考慮殘余強(qiáng)度和閾值影響的巖石彈性損傷統(tǒng)計(jì)模型

周永強(qiáng)，盛 謙，冷先倫，2，付曉東，李龍飛

（1．中國科學(xué)院a．武漢巖土力學(xué)研究所；b．巖土力學(xué)與工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071；2．水能資源利用關(guān)鍵技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410014）

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考慮殘余強(qiáng)度和閾值影響的巖石彈性損傷統(tǒng)計(jì)模型

周永強(qiáng)1a，1b，盛 謙1a，1b，冷先倫1a，1b，2，付曉東1a，1b，李龍飛1a，1b

（1．中國科學(xué)院a．武漢巖土力學(xué)研究所；b．巖土力學(xué)與工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071；2．水能資源利用關(guān)鍵技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410014）

摘 要：基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論和損傷理論，考慮巖石的殘余強(qiáng)度和損傷閾值影響，建立了三軸壓縮條件下巖石損傷統(tǒng)計(jì)模型。以損傷模型為基礎(chǔ)，利用巖石在低圍壓作用下應(yīng)力應(yīng)變的極值特性，導(dǎo)出了模型參數(shù)的統(tǒng)一求解方法。通過與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比和驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)：以Drucker?Prager準(zhǔn)則和Mohr?Coulomb準(zhǔn)則計(jì)算巖石微元強(qiáng)度比以軸向應(yīng)變函數(shù)計(jì)算巖石微元強(qiáng)度能更好地反映巖石的力學(xué)特性，說明了巖石的破壞進(jìn)程與其應(yīng)力狀態(tài)密切相關(guān)；為考慮殘余強(qiáng)度，引入損傷變量修正系數(shù)，在此基礎(chǔ)上提出一種求解該修正系數(shù)的新方法，從而使得模型得出的理論曲線能很好地接近試驗(yàn)數(shù)據(jù)；以屈服點(diǎn)的微元強(qiáng)度為損傷閾值點(diǎn)，避免了損傷系數(shù)在低荷載下不在［0，1］之間的情況。最后通過分析巖石損傷變量的變化過程，證明了該模型可以很好地反映三軸受壓狀態(tài)下巖石的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系。

關(guān)鍵詞：巖石力學(xué)；Weibull分布；修正系數(shù)；閾值；殘余強(qiáng)度；應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

1 研究背景

巖石在外荷載作用下會產(chǎn)生許多微裂紋，且是隨機(jī)分布的，這些裂紋的存在使得巖石在宏觀上表現(xiàn)為強(qiáng)度的部分喪失以及剛度的劣化，即巖石產(chǎn)生了損傷。因?yàn)槲⒘鸭y的分布錯(cuò)綜復(fù)雜，且大小不一，利用一般的理論知識是難以解決的，而且是沒有必要的，這時(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論就成為了一種重要的研究手段。

對于統(tǒng)計(jì)分布類型，文獻(xiàn)［1－2］假設(shè)巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布；文獻(xiàn)［3］認(rèn)為巖石微元強(qiáng)度服從冪函數(shù)分布；蔣維［4］采用了對數(shù)正態(tài)分布；曹文貴［5］利用巖石強(qiáng)度服從正態(tài)分布建立了能充分反映不同圍壓下巖石應(yīng)變軟硬化變形全過程的統(tǒng)一損傷軟硬化統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型；李小峰［6］則認(rèn)為正態(tài)分布使得巖石強(qiáng)度和參數(shù)有可能為負(fù)值，與事實(shí)不合，建議采用改進(jìn)的Harris分布；張明［7］采用Weibull分布、正態(tài)分布、類Weibull分布作了討論和剖析，證明采用Weibull分布較合適，而正態(tài)分布和類Weibull分布在彈性損傷概率模型中則應(yīng)當(dāng)排除，因此在選擇統(tǒng)計(jì)分布類型時(shí)，因Weibull的合理性及其簡單性成為了巖石損傷統(tǒng)計(jì)模型的首要之選?；赪eibull分析，在選擇強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)，唐春安［8］基于應(yīng)變理論，建立了一種簡單的統(tǒng)計(jì)損傷模型，該模型形式簡單，參數(shù)少且容易獲取，但巖石的破裂及其擴(kuò)展與其應(yīng)力狀態(tài)密切相關(guān)［9］，因此直接建立巖石損傷變量與應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系，并由此建立巖石損傷本構(gòu)方程則更為合理。對此曹文貴等［10］采用Druck?er?Prager準(zhǔn)則，提出了新的巖石微元強(qiáng)度表示方法，這為巖石微元強(qiáng)度的確定提供了一種新的思路；楊建平等［11］假設(shè)巖石微元破壞服從Mohr?Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，建立了巖石發(fā)生剪切破壞時(shí)的損傷演化方程；石崇等［12］在Hoek?Brown準(zhǔn)則及假定巖石顆粒服從Weibull函數(shù)隨機(jī)分布的基礎(chǔ)上，結(jié)合巖石峰后軟化的特點(diǎn)，對損傷參量進(jìn)行合理修正，建立能反映巖石破裂全過程的三維損傷本構(gòu)模型；蔣維［4］基于Mohr準(zhǔn)則，建立了三軸壓縮條件下巖石損傷本構(gòu)模型。

