光纖陀螺隨機(jī)誤差特性ThêoH辨識

徐東升，陸　明，賈長治，康海英（1.解放軍理工大學(xué)野戰(zhàn)工程學(xué)院，南京10007；.軍械工程學(xué)院火炮工程系，石家莊050003）

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光纖陀螺隨機(jī)誤差特性ThêoH辨識

徐東升1，2，陸明1*，賈長治2，康海英2
（1.解放軍理工大學(xué)野戰(zhàn)工程學(xué)院，南京210007；2.軍械工程學(xué)院火炮工程系，石家莊050003）

摘要：隨機(jī)誤差特性分析是光纖陀螺進(jìn)入工程應(yīng)用階段的關(guān)鍵技術(shù)。針對Allan方差、總方差、Thêo1 （Theoretical variance #1）等分析方法的不足，以Thêo1為基礎(chǔ)，通過偏差消除獲得ThêoBR（Bias-removed ver?sion of Thêo1），并將其與Allan方差合成，得到光纖陀螺隨機(jī)誤差特性分析的ThêoH（Hybrid-ThêoBR）法。通過計算重疊Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH的等效自由度，結(jié)合仿真和實測信號的隨機(jī)誤差特性分析實驗，證明ThêoH法不僅提高了Allan方差估計的置信度，且解決了Thêo1估計有偏的問題，表明了該方法是目前能夠有效辨識光纖陀螺隨機(jī)誤差特性的最佳方法。

關(guān)鍵詞：光纖陀螺；隨機(jī)誤差；ThêoH；無偏估計

光纖陀螺具有體積小、功耗低、無機(jī)械運(yùn)動部件等優(yōu)點(diǎn)，在導(dǎo)航控制等多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景，因此受到世界各國的高度重視。目前，中低精度的光纖陀螺已經(jīng)獲得了廣泛應(yīng)用，而高精度光纖陀螺的推廣還存在一些關(guān)鍵技術(shù)亟待突破，其中最突出的問題是存在很多難以解決的確定性誤差和隨機(jī)誤差。為了減小光纖陀螺的誤差提高精度，需要建立系統(tǒng)誤差模型補(bǔ)償確定性誤差，并對光纖陀螺隨機(jī)特性進(jìn)行評價，辨識出影響其精度的主要隨機(jī)誤差項，進(jìn)而采取適當(dāng)措施控制其噪聲水平［1］。

根據(jù)IEEE標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于光纖陀螺隨機(jī)誤差的定義，光纖陀螺隨機(jī)誤差主要包括量化噪聲、角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、速率隨機(jī)游走以及速率斜坡等能量譜密度相互獨(dú)立的5類噪聲項，其經(jīng)典的辨識方法包括自回歸滑動模型（ARMA）、功率譜密度法以及Allan方差法［2］。其中，ARMA在噪聲較大時模型精度會受到一定的影響；功率譜密度法分析時，不同噪聲項的功率譜密度對數(shù)曲線可能相似度較高，從而難以區(qū)分［3］；而Allan方差法是在時域分析頻域穩(wěn)定性的方法，應(yīng)用于光纖陀螺隨機(jī)誤差辨識效果較好且實用性很強(qiáng)，因此被IEEE推薦為進(jìn)行光纖陀螺隨機(jī)誤差特性辨識的方法。Allan方差法也存在一定的不足，其主要問題是：當(dāng)平滑因子較大時，該方法辨識結(jié)果置信度較差。一般要求在進(jìn)行Allan方差計算時，其平滑時間應(yīng)小于總采樣時間的20%。當(dāng)采樣數(shù)據(jù)時間較短時，不宜采用Allan方差進(jìn)行辨識。為此，在Allan方差的基礎(chǔ)上發(fā)展了總方差以及Thêo1等辨識方法?？偡讲詈蚑hêo1法大幅提高了估計值的置信度，但總方差法映射延伸采樣數(shù)據(jù)的同時也造成了數(shù)據(jù)的不連續(xù)性，致使其估計是有偏的，且延伸的數(shù)據(jù)是人為給定的，有時不能真實反映被測系統(tǒng)的特性，因此存在不可避免的缺陷；而Thêo1將平滑時間乘以3/4進(jìn)行采樣，其估計也是有偏的［4-5］。針對這一情況，本文引入ThêoBR消除Thêo1與Allan方差之間的偏差，并將其與Allan方差合成得到ThêoH，利用該方法分析光纖陀螺隨機(jī)誤差特性既能保持較高的估計值置信度，且為無偏估計，因此將具有良好的辨識效果。

