高壓巡檢機器人H∞魯棒控制器設(shè)計

邵　嶽（沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，沈陽　110870）

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高壓巡檢機器人H∞魯棒控制器設(shè)計

邵嶽
（沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，沈陽110870）

摘要針對巡檢機器人易受惡劣作業(yè)環(huán)境及各種擾動影響難以控制的問題，基于機器人的動力學(xué)方程，通過設(shè)計合理的控制力矩，推導(dǎo)出機器人在有擾動情況下系統(tǒng)誤差的狀態(tài)空間模型，基于此模型利用線性矩陣不等式（LMI）和H∞理論對機器人進行了魯棒控制分析，設(shè)計了機器人魯棒H∞控制器，給出了H∞控制器存在的條件和求取方法，求出了機器人的狀態(tài)反饋控制器，最后在Matlab/Simulink環(huán)境下對機器人的機械臂進行了軌跡跟蹤仿真，結(jié)果表明本文所設(shè)計的魯棒控制器能夠滿足巡檢機器人機械臂響應(yīng)快速、跟蹤準(zhǔn)確、系統(tǒng)穩(wěn)定、抗擾動效果好的設(shè)計要求。

關(guān)鍵詞：巡檢機器人；誤差狀態(tài)空間模型；H∞理論；魯棒控制

Design of High Voltage Inspection Robot H∞Robust Controller

Shao Yue
（School of Electrical Engineering， Shenyang University of Technology， Shenyang110870）

Abstract In response to the controllable difficulty of the inspection robot vulnerable to the harsh operating environment and all kinds of disturbance， a robots error state space mode under the condition of disturbances was deduced from the robot dynamic equations and rational design of control moment. Based on the model， a new robot robust controller and the state feedback controller of the robot were proposed according to the linear matrix inequalities （LMI） and the robust control analysis. And the existence conditions and the solving method of the controller were given. Furthermore， the simulation to the robot manipulator trajectory based on the Matlab/Simulink environment show that the proposed robust controller can satisfy the design requirements of inspection robot manipulator rapid response，tracking accuracy， system stability and anti-disturbance.

Keywords：inspection robot; error state space mode; H∞theory; robust control

檢機器人是一種沿高壓架空輸電線路行駛并代替或輔助人工巡檢的特種機器人，在國民生產(chǎn)和日常生活中占有重要地位，是保證電力部門的正常供電的關(guān)鍵，具有廣闊的應(yīng)用前景[1]。巡檢機器人的有效控制是保證正常巡檢的前提，機器人機械臂軌跡跟蹤的響應(yīng)速度和跟蹤精度是實現(xiàn)機器人自主作業(yè)的關(guān)鍵，若響應(yīng)速度過慢、跟蹤誤差過大或穩(wěn)定性不好等都會導(dǎo)致一系列的問題，更嚴重的情況甚至?xí)?dǎo)致巡檢機器人高空墜落的重大事故。因此研究巡檢機器人的魯棒控制具有重大實際意義。從控制的角度看，獲取巡檢機器人的控制模型是實施有效控制的第一步，但在實際工程應(yīng)用中要想得到巡檢機器人的精確模型是很困難的，在建模時通常需要做一些合理的近似處理，甚至忽略了一些不確定因素；此外巡檢機器人高壓強電磁干擾的作業(yè)環(huán)境等使得機器人的控制存在諸多不確定性的擾動，總之巡檢機器人在作業(yè)過程中會受到來自自身和外界的多種干擾。這些不確定因素和擾動可能會引起系統(tǒng)控制品質(zhì)的下降，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。關(guān)于機器人的控制，目前相關(guān)文獻已提出了基于專家系統(tǒng)[2]、模糊理論[3]、多智能體[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5]、滑模變結(jié)構(gòu)[6]等的多種控制方法，但這些大多數(shù)是針對移動機器人且研究工作是在忽略不確定性因素和擾動的理想情況下進行的，魯棒控制是20世紀80年代專門針對控制系統(tǒng)的不確定性和擾動而發(fā)展起來的一種控制方法，當(dāng)前針對移動機器人的魯棒控制研究較多，如Bu Chi-wu， Xu Ke-fei[7]提出了轉(zhuǎn)矩補償?shù)臋C器人魯棒控制，謝明江[8]等人提出了基于H∞狀態(tài)反饋的機器人魯棒控制方法，李世敬[9]等人提出了基于動態(tài)觀測器的不確定機器人魯棒控制方法，趙浩泉[10]劉開周[11]等人分別提出了基于混合靈敏度和結(jié)構(gòu)奇異值的水下機器人魯棒控制方法，而在巡檢機器人方面目前王鵬[12-13]等人在建立機器人機械臂各類動作運動模型的基礎(chǔ)上提出了基于HJI不等式的架空輸電線巡檢機器人的魯棒控制，其他的關(guān)于巡檢機器人魯棒控制研究特別少。基于上述文獻的啟發(fā)本文提出了一種基于H∞控制理論和機器人誤差狀態(tài)空間表達式的架空輸電線巡檢機器人的魯棒控制方法，其控制目標(biāo)是進一步提高巡檢機器人在作業(yè)過程中的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性，增強機器人在作業(yè)現(xiàn)場的抗各類干擾的能力，實現(xiàn)巡檢機器人在實際環(huán)境下的正常巡檢作業(yè)。

