分布曲線，分維數(shù)D前=3-0.347 4=2.652 6；圖13為滲透破壞后表層土樣的粒度分布曲線，分維數(shù)D后=3-0.374 2=2.625 8；圖14為顆粒流試驗(yàn)過程中各階段土體分維數(shù)的變化過程。比較可知，隨著土體滲透破壞的逐步發(fā)展，質(zhì)量分維數(shù)降低，可見土體出現(xiàn)滲透破壞后， 顆粒中累積的能量會(huì)逐步釋放。當(dāng)滲透破壞發(fā)展到0.1mm粒徑級(jí)后，分維數(shù)下降較快，這與細(xì)顆粒流失后土體趨于均勻有關(guān)。因此，可以通過土體出現(xiàn)滲透變形后質(zhì)量分維數(shù)會(huì)出現(xiàn)下降的情況，來預(yù)測滲透變形的發(fā)生和發(fā)展情況，從而減少堤壩因滲透破壞而引起的致災(zāi)隱患。

圖11 土樣滲透破壞前后的顆分情況Fig.11 Soil size before and after seepage failure

圖12 土樣滲透破壞前的粒度分布曲線Fig.12 Soil size distribution curve before seepage failure

圖13 土樣滲透破壞后表層土的粒度分布曲線Fig.13 Soil size distribution curve after seepage failure

圖14 顆粒流試驗(yàn)中各階段土體分維數(shù)的變化過程Fig.14 Soil dimension changing process in particle flowing test

3 結(jié) 語

基于分形幾何理論，重點(diǎn)研究了土體滲透變形的分形特征，提出了可作為劃分滲透變形判別標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量分維數(shù)，分析了土體滲透變形前后的分形特征。分析認(rèn)為可通過土體出現(xiàn)滲透變形后質(zhì)量分維數(shù)會(huì)出現(xiàn)下降的情況，來預(yù)測滲透變形的發(fā)生和發(fā)展情況，從而減少堤壩因滲透破壞而引起的致災(zāi)隱患。

本文僅是對(duì)多孔介質(zhì)滲透破壞的分形特征進(jìn)行了嘗試性研究,仍需要在工程實(shí)踐中進(jìn)一步檢驗(yàn)和完善。

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