1　Allan方差、總方差及Thêo1

1.1Allan方差

假設(shè)某一光纖陀螺輸出的角速率采樣信號數(shù)據(jù)序列為{yi，i=1，2，…，N}，采樣間隔時間為t0，將該數(shù)據(jù)序列劃分為k組，每組m個采樣點(diǎn)，即m=N/k，定義

則Allan方差為［6］：

Allan方差與光纖陀螺隨機(jī)誤差的功率譜密度Sy（f）之間的存在確定的轉(zhuǎn)換關(guān)系［7］

因此，Allan方差估計是無偏的，在進(jìn)行光纖陀螺隨機(jī)特性分析時，通過計算其Allan方差，繪制Allan方差和相關(guān)時間（σ（t）~t）的雙對數(shù)曲線圖，從而辨識出光纖陀螺的不同隨機(jī)誤差項，進(jìn)一步對雙對數(shù)該曲線進(jìn)行擬合，可以求取各誤差項的系數(shù)。Allan方差的估計值可以看作是一組決定于劃分組數(shù)k的隨機(jī)變量，因此隨著相關(guān)時間τ增大，劃分的組數(shù)減少，Allan方差估計值的置信度降低，其1σ的百分比誤差E可以表述為

式中，N為數(shù)據(jù)長度，m為劃分的數(shù)據(jù)組數(shù)。

為了減小Allan方差估計的誤差，一般在進(jìn)行Allan方差分析時，采用重疊采樣進(jìn)行估計，重疊采樣Allan方差定義為［7-8］：

式中，N、m等參數(shù)代表的物理意義與式（1）和式（2）中相同。

重疊采樣Allan方差通過最大限度形成所有平滑時間為mt0的子序列，充分利用已有采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，提高了估計值的置信度，因此在進(jìn)行Allan方差分析時，一般采用重疊Allan方差進(jìn)行估計。

1.2總方差

對應(yīng)Allan方差中對原始數(shù)據(jù)序列的假設(shè)，按如下方式進(jìn)行擴(kuò)展，產(chǎn)生延伸序列{y#i，i=1，2，…，N}，其中

對于延伸后的序列，總方差定義為［9］：

對比Allan方差和總方差可以看出，通過映射將原始數(shù)據(jù)長度由N延伸到3N-2，總方差估計的最大平滑因子可以達(dá)到N，相對于Allan方差估計的N/2擴(kuò)展了一半的數(shù)據(jù)長度，因此在長相關(guān)時間下能夠提高估計值的置信度。但是，數(shù)據(jù)延伸擴(kuò)展的同時也造成其本身的不連續(xù)性，致使總方差估計值相對于Allan方差是有偏的，該偏差計算表達(dá)式為［10-11］

式中，t表示平滑時間，T為總采樣時間，a為偏差因子，其取值與噪聲類型有關(guān)。當(dāng)噪聲類型為零偏不穩(wěn)定性、速率隨機(jī)游走以及速率斜坡時，a=0；當(dāng)噪聲類型為量化噪聲時，a=0.75；當(dāng)噪聲類型為角度隨機(jī)游走時，a=0.48。因此，對于量化噪聲和角度隨機(jī)游走，總方差相對于Allan方差是有偏估計，其偏差隨著平滑時間的增大而增大。當(dāng)平滑時間t=T/2，量化噪聲估計的偏差將達(dá)到37.5%，角度隨機(jī)游走估計的偏差將達(dá)到24%。另外，總方差法中兩端的延伸數(shù)據(jù)是人為設(shè)定的，這些數(shù)據(jù)有時并不能如實體現(xiàn)被測系統(tǒng)的真實性能，因此總方差法具有不可避免的缺陷。

1.3Thêo1方差

Thêo1是由美國國家標(biāo)準(zhǔn)局（NIST）提出的一種新的描述頻率穩(wěn)定性的方差分析方法，其計算表達(dá)式為［12-13］：

式中，{xi，i=1，2，…，N}表示時偏采樣數(shù)據(jù)長度，t0為數(shù)據(jù)采樣時間間隔，Nt0為總測量時間長度，m= 10，…，N-1且m為偶數(shù)。