1　巡檢機器人的動力學(xué)建模

巡檢機器人是一個多輸入、多輸出、多變量、強耦合、非線性系統(tǒng)，其控制是非常復(fù)雜的。理想情況下如果機器人的模型準(zhǔn)確已知，且其位置和速度可精確檢測的話，可通過非線性反饋補償使得補償后的系統(tǒng)呈線性關(guān)系，但實際上機器人的模型有很多不確定性因素，難以精確測定，此時只有通過相關(guān)理論和方法將巡檢機器人的模型線性化，得出巡檢機器人的線性化模型，再利用成熟的線性系統(tǒng)的控制方法對其實施控制是解決機器人非線性系統(tǒng)控制等復(fù)雜問題的一個有效手段。

1.1理想情況下巡檢機器人動力學(xué)方程的線性化

在忽略摩擦和外界干擾等因素時一般機器人的動力學(xué)方程為

式中，q、q.、q..表示巡檢機器人各關(guān)節(jié)的位置、速度、加速度，M（q）為慣性矩陣、C（q，q）為離心力和哥氏力的耦合項，G（q）為重力項，τ 為廣義力矩。

為簡化式（1）可令：H（q）＝ C（ q， q.） q .＋G（ q）則式（1）可化為

設(shè)qd為巡檢機器人的期望位置，則位置跟蹤誤差為e＝q－qd，速度誤差為e.＝ q .－ q .d，加速度誤差為.e.＝q..－q..d，由.e.＝q..－q..d得q..＝.e.＋q..d將其代入式（1）得

去括號得

若取適合的控制力矩

式中，V、P為速度、位置誤差增益矩陣。

代入式（4）可得

式（7）是一個線性定常系統(tǒng)，沒有控制輸入量，系統(tǒng)本身就是穩(wěn)定的，不需要反饋控制的作用。因此當(dāng)機器人動力學(xué)模型為精確已知的時候，可以通過選擇合適的廣義控制力矩使得機器人控制系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

1.2擾動情況下巡檢機器人動力學(xué)方程的線性化

在實際系統(tǒng)中，由于機器人不確定性因素的存在，很難得到式（7）描述的精確動力學(xué)模型。所謂不確定性指的是建模時沒有考慮或者忽略的因素，對機器人建模而言，不確定性主要有兩大類：

1）參數(shù)不確定如負載、機械臂連桿質(zhì)量及連桿質(zhì)心、長度、慣量等幾何參數(shù)的不確定性。各種參數(shù)誤差、各種忽略的動態(tài)特性等。

2）非參數(shù)不確定性高頻未建模動，包括執(zhí)行器動力學(xué)、結(jié)構(gòu)共振及其連桿彈性等；低頻未建模包括庫侖摩擦、測量噪聲，計算誤差和采樣延遲等。

此外機器人在實際運行中還會受到外部環(huán)境的干擾等，如高空風(fēng)載情況下如何保持機器人的鎮(zhèn)定等，我們將包括風(fēng)載在內(nèi)的影響機器人正常運行的所有因素統(tǒng)稱為擾動，在擾動情況下的機器人控制問題更具有實際應(yīng)用價值。設(shè)系統(tǒng)擾動影響的總和用d來表征，在有擾動的情況下機器人動力學(xué)方程式（1）可修正為式（8），即

