改進(jìn)的Fisher最優(yōu)分割法在汛期分期中的應(yīng)用

李 俊，武鵬林(太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院，太原 030024)

0 引 言

在汛期分期的基礎(chǔ)上，制定各分期的汛限水位，以制定汛期內(nèi)各個(gè)時(shí)期調(diào)度方案，使水庫(kù)汛后的蓄滿(mǎn)率得到提升，是實(shí)現(xiàn)洪水資源化的重要手段，更可以進(jìn)一步使防洪與興利相結(jié)合，增加水庫(kù)的效益。

傳統(tǒng)的汛期分期方法有數(shù)理統(tǒng)計(jì)法，模糊集合分析法等[1]，他們具有考慮因素單一、主觀(guān)性強(qiáng)的缺點(diǎn)，而Fisher最優(yōu)分割法在綜合考慮多個(gè)因子的作用的同時(shí)又能保持樣本的時(shí)序性，并能夠確定最優(yōu)分類(lèi)數(shù)目[2],因此Fisher相對(duì)傳統(tǒng)方法具有一定的優(yōu)越性?？紤]到各指標(biāo)對(duì)樣本的重要程度不同，把各個(gè)指標(biāo)的權(quán)重通過(guò)主成分分析法計(jì)算出來(lái)，改進(jìn)Fisher最優(yōu)分割法，使其能夠更加合理地考慮汛期分期的各個(gè)影響因子的重要程度，從而獲得一個(gè)更加符合實(shí)際的分期結(jié)果。以吳城水庫(kù)為例，本文使用該改進(jìn)的方法對(duì)吳城水庫(kù)汛期進(jìn)行劃分，并與模糊集合分析法[3]進(jìn)行比較。

1 主成分分析法計(jì)算步驟

由于汛期分期是多指標(biāo)的有序聚類(lèi)分析，而各指標(biāo)對(duì)樣本分類(lèi)的重要程度不同，因此首先采用主成分分析法計(jì)算各指標(biāo)權(quán)重。

1.1 計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣

構(gòu)造樣本陣X：

式中：xij為第i個(gè)樣本中第j個(gè)指標(biāo)的值。

對(duì)樣本陣X做標(biāo)準(zhǔn)化，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)化陣Y：

由于汛期分期中各指標(biāo)特征值為適度指標(biāo)，因此采用下式對(duì)樣本陣X進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化[4]：

(1)

標(biāo)準(zhǔn)矩陣Y的相關(guān)系數(shù)矩陣的計(jì)算：

(2)

1.2 計(jì)算特征值與特征向量

1.3 計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率

主成分Fi的貢獻(xiàn)率為：

(3)

累計(jì)貢獻(xiàn)率為：

(4)

當(dāng)λk對(duì)應(yīng)的累計(jì)貢獻(xiàn)率大于或等于85%時(shí)，則其有k(k≤m)個(gè)與λ1,λ2,…,λk對(duì)應(yīng)的主成分。

1.4 計(jì)算主成分載荷

主成分載荷反映主成分Fi和各指標(biāo)之間的相關(guān)程度，各指標(biāo)在各主成分Fi(i=1,2,…,k)上的載荷lij為：

(5)

通過(guò)(5)式得到lij，接著通過(guò)(6)式得到各主成分的線(xiàn)性模型：

Fi=e1iX1+e2iX2+…+emiXm(i=1,2,…,k)

(6)

這樣，綜合得分模型為[5]：

其中，ai反映了各指標(biāo)變量在主成分中的綜合重要度。

由此，得各指標(biāo)變量的權(quán)重為：

(8)

2 Fisher最優(yōu)分割法

Fisher最優(yōu)分割法作為對(duì)有序時(shí)間樣本序列進(jìn)行聚類(lèi)劃分的方法，其分期依據(jù)是使樣本總離差平方和最小，并以類(lèi)內(nèi)部差異最小，類(lèi)間差異最大為原則。汛期分期屬于聚類(lèi)分析，而聚類(lèi)分析又分為有序樣本聚類(lèi)分析與非有序樣本聚類(lèi)分析，F(xiàn)isher最優(yōu)分割法作為有序樣本的聚類(lèi)方法，其最優(yōu)解是使分成各組總的離差平方和最小，而所有可能的分類(lèi)中都保持了樣本的時(shí)間連續(xù)性(換而言之，如果有一種分類(lèi)破壞了樣本的時(shí)間連續(xù)性，即使其總的離差平方和再小，這些組合在Fisher分割法中也是不予以考慮的)，正是這種特性使得Fisher最優(yōu)分割法能夠保持樣本的時(shí)間連續(xù)性。

2.1 數(shù)據(jù)處理

在有序樣本{X1，X2,…,Xn}中，每一個(gè)樣本都對(duì)應(yīng)m項(xiàng)指標(biāo)，則可得以下矩陣X(xij為第i個(gè)樣本的第j項(xiàng)指標(biāo)的指標(biāo)值)：

