考慮參數(shù)不確定的區(qū)域水資源配置魯棒優(yōu)化模型研究

王 彪，吳鑫淼，郄志紅(河北農(nóng)業(yè)大學城鄉(xiāng)建設(shè)學院，河北 保定 071001)

區(qū)域水資源的優(yōu)化配置是在可利用總水量有限的前提下，綜合考慮社會、經(jīng)濟、環(huán)境的協(xié)調(diào)發(fā)展，發(fā)揮總水量最大的效益，實現(xiàn)最優(yōu)化調(diào)度，而得到水量最優(yōu)分配方案，達到人水和諧，實現(xiàn)水資源的可持續(xù)利用和經(jīng)濟社會的可持續(xù)發(fā)展，是典型的非線性多目標優(yōu)化問題[1-3]。

傳統(tǒng)水資源優(yōu)化配置，對目標函數(shù)求解時，往往所考慮的優(yōu)化配置參數(shù)是確定的，但這些參數(shù)在實際情況下不是一成不變的，如：單方水產(chǎn)量、糧食價格、萬元產(chǎn)值需水量等，假定這些參數(shù)變化規(guī)律服從一定的隨機分布，故參數(shù)的變化必然導致優(yōu)化結(jié)果的不穩(wěn)定；另外，傳統(tǒng)遺傳算法在全局離散優(yōu)化方面的優(yōu)越性廣為所知，但進化過程中容易逐漸喪失種群多樣性，產(chǎn)生早熟現(xiàn)象[4,5]，從而影響優(yōu)化效率和精度。近幾年人們提出的病毒進化遺傳算法加設(shè)病毒種群可有效改善種群多樣性，提高遺傳算法的全局搜索能力，從而避免這種現(xiàn)象[6]。故此，本文應(yīng)用病毒進化遺傳算法求解區(qū)域水資源優(yōu)化配置問題，而在求解的魯棒性方面，則通過在優(yōu)化目標中添加方案的魯棒性評價優(yōu)化性能的辦法。

1 區(qū)域水資源優(yōu)化配置模型

水資源配置一般為多目標優(yōu)化問題，這里通過加權(quán)的方法，即：基于區(qū)域水資源應(yīng)用現(xiàn)狀及可持續(xù)發(fā)展的要求，把區(qū)域供水產(chǎn)值之和與糧食產(chǎn)量這兩個目標，分別乘以w1、w2的權(quán)重后相加，作為綜合優(yōu)化目標，以區(qū)域重要污染物(COD)排放量、水源供水總量及各用戶需水量要求作為約束條件，建立了如下水資源優(yōu)化配置模型，具體為：

(1)經(jīng)濟子目標。

(1)

為清除量綱影響，將目標進行歸一化：

(2)

則歸一化后目標為：

(3)

式中：n為水源個數(shù)；m為工業(yè)、農(nóng)業(yè)及居民生活等用水戶個數(shù)；Xij為水源i供給j用戶的水量，萬m3；bij為水源i向j用戶的單位供水量的效益系數(shù)，元/m3；cij為水源i對j用戶的單位供水量的成本系數(shù)，元/m3；maxbi為i用戶的最大單方用水效益，元/m3；minci為i用戶的最小單方用水成本，元/m3；maxXi為i用戶的最大用水量，萬m3。

(2)社會子目標。

(4)

為清除量綱影響，將目標進行歸一化：

maxf22(X)=maxX·maxF

(5)

則歸一化后目標為：

(6)

式中：Xi1為各水源供農(nóng)業(yè)的用水量，萬m3；F為每萬方水糧食產(chǎn)量，萬t/萬m3；maxX為水源供給用戶的最大水量，萬m3；maxF為每萬方水最大糧食產(chǎn)量，萬t/萬m3。

(3)綜合目標。

f(X)=w1f1(X)+w2f2(X)

(7)

式中：f1(X)為轉(zhuǎn)化之后的經(jīng)濟目標；f2(X)為轉(zhuǎn)化之后的社會目標。

約束條件：

(1)重要污染物COD的排放量約束[7]：

(8)

式中：dj為j用戶的單位廢水排放量中重要污染物COD的含量，mg/L；pj為j用戶廢水排放率；[COD]為COD排放的允許最大值，t。

(2)水源可供水量約束：由于本地區(qū)缺水，考慮了水量完全分配，所以本公式定義為等式約束：

(9)

式中：Wi表示水源i的可供水量，萬m3。

(3)用戶需水量約束：

(10)

式中：Lj、Hj分別為用戶j的最小、最大需水量，萬m3。

(4)非負約束：

Xij≥0

(11)

2 病毒進化遺傳算法的具體實現(xiàn)