根據(jù)損傷的定義可知，巖石損傷并非一產(chǎn)生變形或承載就會發(fā)生，必須當(dāng)變形超過一定值或當(dāng)內(nèi)部應(yīng)力超過一定水平才會發(fā)生損傷，即所謂材料損傷存在損傷閾值問題［13］。李樹春［14］認(rèn)為損傷閾值與屈服應(yīng)變有關(guān)。然而同上所述，損傷變量應(yīng)與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，因此在選擇損傷閾值時(shí)，應(yīng)選擇與應(yīng)力有關(guān)的量來描述比較合理。由于摩擦和圍壓的影響，巖石全應(yīng)力－應(yīng)變曲線中后期的巖樣仍具有一定的殘余強(qiáng)度，表現(xiàn)為黏聚力為0的純摩擦。雖然已有學(xué)者考慮了殘余強(qiáng)度的影響［15－16］，并引進(jìn)了初始損傷數(shù)或者損傷變量修正系數(shù)，然而只能描述殘余強(qiáng)度與峰值強(qiáng)度的相關(guān)關(guān)系，卻不能定量地反映殘余強(qiáng)度，也沒有給出其確定方法。此外，目前能同時(shí)考慮損傷閾值和殘余強(qiáng)度的巖石損傷統(tǒng)計(jì)模型還很少，甚至沒有。因此建立能正確反映巖石損傷特征和殘余強(qiáng)度的模型則成了需要解決的問題。

本文基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論和損傷力學(xué)理論，基于巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布，建立巖石單軸和三軸條件下統(tǒng)計(jì)損傷力學(xué)模型，考慮應(yīng)力閾值及殘余強(qiáng)度的影響，給出了模型中各個(gè)參數(shù)的統(tǒng)一的確定方法，在此基礎(chǔ)上分析巖石的基本參數(shù)對該模型的影響。

2 不考慮閾值的巖石損傷軟化模型

2．1 損傷變量

根據(jù)Lemaitre［17］的應(yīng)變等效假設(shè)，可認(rèn)為損傷材料的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系可以用無損狀態(tài)下的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系來代替，而只需把名義應(yīng)力σi換成有效應(yīng)力σ′i即可，則有

σi＝(1－D )σ′i。（1）

式中D為損傷變量。根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，損傷變量D為已破壞的巖石微元數(shù)與全部的微元數(shù)之比，假設(shè)巖石微元強(qiáng)度符合Weibull分布，則損傷變量D的表達(dá)式為

式中m，F(xiàn)0均為分布參數(shù)。其中m表示巖石的脆性程度；如果F為軸向應(yīng)變，N表示巖石的微元個(gè)數(shù)，n表示已破壞的巖石微元個(gè)數(shù)，F(xiàn)0為極限應(yīng)變；如果F為應(yīng)力函數(shù)，F(xiàn)0則表示巖石的宏觀強(qiáng)度，P為已破壞巖石微元數(shù)的概率。