為了消除物理尺寸的影響，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行以下轉(zhuǎn)化：

(9)

式中：x′ij為標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)量值；xmax,,j為第j列的最大值。

同時(shí)根據(jù)各個(gè)指標(biāo)的權(quán)重，加權(quán)平均后得到向量Y，并以Y為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)進(jìn)行汛期分期，Y可由下式求得：

(10)

2.2 定義類(lèi)直徑

(11)

設(shè)D(i,j)表示Q的直徑，則可以通過(guò)下式計(jì)算出D(i,j)：

(12)

2.3 定義目標(biāo)函數(shù)

設(shè)將n個(gè)有序時(shí)間數(shù)據(jù)分為k類(lèi)，則定義I(n，k)為其中一種分法，其可由下式進(jìn)行計(jì)算：

(13)

根據(jù)Fisher分割法的劃分原則，可得出當(dāng)I(n，k)最小時(shí)對(duì)應(yīng)的分法可以滿(mǎn)足Fisher的劃分原則，所以可以通過(guò)下式定義目標(biāo)函數(shù)：

I*(n,k)=minI(n,k)

(14)

2.4 最優(yōu)分割的推求過(guò)程

有以下定理：有序時(shí)間數(shù)據(jù)樣本的最優(yōu)k類(lèi)分割，必須由最佳的k-1類(lèi)分割在其某一個(gè)截尾子部分添加一個(gè)類(lèi)組成。

遞推公式表達(dá)為：

k=2時(shí)，

(15)

k>2時(shí)，

(16)

如果要把有序時(shí)間序列分成k類(lèi)，先找出分割點(diǎn)ik，使得由遞推公式計(jì)算出的I*(n，k)最小，則{yik，yik+1，…，yn}為第k類(lèi)，然后再找分割點(diǎn)ik-1，使得I*(ik-1，k-1)最小，則同樣可得第k-1類(lèi)，即{yik-1，yik-1+1，…，yik-1}，依照同樣的方法可以找出所有最優(yōu)分類(lèi)點(diǎn)。

2.5 最優(yōu)分段數(shù)k的確定

通常I*(ik，k)～k曲線(xiàn)的拐點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的k為最優(yōu)分段數(shù)，即最優(yōu)分類(lèi)數(shù)，或者計(jì)算：

γ(k)=|I*(n,k)-I*(n,k-1)|

(17)

后與k繪制γ(k)～k曲線(xiàn)， 最大所對(duì)應(yīng)的k也是最優(yōu)分段數(shù)。

3 實(shí)例分析

吳城水庫(kù)位于中陽(yáng)縣的東川河上，流域?qū)侔敫珊档貐^(qū)，氣候特征為：干旱少雨，氣候寒冷，降雨集中于7-9月。多年平均降水量為472 mm，時(shí)間和空間上分配不均勻，各年雨量差異大，全年降水量的70%都來(lái)自汛期。

3.1 指標(biāo)選取

本文的基本資料為吳城水庫(kù)1955-2007年(2001-2005 年未測(cè))48 a的逐日降雨資料。研究的時(shí)間域?yàn)榧榷ǖ?-9月，以旬為基本單位，在吳城水庫(kù)控制流域內(nèi)，選取能體現(xiàn)汛期的暴雨洪水變化規(guī)律的4個(gè)影響因子：多年旬平均降雨量、多年旬平均最大3 d雨量、多年大雨天數(shù)(降雨大于25 mm為大雨)、多年旬平均Cv值。

3.2 指標(biāo)權(quán)重的確定

為了消除各指標(biāo)物理尺度的影響，因此根據(jù)式(1)對(duì)樣本指標(biāo)進(jìn)行處理，然后用SPSS軟件對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析，經(jīng)分析可得表1及表2。

由表1可知，主成分1和2特征累積方差貢獻(xiàn)率達(dá)到85.756%，超過(guò)85%。因此，前兩個(gè)主成分能反映各項(xiàng)指標(biāo)的絕大部分信息。

表1 解釋的總方差Tab.1 Total variance explained

表2 成分矩陣Tab.2 Component matrix

根據(jù)式(5)可以得出樣本各指標(biāo)在主成分線(xiàn)性組合中的系數(shù)，再由(6)、(7)得到綜合得分模型為：

F=0.373ω1+0.382ω2+0.421ω3+0.354ω4

(18)

根據(jù)式(8)求得各指標(biāo)的權(quán)重為ω=(ω1,ω2,ω3,ω4)=(0.232,0.275,0.250,0.243)。

3.3 Fisher汛期分期

將求得的各指標(biāo)權(quán)重系數(shù)代入式(10)，求得向量Y，由式(11)和式(12)計(jì)算各種組合的類(lèi)直徑，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 各類(lèi)分段直徑D(i，j)Tab.3 The diameter of all kinds of section D(i，j)