Thêo1方差的主要特點(diǎn)是采用了新的采樣數(shù)據(jù)方法，其計算的相關(guān)時間的步幅ts=0.75mt0，而m最大可取到N-1，二次采樣的相關(guān)時間可以達(dá)到0.75 （N-1）t0，即可以達(dá)到總測量時間的75%，而Allan方差二次采樣的最大相關(guān)時間為Nt0/2，只能達(dá)到總測量時間的一半。因此，Thêo1方差在長相關(guān)時間測試中具有很大的優(yōu)勢，是目前所有估計長期頻率穩(wěn)定性的方差算子中置信度最高的一種［1］。

雖然Thêo1相對于Allan方差估計值置信度有很大的提高，但是Thêo1方差相對于Allan方差估計是有偏的，對于光纖陀螺的5項主要噪聲，其偏差可以由表1近似表示［5］。

表1　Thêo1相對Allan方差的偏差

2　ThêoH

采用表1中的系數(shù)消除Thêo1相對Allan方差的偏差具有計算簡便的優(yōu)勢，但是利用該經(jīng)驗公式計算必須首先假設(shè)噪聲類型已知，且當(dāng)平滑因子m>N/2（N為采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)）時，Allan方差不存在，此時其相對偏差無法估計。為此，本文引入ThêoBR去除Thêo1的相對偏差，其計算表達(dá)式為［14］：

式中，Avar（）表示重疊Allan方差，Thêo1（）表示Thêo1方差，n=‖0.1N/3-3‖，‖‖表示數(shù)值向下取整。

ThêoBR去除了Thêo1方差與Allan方差之間的偏差，可以表述為Allan方差在最大可能平滑因子上的無偏估計。因此，對Allan方差和ThêoBR進(jìn)行合成，可以得到一種新的方差，稱為ThêoH，其計算表達(dá)式為［15-16］：

其中k表示τ<0.1Nt0時的最大值。

ThêoH是在Thêo1的基礎(chǔ)上去除偏差并與Allan方差進(jìn)行合成的結(jié)果，其最大平滑因子可以達(dá)到0.75N，相對Allan方差估計有很大提高。ThêoH利用ThêoBR去除偏差，而且能夠適應(yīng)多種噪聲混合時頻率穩(wěn)定性的估計，因此在光纖陀螺隨機(jī)誤差特性辨識，尤其是在大平滑因子條件下具有很大的優(yōu)勢。

3　估計置信度對比分析

利用Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH辨識光纖陀螺的隨機(jī)誤差特性，其估計值可以視為一組隨機(jī)變量，因此在計算時應(yīng)當(dāng)給出相應(yīng)的估計置信度，以判定該估計是否有效。估計值的置信度決定于方差類型、數(shù)據(jù)長度、平滑因子以及噪聲類型、置信因子等多個條件。對于Allan方差，估計置信度可以采用公式（4）進(jìn)行計算；對于重疊Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH，最常用的方法是按照指定的置信因子基于χ2統(tǒng)計量進(jìn)行計算。

根據(jù)基于χ2統(tǒng)計量計算置信區(qū)間的方法，定義采樣方差分布函數(shù)為：

式中，edf為等效自由度，其大小由方差類型以及數(shù)據(jù)長度、噪聲類型等確定，S2為采樣方差，σ2為真實方差，通常以多組采樣方差的平均值代替。根據(jù)公式（12），當(dāng)指定置信因子p后，可以確定各方差估計置信度決定于等效自由度，等效自由度越大，估計的置信度就越高。因此，比較重疊Allan方差、總方差以及Thêo1方差估計的置信度實質(zhì)為比較各方差的等效自由度。等效自由度計算的表達(dá)式為：

式中，Var（S2）表示S2的方差。

實際計算中，等效自由度常常針對不同的噪聲類型采用經(jīng)驗公式進(jìn)行計算。對于功率譜密度相互獨(dú)立的5類噪聲，其重疊Allan方差等效自由度計算公式分別為［17］：