若取適合的控制力矩

代入式（8）得

式（9）兩邊同時除以M（q），得

即

則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為式（12）

2　魯棒H∞控制理論

H∞控制理論是加拿大學(xué)者Zames于1981年提出的，它是魯棒控制的一個重要分支，如圖1所示為標(biāo)準(zhǔn)H∞控制的結(jié)構(gòu)圖。u為系統(tǒng)控制輸入信號，w為擾動輸入信號，z為被調(diào)輸出信號，y為測量輸出信號，P為被控對象，K為反饋控制，魯棒控制的目標(biāo)是設(shè)計狀態(tài)反饋K，消除外界干擾對被控對象P的影響，使得被控對象P在有擾動w的情況下仍然能夠正常工作。z到w的傳遞函數(shù)為Twz（ s），如果K存在且能夠使得最小，或者＜ γ（其中γ 是一個大于0的常數(shù)）則前者稱K是P的最優(yōu)H∞控制，后者為次優(yōu)H∞控制。H∞控制的設(shè)計方法有基于LMI線性矩陣不等式和基于Riccati方程的求解方法，其中后者需要進行轉(zhuǎn)化處理而前者可直接利用Matlab LMI控制工具箱求解，基于LMI 和Riccati方程的H∞控制器的存在性和求取方法由定理1、定理2、定理3給出。

圖1　標(biāo)準(zhǔn)H∞控制結(jié)構(gòu)圖

當(dāng)且僅當(dāng)存在正定矩陣P滿足線性矩陣不等式式（16）

設(shè)計狀態(tài)反饋u＝ Kx后得到的閉環(huán)系統(tǒng)為

當(dāng)且僅當(dāng)存在一個對稱正定矩陣X、W滿足式（19）線性矩陣不等關(guān)系成立

則u＝W*（X*）－1x就是系統(tǒng)式（17）的一個狀態(tài)反饋H∞控制器，W*、X*是該矩陣不等式的一個可行解。

定理3：對于系統(tǒng)式（17）存在反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且＜1成立的充要條件是Riccati方程＋＝ 0具有使A＋）X穩(wěn)定的半正定解X≥0。如果有解，則增益為K＝－ B2TX，滿足要求的控制器為u＝Kx。

3　巡檢機器人H∞魯棒控制器設(shè)計

結(jié)合1.2中已推導(dǎo)出的擾動情況下巡檢機器人線性模型式（14），巡檢機器人在有擾動情況下的系統(tǒng)狀態(tài)空間可用式（20）來描述。

式中，第一個等式是1.2中推導(dǎo)出的巡檢機器人在擾動情況下的線性模型式（14），第二個等式是人為控制的備調(diào)信號，由于基于LMI的H∞控制器求解方法在Matlab中更易于實現(xiàn)，下面將基于定理1和定理2設(shè)計狀態(tài)反饋控制律u＝Kx使得閉環(huán)系統(tǒng)

且系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，求出u＝Kx即是巡檢機器人控制系統(tǒng)式（20）的H∞魯棒控制器。

閉環(huán)系統(tǒng)式（21）滿足性能條件且系統(tǒng)漸近穩(wěn)定則應(yīng)滿足定理1中的線性矩陣不等式（16）。修正式（16）中的A、C、D為A＋BK、C＋D1K、D2得式（22）

對矩陣不等式式（22）分別左乘右乘矩diag{P－1， I， I }，可得

對比式（23）和式（19）可知X＝P－1和W＝KX即為式（19）的一個可行解，又閉環(huán)系統(tǒng)式（21）穩(wěn)定，故矩陣P一定存在，所以巡檢機器人控制系統(tǒng)式（20）的一個H∞魯棒控制器為

利用Matlab LMI工具箱的求解器feasp求解標(biāo)準(zhǔn)線性矩陣不等式（22）、式（23）即可得到矩陣K，將其代入式（24）即可得到魯棒控制律u的表達式。

4　仿真實驗

巡檢機器人軌跡跟蹤是機器人控制的一個重要方面，軌跡跟蹤控制目的是通過給定各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩，使機器人的位置速度等狀態(tài)變量能夠跟蹤到給定的期望軌跡，由于輸電線路巡檢機器人其作業(yè)環(huán)境的特殊性，對于機械臂的軌跡跟蹤要求更高，如果不能實時跟蹤到理想位置可能會導(dǎo)致一系列的問題，更嚴重的甚至?xí)?dǎo)致機器人從輸電線上脫落的致命問題，因此解決巡檢機器人的軌跡跟蹤問題具有重要的實際意義，機器人速度和位置誤差主要是機器人自身的因素以及外部干擾造成的，自身因素如行走電動機的轉(zhuǎn)動誤差，傳動機構(gòu)的老化；外部干擾因素如風(fēng)載作用對機器人影響，強電磁干擾對行走電動機的影響等。理想情況下巡檢機器人軌跡跟蹤控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2　理想情況下機器人軌跡跟蹤控制結(jié)構(gòu)圖