目標(biāo)函數(shù)I*(n,k) 通過(guò)式(15)和式(16)求得，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。

由式(17)計(jì)算出γ(k)，然后分別繪制I*(ik，k)～k、γ(k)～k曲線(xiàn)，分別見(jiàn)圖1、圖2。

由圖1得，曲線(xiàn)在k=3處出現(xiàn)拐點(diǎn)，以此同時(shí)k=3時(shí)，γ(k)最大，所以分三類(lèi)最優(yōu)，由表4查得3個(gè)分類(lèi)分別為1-3月,4-9月,10-12月，即6月1日-6月30日為前汛期，7月1日-8月31日為主汛期，9月1號(hào)-9月30日為后汛期。

4 成果分析

4.1 基于模糊集合分析法的汛期分期

本文采用模糊集合分析法[6]對(duì)吳城水庫(kù)的汛期進(jìn)行模糊分析，同時(shí)算出吳城水庫(kù)汛期模糊集合的隸屬度，見(jiàn)表5。

如果以隸屬度大于0.5對(duì)應(yīng)的時(shí)間作為汛期的話(huà)，由表5

表4 分類(lèi)目標(biāo)函數(shù)I*(n, k)計(jì)算結(jié)果Tab.4 The calculation results of objective function I*(n, k)

注：斜線(xiàn)后的數(shù)字為當(dāng)前分類(lèi)情況下，第k類(lèi)的與第k-1類(lèi)的分割點(diǎn)ik。

圖1 I*(ik,k)～k關(guān)系圖Fig.1 The relation between I*(ik,k) and k

圖2 γ(k)～(k)關(guān)系圖Fig.2 The relation between γ(k) and k

表5 吳城水庫(kù)汛期經(jīng)驗(yàn)隸屬度Tab.5 Flood experience membership of Wucheng Reservoir

可以得到以下分期結(jié)果：

前汛期：6月1日至7月1日；主汛期：7月2日至9月3日；后汛期：9月4日至9月30日。為了便于比較把兩種方法的分期結(jié)果見(jiàn)表6。

表6 結(jié)果比較表Tab.6 Results of comparison

4.2 兩種結(jié)果比較

從以上的分析可以看出兩種方法的劃分結(jié)果一致，都能很好地反映出吳城水庫(kù)的暴雨洪水變化特點(diǎn)。但是模糊集合分析法在閾值選取方面多數(shù)依靠經(jīng)驗(yàn)選取，主觀(guān)性強(qiáng)，相對(duì)而言Fisher最優(yōu)分割法比較客觀(guān)，因此說(shuō)明了Fisher最優(yōu)分割法可信，符合實(shí)際。

5 結(jié) 語(yǔ)

為了克服以往把各指標(biāo)的權(quán)重看作相等的不足，本文利用主成分分析法計(jì)算各項(xiàng)指標(biāo)權(quán)重以改進(jìn)Fisher最優(yōu)分割法，利用該改進(jìn)的Fisher最優(yōu)分割法對(duì)吳城水庫(kù)控制流域進(jìn)行汛期分期，并與模糊集合分析法的結(jié)果進(jìn)行比較。通過(guò)分析我們發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)isher最優(yōu)分割法適用于汛期分期，能使分期結(jié)果更加符合實(shí)際。

本文也存在很多不足：本文以旬為單位進(jìn)行劃分會(huì)人為打斷水文的連續(xù)性，如果能使劃分單位小一些，則可以使劃分結(jié)果更加接近實(shí)際。由于資料有限，所以有一些指標(biāo)也沒(méi)能收集到，如能收集到逐日徑流資料，則可以擁有更多關(guān)于吳城水庫(kù)的暴雨洪水變化特點(diǎn)的信息，使分期更加科學(xué)。

□

[1] 喻 婷，郭生練，劉 攀，等. 水庫(kù)汛期分期方法研究及其應(yīng)用[J].中國(guó)農(nóng)村水利水電，2006，(8)：24-26, 56.

[2] 劉克琳，王銀堂，胡四一，等. Fisher最優(yōu)分割法在汛期分期中的應(yīng)用[J].水利水電科技進(jìn)展，2007，27(3)：14-16, 37.

[3] 陳守煜. 工程水文水資源系統(tǒng)模糊集分析理論與實(shí)踐[M]. 遼寧大連：大連理工大學(xué)出版社，1998..

[4] 焦立新. 評(píng)價(jià)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化處理方法的探討[J]. 安徽農(nóng)業(yè)技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，13(3)：7-10.

[5] 韓小孩，張耀輝，孫福軍，等. 基于主成分分析的指標(biāo)權(quán)重確定方法[J].四川兵工學(xué)報(bào)，2012，33(10)：124-126.

[6] 孫等平. 吳城水庫(kù)汛期分期調(diào)度研究與應(yīng)用[J].水利水電技術(shù)，2012，43(7)：109-112.