2．2 不考慮閾值的損傷模型

無損巖石在三軸圍壓作用下的彈性本構(gòu)模型為

其中i，j，k均為1，2，3，E和μ分別為彈性模量和泊松比。參考上式，有損巖石也可假設(shè)服從Hook定律，即

假設(shè)巖石中損傷與未損傷部分材料變形協(xié)調(diào)，即有損巖石與無損巖石的應(yīng)變相等，根據(jù)泊松比的定義也可知這2種巖石的泊松比也相等，結(jié)合式（1），即可得

上式即為三軸圍壓下考慮閾值的損傷模型。變換式（5），則可得到損傷變量D的表達(dá)式為

利用式（6），根據(jù)文獻(xiàn)［18］提供的不同圍壓下的軸向應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，可知損傷變量隨軸向應(yīng)變的變化過程如圖1所示。

圖1　損傷變量隨應(yīng)變的變化過程Fig．1 Variation of damage variable with strain

從圖1可知，在低荷載作用下，損傷變量的值不在［0，1］之間，這與損傷變量的合理取值區(qū)間［0，1］相違背；隨著荷載的增加，損傷變量的值也在增加，且其值都在［0，1］之間，最后都趨近于1，即巖石失穩(wěn)；隨著圍壓的增大，損傷變量也相應(yīng)地增大。這些現(xiàn)象說明了就巖石的損傷存在著一個(gè)閾值，而且是與應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)，正好驗(yàn)證了上述的結(jié)論。超過這個(gè)值，巖石的微裂紋才開始擴(kuò)展、匯合，最后貫通直至形成宏觀裂紋；而低于這個(gè)值，巖石的微裂紋基本不變化。因此在建立巖石損傷模型時(shí)需考慮閾值問題。

2．2．1 模型參數(shù)的確定

模型參數(shù)m，F(xiàn)0的確定是巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型建立的關(guān)鍵之一，而現(xiàn)有模型參數(shù)確定主要有兩大類方法。一種是根據(jù)巖石不同圍壓下的應(yīng)力－應(yīng)變曲線擬合得到［19］，另一種則是利用軟化巖石的極限特性，根據(jù)應(yīng)力峰值點(diǎn)來確定［20］。第1種方法雖然比較簡單，但無明確的物理意義，而第2種方法雖復(fù)雜，但物理意義明確，而且可得到適合于不同應(yīng)力狀態(tài)下統(tǒng)一的模型參數(shù)計(jì)算公式，同時(shí)也能反映巖石的峰值應(yīng)力狀態(tài)。因此本文將采用第2種方法來確定巖石損傷本構(gòu)模型的參數(shù)，具體過程如下。

設(shè)巖石峰值點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變分別為σc和εc，則根據(jù)極值特性，巖石的應(yīng)力應(yīng)變模型的幾何條件為：

聯(lián)立式（7）、式（8）和式（5），可得不同應(yīng)力準(zhǔn)則下或軸向應(yīng)變下模型參數(shù)m，F(xiàn)0的統(tǒng)一表達(dá)式，即：

當(dāng)F為Drucker?Prager應(yīng)力準(zhǔn)則、Mohr?Coulomb應(yīng)力準(zhǔn)則或者軸向應(yīng)變時(shí)，有，則式（9）化簡為

同樣，當(dāng)σ2＝σ3＝0時(shí)，式（9）和式（10）即可化簡為單軸條件下巖石損傷模型參數(shù)的確定公式。

2．2．2 不同準(zhǔn)則下的F

在巖石領(lǐng)域中，常用的準(zhǔn)則有Drucker?Prager準(zhǔn)則、Mohr?Coulomb準(zhǔn)則和Hoek?Brown準(zhǔn)則，當(dāng)然對于損傷模型中F也可能是軸向應(yīng)變，現(xiàn)對基于這些準(zhǔn)則的損傷模型進(jìn)行簡單闡述。

當(dāng)F為軸向應(yīng)變或者其函數(shù)時(shí)，根據(jù)廣義Hook定律則有

當(dāng)采用Drucker?Prager準(zhǔn)則時(shí)，則微元強(qiáng)度F為

式中：α為與巖石內(nèi)摩擦角φ有關(guān)的常數(shù)；I1′和J2′分別為有損巖石的有效應(yīng)力的第一應(yīng)力不變量和第二偏應(yīng)力不變量。根據(jù)式（2）和式（5），則有