式中，N為采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)個數(shù)，m為平滑因子。

總方差等效自由度可以依據(jù)重疊Allan方差以及經(jīng)驗公式計算。當(dāng)噪聲為速率隨機(jī)游走噪聲和速率斜坡時，總方差的等效自由度比重疊Allan方差等效自由度多兩個；當(dāng)噪聲為量化噪聲、角度隨機(jī)游走和零偏不穩(wěn)性時，總方差等效自由度的計算依據(jù)以下經(jīng)驗公式［18-19］：

b和c的取值如表2所示。

表2　不同噪聲類型下b和c的取值

應(yīng)當(dāng)注意的是上述公式是基于函數(shù)連續(xù)推導(dǎo)的，在進(jìn)行計算時，對于零偏不穩(wěn)定性要求t滿足τ≥8τ0，對于角度隨機(jī)游走噪聲要求t滿足t≥3τ0。

利用Thêo1方差進(jìn)行估計，5類噪聲項等效自由度計算公式為［20］：

式中，N為采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)個數(shù)，τts為采樣時間，且ts= 0.75mt0，t0≤T/10。

與Thêo1方差相比較，ThêoH估計的等效自由度為［21］：

式中，N為采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，m為平滑因子。

圖1~圖5繪制了5類噪聲項的重疊Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH的等效自由度。圖中采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N設(shè)定為1000，采樣時間間隔t0設(shè)定為0.01 s。

圖1~圖5表明，對于5類功率譜密度相互獨(dú)立的噪聲項，總方差、Thêo1以及ThêoH的等效自由度均大于重疊Allan方差；而隨著平滑因子的增大，Thêo1的等效自由度相對于總方差及ThêoH都有明顯的優(yōu)勢；另外，對于量化噪聲、角度隨機(jī)游走以及零偏不穩(wěn)定性，總方差的等效自由度大于ThêoH方差，對于速率隨機(jī)游走和速率斜坡，ThêoH的等效自由度大于總方差。因此，對于上述4種方差估計，總方差、Thêo1以及ThêoH相對于重疊Allan方差具有更高的估計置信度，其中Thêo1估計的置信度最高，總方差和Thêo1方差則針對不同的噪聲類型，在估計置信度上各有優(yōu)勢。

圖1　量化噪聲等效自由度

圖2　角度隨機(jī)游走等效自由度

圖3　零偏不穩(wěn)定性等效自由度

圖4　速率隨機(jī)游走等效自由度

圖5　速率斜坡等效自由度

4　實驗及結(jié)果討論

在Allan方差、總方差以及Thêo1、ThêoH的估計值與平滑時間構(gòu)成的雙對數(shù)圖中，對應(yīng)的曲線斜率表征了光纖陀螺的不同噪聲類型及其參數(shù)。以下本文將設(shè)計仿真實驗和實測信號噪聲特性分析實驗，驗證Allan方差、總方差以及Thêo1、ThêoH能夠?qū)崿F(xiàn)光纖陀螺噪聲特性的辨識，并進(jìn)一步對比各方差在光纖陀螺噪聲特性分析中的優(yōu)越性。

4.1仿真實驗

光纖陀螺5類噪聲項中的角度隨機(jī)游走主要來源于光源的光子噪聲、相對強(qiáng)度噪聲以及探測器的散粒噪聲、熱噪聲等，這類噪聲主要為白噪聲［19］；而對白噪聲進(jìn)行數(shù)值積分，則可以表征光纖陀螺的速率隨機(jī)游走。如圖6和圖7所示，分別用采樣點(diǎn)數(shù)N=1000、采樣時間t=0.01s、均值為0、方差為1的白噪聲及其數(shù)值積分表征角度隨機(jī)游走和速率隨機(jī)游走。

圖6　角度隨機(jī)游走

圖7　速率隨機(jī)游走

對白噪聲及其積分表征的角速度隨機(jī)游走及速率隨機(jī)游走，分別計算其Allan方差、總方差以及Thêo1、ThêoH，結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8反映出對于角度隨機(jī)游走，Allan方差、總方差以及Thêo1、ThêoH能夠?qū)崿F(xiàn)隨機(jī)誤差特性辨識，但是當(dāng)相關(guān)時間較長時，Allan方差估計由于置信度較低會出現(xiàn)一定的波動，而總方差、Thêo1以及ThêoH估計值對數(shù)曲線相對平滑，證明其置信度較高；圖9針對速率隨機(jī)游走進(jìn)一步印證了圖8中的結(jié)論，并反映出相對于Allan方差估計，Thêo1對速率隨機(jī)游走的估計是有偏的。