2.1 病毒進化遺傳算法

病毒進化遺傳算法是1996年日本教授 Kubota從生物病毒進化系統(tǒng)中改進而來的一種遺傳算法，是一種協(xié)同進化算法。與傳統(tǒng)遺傳算法相比最主要特點是有兩個群體：主群體和病毒群體，既能進行全局搜索，在父子代群體間縱向傳遞繼承信息；又能進行局部搜索，在同一群體中橫向傳播進化。因此，病毒進化遺傳算法具有更快的收斂速度，更好的優(yōu)化效果[8]。

病毒進化基本步驟如下：

(1)確定病毒的編碼方式和參數(shù)集合。編碼方式一般與主群體相同，參數(shù)集合包括病毒種群個體數(shù)VINU、病毒染色體長度LONG、病毒染色體最大長度MAXLONG、病毒感染率infrate、病毒感染率調(diào)整系數(shù)A、病毒適應(yīng)值fitvirus、病毒生命力life、生命力折減系數(shù)decay等。

(2)從主群體中隨機抽取個體q，從個體q中隨機抽取長度為LONG的基因作為病毒基因，重復操作VINU次，構(gòu)成初始病毒數(shù)據(jù)庫VE[VINU]、virus[LONG]。

(3)以感染率infrate對宿主群進行感染操作，并記錄每個病毒個體的宿主VE[i].hostnum，以及病毒感染前后宿主的適應(yīng)度VE[i].fithost[0]、VE[i].fithost[1]。

(4)計算病毒個體適應(yīng)度、感染率及生命力。

VE[i].fitvirus=VE[i].fithost[1]-VE[i].fithost[0]

如果VE[i].fitvirus>0 ，表示宿主個體被感染后適應(yīng)度有所提高，則病毒i個體的感染率有所提高，即：

VE[i].infrate=(1+A)×VE[i].infrate

如果VE[i].fitvirus < 0 ，表示宿主個體被感染后適應(yīng)度有所降低，則病毒i個體的感染率有所降低，即：

VE[i].infrate=(1-A)×VE[i].infrate

病毒感染后生命力等于原病毒生命力折減以后與病毒適應(yīng)度之和，即：

VE[i].life=decay×VE[i].life+VE[i].fitvirus

(5)當VE[i].fitvirus>0說明病毒基因為優(yōu)良基因，增加病毒基因長度；當VE[i].fitvirus<0 說明病毒基因為不良基因，減小病毒基因長度。VE[i].life<0 病毒生命力為0，重新生成病毒基因，更新病毒基因庫。

(6)本次病毒感染操作完成，判斷是否達到進化代數(shù)，未達到則進入步驟(3)；達到則進入步驟(7)。

(7)完成。

2.2 染色體編碼

染色體編碼方式在一定程度上決定算法效率的高低和程序設(shè)計的復雜程度[9]。由于本模型涉及到多水源供水的情況，如果采用傳統(tǒng)的隨機分配各用戶的水量對染色體編碼，會出現(xiàn)遺傳個體不滿足水源供水總量要求的問題。因此，本文提出了采用配水系數(shù)對染色體編碼，并通過配水系數(shù)的歸一化處理使遺傳操作的每一代個體均滿足優(yōu)化模型中約束條件(2)的要求，避免了不滿足條件個體的重新生成，提高了優(yōu)化效率。圖1為染色體DNA結(jié)構(gòu)，采用十進制方式編碼。通過對張家口市來水及需水情況調(diào)查，確定3個供水水源分別為地表水、地下水和其他水源；用水戶分別為農(nóng)業(yè)、工業(yè)、農(nóng)村居民生活和城鎮(zhèn)居民生活用水。

x11x12x13x14x21x22x23x24x31x32x33x34

圖1染色體DNA結(jié)構(gòu)

配水系數(shù)都是0～7的隨機數(shù)xij，直接用其換算分配水量值，同樣會出現(xiàn)用戶分得的水量總和與水源供水量不等的情況，因而對配水系數(shù)做歸一化處理，再用歸一化后的配水系數(shù)乘以相應(yīng)水源的供水量得到分配的水量值Xij，作為評價函數(shù)的決策變量。

同一水源配水系數(shù)的歸一化并換算成分配給j用戶的水量計算公式為：

(12)

2.3 選擇滿足約束條件染色體的方法

對初始生成的染色體不滿足本地區(qū)重要污染物COD的排放量約束、用戶需水量約束的，重新生成染色體。對種群中滿足約束條件的染色體，如重要污染物COD的排放量在規(guī)定范圍內(nèi)的，提升染色體適應(yīng)度、當分配的用水量滿足用戶需求的，再次提升染色體適應(yīng)度；不滿足約束條件的適應(yīng)度不提升。通過提升適應(yīng)度的方法對染色體進行獎勵，來選擇優(yōu)秀的染色體用于遺傳。