同樣，對于Hoek?Brown準(zhǔn)則，微元強(qiáng)度為

式中：σc為巖石單軸抗壓強(qiáng)度；m，s為巖體材料參數(shù)，取決于巖石性質(zhì)和破碎程度。

從上述可知，雖然Hoek?Brown準(zhǔn)則能較好地反映巖石的力學(xué)性質(zhì)，但其形式復(fù)雜，參數(shù)較多，且比較難確定，因此本文下面的分析將只針對前2種準(zhǔn)則以及軸向應(yīng)變函數(shù)（公式（12）中的第2個(gè)函數(shù)）。

3 考慮閾值和殘余強(qiáng)度的損傷模型

3．1 只考慮閾值的損傷模型

上述研究在考慮巖石微元強(qiáng)度時(shí)取得了較大的發(fā)展，但是其建立的損傷模型還存在著一定的不足，即認(rèn)為巖石一開始受載時(shí)就發(fā)生損傷，沒有考慮損傷起始點(diǎn)問題，有的研究認(rèn)為巖石損傷初始點(diǎn)在峰值點(diǎn)處，然而這與巖石損傷機(jī)制不符。文獻(xiàn)［21］認(rèn)為在屈服點(diǎn)附近，聲發(fā)射監(jiān)測到的微裂紋破裂的程度才開始增加，同時(shí)巖石的體積應(yīng)變值也開始增大，因此筆者認(rèn)為巖石的損傷閾值即為巖石的屈服點(diǎn)，則式（5）變?yōu)?/p>

式中Fs為屈服時(shí)的巖石微元強(qiáng)度值。式（17）即為巖石考慮閾值時(shí)的損傷統(tǒng)計(jì)模型。

3．2 考慮閾值和殘余強(qiáng)度的損傷模型

巖石在承受荷載作用時(shí)，尤其是同時(shí)受圍壓作用時(shí)，當(dāng)發(fā)生破壞時(shí)，其強(qiáng)度不是立即變?yōu)?，而是還有摩擦力作用產(chǎn)生的殘余強(qiáng)度。對于殘余強(qiáng)度的考慮，大多數(shù)研究的做法是引進(jìn)損傷變量修正參數(shù)或者初始損傷數(shù)，即

σi＝(1－δD )σi′ 。（18）

式中δ為損傷變量修正參數(shù)或者初始損傷數(shù)。δ的確定方法基本有兩類：第1類是通過不斷地改變δ值的大小來逐漸擬合巖石應(yīng)力－應(yīng)變曲線，第2類則是定義δ為不同圍壓下殘余強(qiáng)度與峰值強(qiáng)度比值的一次方或者1／2次方。對于第1類方法，雖然方法簡單，但求解正確的δ值比較繁瑣、困難，且其存在一個(gè)問題：當(dāng)δ＜1時(shí)，隨著應(yīng)變的增加，峰后應(yīng)力在減小，但達(dá)到一定的應(yīng)變值后，隨著應(yīng)變的增加，應(yīng)力反而一直地增加，且δ越小，應(yīng)力值增加的幅度越大，這與實(shí)際情況嚴(yán)重不符。第2類方法較好地解決了第1類方法的問題，但在某一特定圍壓下，隨著δ的增加，殘余強(qiáng)度卻在減小，峰值強(qiáng)度也在減小，且殘余強(qiáng)度減小的幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于峰值強(qiáng)度，這與δ的定義相違背。對此，本文提出了另一種方法：同樣引進(jìn)損傷變量修正參數(shù)，與式（18）相同，然而在求解模型參數(shù)時(shí)除考慮式（7）和式（8）之外，還需額外增加一個(gè)幾何條件，即

式中σu和εu分別為剛達(dá)到殘余強(qiáng)度時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變。聯(lián)立式（19）、式（7）、式（8）和式（5），可得不同應(yīng)力準(zhǔn)則下或軸向應(yīng)變下模型參數(shù)m，F(xiàn)0和δ的統(tǒng)一表達(dá)式，即

式（22）為一個(gè)隱式方程，需通過迭代來求解，當(dāng)δ為1時(shí)，式（20）和式（21）即為式（9）和式（10），δ值的大小沒有范圍，即可大于1，也可小于1。