圖8　角度隨機(jī)游走仿真分析結(jié)果

圖9　速率隨機(jī)游走仿真分析結(jié)果

4.2實測信號隨機(jī)誤差特性分析實驗

仿真實驗證明總方差以及Thêo1、ThêoH相對Allan方差估計的置信度有很大的提高，且Thêo1估計是有偏的，但是，對于前述總方差估計的有偏性并未得到體現(xiàn)。為此，本文將通過分析光纖陀螺實測信號的隨機(jī)誤差特性對比各方差估計的優(yōu)劣。

如圖10所示是某型光纖陀螺實測信號，總測試時間為3000s，采樣間隔為0.3 s，對該實測信號進(jìn)行Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH計算，其結(jié)果如圖11所示。

圖11的計算結(jié)果表明，利用總方差、Thêo1和ThêoH辨識該型光纖陀螺的隨機(jī)誤差特性，其估計值置信度相對Allan方差有較大的提高，但是總方差和Thêo1估計是有偏的，且相關(guān)時間較短時Thêo1估計偏差大于總方差偏差，相關(guān)時間較長時總方差估計偏差大于Thêo1偏差，而ThêoH估計則是無偏的，因此ThêoH更適用于光纖陀螺隨機(jī)誤差特性的辨識。

圖10　某型光纖陀螺實測信號

圖11　實測信號誤差特性各方差分析結(jié)果

依據(jù)辨識結(jié)果，利用最小二乘法擬合ThêoH曲線，得到的光纖陀螺各項噪聲系數(shù)，如表3所示。表3中各噪聲類型及其噪聲系數(shù)表明速率斜坡、角度隨機(jī)游走以及量化噪聲為該組實測信號的主要噪聲項，而根據(jù)前述分析，采用Thêo1估計速率斜坡及量化噪聲將引起的較大偏差，采用總方差估計角度隨機(jī)游走及量化噪聲將引起隨相關(guān)時間增長而增大的偏差，這就進(jìn)一步驗證了實測信號隨機(jī)誤差特性辨識結(jié)果與前述理論分析是吻合的。

表3　光纖陀螺各項噪聲ThêoH辨識結(jié)果

5　結(jié)論

隨機(jī)誤差特性分析是光纖陀螺進(jìn)入工程應(yīng)用階段的關(guān)鍵技術(shù)。本文介紹了光纖陀螺隨機(jī)誤差特性辨識的Allan方差、總方差和Thêo1方法，并針對其不足，提出采用ThêoH分析光纖陀螺的隨機(jī)誤差特性。通過對比重疊Allan方差、總方差、Thêo1以及ThêoH的估計置信度，并結(jié)合仿真和實測信號隨機(jī)特性分析實驗，證明ThêoH作為一種具有較高估計置信度的無偏估計方差，有效解決了Allan方差、總方差以及Thêo1估計存在的問題，是目前能夠?qū)崿F(xiàn)光纖陀螺隨機(jī)誤差特性辨識的最佳方法。

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徐東升（1988-），男，安徽黃山人，博士研究生，研究方向為武器系統(tǒng)運(yùn)用工程，xds19881127@163.com；

陸明（1958-），男，江蘇南京人，博士生導(dǎo)師，研究方向為軍用精確爆破，305497576@qq.com.

Mobile Robot Target Recognition Based on Dynamic Template Matching*

PENG Yuqing*，LI Mu，GAO Qingqing，ZHANG Yuanyuan
（Department of Computer Science and Technology，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

Abstract：A target recognition strategy under unknown environments for mobile robot was presented with the combi?nation of vision salience and the target recognition method based on dynamic template matching. Specifically，a mo?bile robot vision system based on distributed control was designed for improving the efficiency of video processing. Secondly，the saliency measure based on background priors was used for image preprocessing and excluded the background regions which were less important. Finally，the recognition accuracy of the target was improved accord?ing to the dynamic template matching to images which had been processed. The experimental results show that the method can meet the requirements of real-time and veracity in the process of mobile robot’s target recognition，the method show good effectiveness.

Key words：mobile robot；target recognition；template matching；vision salience；distributed control

doi：EEACC：6135；722010.3969/j.issn.1004-1699.2016.01.011

收稿日期：2015-07-14修改日期：2015-10-21

中圖分類號：TN256

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-1699（2016）01-0051-07