2.4 算法改進——引入染色體年齡結(jié)構(gòu)評價

本文引入年齡的概念來對每個染色體進行評價，該年齡是指染色體被延續(xù)的代數(shù)。個體年齡越高，則代表其在用水成本、效益以及單方用水產(chǎn)生的污染物質(zhì)等參數(shù)不確定性的條件下能保存下來，說明其適應(yīng)性越強，具有較好的魯棒性。子代年齡增加概率定義為：

P=f(D,σ)

式中：D為子代與父代的距離，用不同基因的個數(shù)表示；σ為子代與父代距離的標準差，指子代與父代距離與本代平均水平的差距。

加入年齡結(jié)構(gòu)后，適應(yīng)度函數(shù)如下：

式中：g(yj)為子代個體j的適應(yīng)度；dj為子代個體j的年齡；g(pj)為子代個體j的父代個體的適應(yīng)度。

2.5 病毒進化遺傳算法程序

實現(xiàn)過程描述如圖2。

圖2 病毒進化遺傳算法程序

3 實例分析

利用病毒進化遺傳算法及上述模型對河北省張家口市中長期規(guī)劃年2020年和2030年的水資源進行優(yōu)化配置。表1為張家口市水資源預(yù)測結(jié)果。該市屬于干旱半干旱地區(qū)，水資源短缺，為滿足用戶的需水要求及經(jīng)濟社會發(fā)展需求，對區(qū)域的各個水源進行了完全分配。

表1 不同規(guī)劃年水源可供水量 萬m3Tab.1 Water supply of different planning years

本文水資源優(yōu)化配置的目的就是合理的分配有限的水資源，達到綜合效益最優(yōu)。

遺傳參數(shù)的選擇：取種群大小NUM=300；染色體編碼長度GENE=12；最大進化代數(shù)maxgen=200。區(qū)域的水資源優(yōu)化配置結(jié)果(見表2)，其中包括在考慮參數(shù)不確定和不考慮參數(shù)不確定兩種情況。為進一步比較兩種情況下對區(qū)域水資源的優(yōu)化效果，將成本系數(shù)、效益系數(shù)和糧食產(chǎn)量系數(shù)進行1 000次蒙特卡羅模擬，根據(jù)結(jié)果畫出概率分布圖(見圖3)，并分別計算概率分布的均值及方差(見表3)。

由圖3可看出，2020年中考慮參數(shù)不確定的綜合目標值的概率分布曲線[圖3(a)]比不考慮參數(shù)不確定的綜合目標值的概率分布曲線[圖3(b)]中間部分集中、兩邊分布均勻且均值在0.8～1之間；2030年中考慮參數(shù)不確定的綜合目標值的概率分布曲線[圖3(c)]比不考慮參數(shù)不確定的綜合目標值的概率分布曲線[圖3(d)]兩邊分布均勻、中間區(qū)間值的個數(shù)多且曲線的均值大。由表3的數(shù)據(jù)可以驗證以上得出的結(jié)論，圖3(b)方差0.007 5大于圖3(a)圖0.007 2，說明圖3(b)較離散，綜合目標值波動大；圖3(a)均值0.856 0大于圖3(b)0.720 2，說明a圖的綜合目標值較大。對比2030年的圖3(c)和圖3(d)，也會得出相似結(jié)論。

表2 兩種情況下水資源優(yōu)化配置結(jié)果 萬m3Tab.2 Two kinds of water resources optimal allocation results

圖3 兩種情況下目標值的正態(tài)分布圖

表3 兩種情況下目標值的均值和方差的比較Tab.3 Comparison of mean and variance of target values in two cases

4 結(jié) 論

(1)本文運用病毒進化遺傳算法來對水資源優(yōu)化配置中考慮參數(shù)不確定的優(yōu)化模型進行求解，并通過實例分析驗證了該算法具有可行性和魯棒性，表明該方法實現(xiàn)了對水資源的優(yōu)化配置。

(2)體現(xiàn)了運用該思想和算法得出的優(yōu)化配置結(jié)果具有實用性和正確性，結(jié)果可以為區(qū)域水資源可持續(xù)利用和規(guī)劃管理的決策提供參考依據(jù)。

(3)雖然本文旨在考慮參數(shù)波動符合正態(tài)分布的情況下對區(qū)域水資源進行優(yōu)化配置，參數(shù)選取也會有所局限，但為進一步解決多水源、多用戶、多約束的水資源優(yōu)化配置問題提供了新思路、新方法。

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