在此基礎(chǔ)上再考慮損傷閾值，則式（17）變?yōu)槭剑?3）即為考慮殘余強(qiáng)度和損傷閾值的巖石損傷統(tǒng)計(jì)模型。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證與對比

為了驗(yàn)證該模型的合理性以及正確性，本文引用了文獻(xiàn)［18］中的巖石三軸圍壓作用下的壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中巖石的參數(shù)分別為：E為90 GPa，μ為0．25，內(nèi)摩擦角φ為31．3°，黏聚力為45．164 8 MPa?？梢缘贸霾煌瑖鷫合禄诓煌瑴?zhǔn)則的理論數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合情況，如圖2所示。

圖2　不同圍壓下基于各種準(zhǔn)則的理論數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合情況Fig．2 Comparison between experimental data and theoretical data based on various criterions under different confining pressures

從圖2可以看出Drucker?Prager準(zhǔn)則、Mohr?Coulomb準(zhǔn)則較軸向應(yīng)變函數(shù)更好地反映巖石的應(yīng)力應(yīng)變情況，特別是在圍壓較大時(shí)比較明顯；Druck?er?Prager準(zhǔn)則和Mohr?Coulomb準(zhǔn)則基本上擬合情況比較一致?？紤]到Drucker?Prager準(zhǔn)則較Mohr?Coulomb準(zhǔn)則可以考慮到靜水壓力以及中間主應(yīng)力的影響，以下的討論將只針對基于Drucker?Prager準(zhǔn)則的巖石微元強(qiáng)度。當(dāng)圍壓為13．8 MPa時(shí)，理論曲線最后得出的應(yīng)力與殘余強(qiáng)度相近；但圍壓為3．45 MPa時(shí)，各種理論曲線得出的應(yīng)力值都比試驗(yàn)曲線的殘余強(qiáng)度要小，而圍壓為27．6 MPa時(shí)，則得出了相反的結(jié)論，說明式（17）的損傷模型不能很好地反映巖石的殘余強(qiáng)度。同樣的，如果不考慮閾值的影響，即可得到損傷變量的變化過程如圖1所示，由于初始損傷小于0，顯然與實(shí)際不符，也說明式（5）的損傷模型同樣不能很好地反映巖石的力學(xué)性質(zhì)。因此下面將針對殘余強(qiáng)度與閾值的影響進(jìn)行驗(yàn)證。

利用式（20）、式（21）和式（22）可以算出不同圍壓下?lián)p傷模型的參數(shù)見表1。同樣根據(jù)表1可以得出不同圍壓下基于Drucker?Prager準(zhǔn)則的理論數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合情況，如圖3所示。

表1　考慮殘余強(qiáng)度不同圍壓下?lián)p傷模型的參數(shù)Table 1 Parameters of damage model under different confining pressures considering residual strength

圖3　不同圍壓下基于Drucker?Prager準(zhǔn)則的理論數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合情況（考慮殘余強(qiáng)度）Fig．3 Comparison between experimental data and theoretical data based on Drucker?Prager criterion under different confining pressures（in consideration of the residual strength）

從圖3中可以看出：在不同圍壓下考慮殘余強(qiáng)度的損傷模型比基于傳統(tǒng)Drucker?Prager準(zhǔn)則的損傷模型（不考慮殘余強(qiáng)度）更加接近于試驗(yàn)曲線；當(dāng)損傷變量修正系數(shù)δ＜1時(shí)，隨著應(yīng)變的增加，峰后應(yīng)力在減小，但達(dá)到一定的應(yīng)變值后，隨著應(yīng)變的增加，應(yīng)力反而一直增加，且δ越小，應(yīng)力值增加的幅度越大，正好驗(yàn)證了上述結(jié)論。

根據(jù)式（6），同時(shí)考慮閾值的影響，可求出巖石的損傷變量為

同樣根據(jù)式（23）求出巖石的損傷變量（包括修正系數(shù)，假設(shè)極限應(yīng)變即為殘余強(qiáng)度對應(yīng)的應(yīng)變）為