所以，可求得機器人狀態(tài)反饋魯棒控制器為

利用所設(shè)計的狀態(tài)反饋H∞控制器在Matlab環(huán)境下搭建Simulink仿真平臺如圖3所示，設(shè)初始條件為q（0）＝0Rad，給定機械臂的理想位置為典型正弦信號qd（t）＝sin（2πt），則機械臂的理想速度為qd（t）＝2πcos（2πt），在有擾動情況下對巡檢機器人的兩個機械臂，奇臂和偶臂的位置跟蹤、速度跟蹤在施加魯棒控制前后進行仿真研究，仿真結(jié)果如圖所示，圖4為施加魯棒控制前臂的位置和速度跟蹤曲線，其中虛線表示臂的理想位置和速度，點線表示臂的實際位置和速度；圖5至圖8均為在施加魯棒控制后的仿真曲線，其中圖5、圖6為奇臂、偶臂的位置和速度跟蹤曲線，*表示期望位置曲線，×表示期望速度曲線，實線為實際位置和速度；圖7為施加魯棒控制前機械臂的位置和速度誤差曲線，圖8、圖9為施加魯棒控制后奇臂和偶臂的位置和速度誤差曲線。

圖3　巡檢機器人Simulink仿真平臺結(jié)構(gòu)圖

圖4　施加魯棒控制前臂位置和速度跟蹤曲線

圖5　施加魯棒控制后奇臂位置和速度跟蹤曲線

圖6　施加魯棒控制后偶臂位置和速度跟蹤曲線

圖7　施加魯棒控制前機械臂位置和速度誤差曲線

圖8　施加魯棒控制后奇臂跟蹤誤差曲線

為更清楚比較實施魯棒控制前后，機器人機械臂的軌跡跟蹤效果，由圖4至圖9仿真結(jié)果可得在不同控制方法下機械臂跟蹤性能如表1所示。

仿真結(jié)果圖4表明擾動存在且沒有施加魯棒控制時機械臂的實際位置很難跟蹤到理想位置，圖5、圖6表明在施加魯棒控制后，奇臂和偶臂實際位置在約1s后就可以逼近到理想位置，之后一直保持較好的跟蹤性能；實際速度也是在約1s后就可以逼近到理想速度，之后也一直保持較好的跟蹤性能；且奇臂和偶臂保持了很好的同步性。圖7表明在施加魯棒控制前機械臂的位置誤差在＋0.6～－0.6之間波動，速度誤差在＋6到－4之間波動，位置和速度誤差都無法收斂到0，機械臂不能做到無差跟蹤，圖8、圖9表明誤差很快就收斂到0，證明其跟蹤速度快，穩(wěn)定性更強。從上述分析可以看出巡檢機器人在有擾動的情況下采用本文所設(shè)計的H∞魯棒控制律，機器人關(guān)節(jié)的實際位置和速度能夠較好的跟蹤到理想位置和速度，并且能夠滿足控制系統(tǒng)設(shè)計的快速性、準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性的要求，因此本文的控制方法是有效的。

圖9　施加魯棒控制后偶臂跟蹤誤差曲線

表1　施加魯棒控制前后機械的跟蹤性能

5　結(jié)論

本文基于H∞理論對架空高壓輸電線路巡檢機器人魯棒控制進行了研究，基于動力學(xué)方程推導(dǎo)出了誤差的線性狀態(tài)空間表達式，設(shè)計出了H∞魯棒控制器，利用所設(shè)計的魯棒控制器對巡檢機器人機械臂的軌跡跟蹤進行了仿真，結(jié)果表明了控制算法的有效性，這些對實際應(yīng)用系統(tǒng)的設(shè)計都具有一定的應(yīng)用價值。此外本文在研究過程中只考慮了擾動的綜合，而沒有考慮機器人動力學(xué)模型的不確定性，H∞控制過于強調(diào)魯棒穩(wěn)定性而忽略了系統(tǒng)對魯棒性能的要求，這些問題可用魯棒μ 方法來分析和處理，還有在保證機器人的穩(wěn)定運行的前提下，使得機器人耗能更少，性能更優(yōu)化，這些在本文中尚未提及還有待進一步研究。

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