利用式（25）和（24）可得出損傷變量隨應(yīng)變變化的過程如圖4所示。以式（24）的損傷變量作為參考值，式（25）表示考慮殘余強(qiáng)度和閾值的損傷變量，圖中的Drucker?Prager準(zhǔn)則為基于Weibull分布，以傳統(tǒng)的Drucker?Prager準(zhǔn)則為巖石微元強(qiáng)度的損傷變量。從圖中可以知道，考慮殘余強(qiáng)度和閾值的損傷變量更加接近參考值，尤其是圍壓為13．8 MPa時(shí)的情況。

圖4　損傷變量隨應(yīng)變變化的過程（考慮殘余強(qiáng)度和閾值影響）Fig．4 Variation of damage variable with strain （in consideration of residual strength and threshold）

5 結(jié) 論

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，基于Weibull分布，綜合考慮了巖石殘余強(qiáng)度和損傷閾值的影響，從而建立了巖石損傷統(tǒng)計(jì)模型，并借用了前人的巖石試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證和對比，得出了以下結(jié)論：

（1）當(dāng)不考慮損傷閾值時(shí)，巖石在低荷載作用下，其損傷變量的值不在［0，1］之間，這與損傷變量的合理取值區(qū)間［0，1］相違背；隨著圍壓的增大，損傷變量也相應(yīng)地增大，說明了巖石的損傷存在著一個(gè)閾值，而且是與應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)。

（2）為綜合考慮巖石殘余強(qiáng)度和損傷閾值的影響，本文提出的損傷模型中含有3個(gè)未知數(shù)m，F(xiàn)0，δ，通過采用極值特性的理論導(dǎo)出了這3個(gè)模型參數(shù)的統(tǒng)一求解式，從而很好地解決了前人因引進(jìn)損傷變量修正參數(shù)而產(chǎn)生的問題。

（3）本文所提出的損傷模型雖很好地解決了巖石的殘余強(qiáng)度和損傷閾值問題，然而該模型是基于線彈性理論，并不能反映巖石的塑性變形，因此巖石的彈塑性損傷統(tǒng)計(jì)模型將是筆者以后需要研究的問題。

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（編輯：趙衛(wèi)兵）

Statistical Constitutive Model of Elastic Damage for Rock Considering Residual Strength and Threshold

ZHOU Yong?qiang1，2，SHENG Qian1，2，LENG Xian?lun1，2，3，F(xiàn)U Xiao?dong1，2，LI Long?fei1，2
（1．Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430071，China；2．State Key Laboratory of Geo?mechanics and Geo?technical Engineering，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430071，China；3．Hunan Provincial Key Laboratory of Key Technology on Hydropower Development，Changsha 410014，China）

Abstract：Based on the statistical theory and damage theory，we establish a statistical damage model under triaxial compression in consideration of residual strength and damage threshold of rock．On the basis of the damage model presented，as well as extreme characteristics of stress?strain relationship at low confining pressure，we derive a uni?fied solution of mechanical parameters of the model．In comparison with the experimental data，we discover that mi?cro?unit strength of rock based on Drucker?Prager criterion or Mohr?Coulomb criterion is better than axial strain in reflecting rock mechanical properties，which shows that the failure and extension of rock is closely relevant with stress state．Then，in light of residual strength of rock，we introduce correction factor of damage variable and pro?pose a new method for solving the factor．The results show that，data from theoretical curve in the damage model is in correspondence with experimental data；by using stress yield point as damage threshold point，we can avoid the situation that value of damage factor is not in the interval from 0 to 1 at low loading．Finally，through analyzing the changing process of rock damage variable，we conclude that the damage model can well reflect the stress?strain rela?tionship of rock under triaxial compression．

Key words：rock mechanics；Weibull distribution；correction factor；threshold；residual strength；stress?strain rela?tionship

作者簡介：周永強(qiáng)（1990－），男，江西南昌人，博士研究生，主要從事巖土工程領(lǐng)域的科研工作，（電話）13554656059（電子信箱）852538607＠qq．com。

基金項(xiàng)目：國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973）項(xiàng)目（2015CB057905）；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目集成項(xiàng)目（91215301）；水能資源利用關(guān)鍵技術(shù)湖南省省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金（PKLHD201304）

收稿日期：2014－10－08；修回日期：2014－11－10

中圖分類號：TU45

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001－5485（2016）03－0048－06